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Theorem pntpbnd2 21271
Description: Lemma for pntpbnd 21272. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntpbnd1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntpbnd1.x  |-  X  =  ( exp `  (
2  /  E ) )
pntpbnd1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,)  +oo ) )
pntpbnd1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntpbnd1.2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ y  e.  ( i ... j ) ( ( R `  y )  /  (
y  x.  ( y  +  1 ) ) ) )  <_  A
)
pntpbnd1.c  |-  C  =  ( A  +  2 )
pntpbnd1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )
pntpbnd1.3  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  NN  ( ( Y  <  y  /\  y  <_  ( K  x.  Y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 y )  / 
y ) )  <_  E ) )
Assertion
Ref Expression
pntpbnd2  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    i, j,
y, K    R, i,
j, y    i, a,
j, y, A    y, E    i, Y, j, y
Allowed substitution hints:    ph( y, i, j, a)    C( y, i, j, a)    R( a)    E( i, j, a)    K( a)    X( y, i, j, a)    Y( a)

Proof of Theorem pntpbnd2
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 10060 . . . 4  |-  2  e.  CC
2 2ne0 10073 . . . 4  |-  2  =/=  0
31, 2dividi 9737 . . 3  |-  ( 2  /  2 )  =  1
4 2re 10059 . . . . 5  |-  2  e.  RR
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
6 ioossre 10962 . . . . . 6  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
7 pntpbnd1.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
86, 7sseldi 3338 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
9 eliooord 10960 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  E  /\  E  <  1 ) )
107, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  /\  E  <  1
) )
1110simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  E )
128, 11elrpd 10636 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
13 2rp 10607 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
15 pntpbnd1.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( A  +  2 )
1615oveq1i 6083 . . . . . . . 8  |-  ( C  -  A )  =  ( ( A  + 
2 )  -  A
)
17 pntpbnd1.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
1817rpcnd 10640 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
19 pncan2 9302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
2 )  -  A
)  =  2 )
2018, 1, 19sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
2 )  -  A
)  =  2 )
2116, 20syl5eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  -  A
)  =  2 )
2221oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  A )  /  E
)  =  ( 2  /  E ) )
23 rpaddcl 10622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  2  e.  RR+ )  ->  ( A  +  2 )  e.  RR+ )
2417, 13, 23sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  +  2 )  e.  RR+ )
2515, 24syl5eqel 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
2625rpcnd 10640 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
278recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
2812rpne0d 10643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
2926, 18, 27, 28divsubdird 9819 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  A )  /  E
)  =  ( ( C  /  E )  -  ( A  /  E ) ) )
3022, 29eqtr3d 2469 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  =  ( ( C  /  E )  -  ( A  /  E ) ) )
3125, 12rpdivcld 10655 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  E
)  e.  RR+ )
3231rpred 10638 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  /  E
)  e.  RR )
3317rpred 10638 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3433, 12rerpdivcld 10665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  E
)  e.  RR )
35 resubcl 9355 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  /  E
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( C  /  E )  -  2 )  e.  RR )
3632, 4, 35sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  /  E )  -  2 )  e.  RR )
37 pntpbnd1.k . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )
3832reefcld 12680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( C  /  E ) )  e.  RR )
39 elicopnf 10990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( exp `  ( C  /  E ) )  e.  RR  ->  ( K  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,) 
+oo )  <->  ( K  e.  RR  /\  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  K
) ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  <->  ( K  e.  RR  /\  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  K
) ) )
4137, 40mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  e.  RR  /\  ( exp `  ( C  /  E ) )  <_  K ) )
4241simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
43 0re 9081 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
45 1re 9080 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
47 0lt1 9540 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
49 efgt1 12707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  /  E )  e.  RR+  ->  1  < 
( exp `  ( C  /  E ) ) )
5031, 49syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <  ( exp `  ( C  /  E
) ) )
5141simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( C  /  E ) )  <_  K )
5246, 38, 42, 50, 51ltletrd 9220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  K )
5344, 46, 42, 48, 52lttrd 9221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  K )
5442, 53elrpd 10636 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
5554relogcld 20508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  K
)  e.  RR )
56 resubcl 9355 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  K
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( log `  K
)  -  2 )  e.  RR )
5755, 4, 56sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  K
)  -  2 )  e.  RR )
5854reeflogd 20509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  K ) )  =  K )
5951, 58breqtrrd 4230 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( C  /  E ) )  <_  ( exp `  ( log `  K ) ) )
60 efle 12709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  /  E
)  e.  RR  /\  ( log `  K )  e.  RR )  -> 
( ( C  /  E )  <_  ( log `  K )  <->  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  ( exp `  ( log `  K
) ) ) )
6132, 55, 60syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  /  E )  <_  ( log `  K )  <->  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  ( exp `  ( log `  K
) ) ) )
6259, 61mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  /  E
)  <_  ( log `  K ) )
6332, 55, 5, 62lesub1dd 9632 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  /  E )  -  2 )  <_  ( ( log `  K )  - 
2 ) )
64 fzfid 11302 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) )  e.  Fin )
65 ioossre 10962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X (,)  +oo )  C_  RR
66 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,)  +oo ) )
6765, 66sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
68 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  X  =  ( exp `  (
2  /  E ) )
69 rerpdivcl 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( 2  /  E
)  e.  RR )
704, 12, 69sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  RR )
7170reefcld 12680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
2  /  E ) )  e.  RR )
7268, 71syl5eqel 2519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
73 efgt0 12694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  /  E )  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  (
2  /  E ) ) )
7470, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  <  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
7574, 68syl6breqr 4244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  X )
7672rexrd 9124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
77 elioopnf 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  RR*  ->  ( Y  e.  ( X (,)  +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  < 
Y ) ) )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X (,)  +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y ) ) )
7966, 78mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y ) )
8079simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  X  <  Y )
8144, 72, 67, 75, 80lttrd 9221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  Y )
8244, 67, 81ltled 9211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <_  Y )
83 flge0nn0 11215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y )  -> 
( |_ `  Y
)  e.  NN0 )
8467, 82, 83syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  NN0 )
85 nn0p1nn 10249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  e.  NN )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  e.  NN )
87 elfzuz 11045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )
88 nnuz 10511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8988uztrn2 10493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  Y )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
9086, 87, 89syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
9190peano2nnd 10007 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
9291nnrecred 10035 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
9364, 92fsumrecl 12518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  e.  RR )
9455recnd 9104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( log `  K
)  e.  CC )
951a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
9667, 81elrpd 10636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
9796relogcld 20508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  Y
)  e.  RR )
9897recnd 9104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( log `  Y
)  e.  CC )
9994, 95, 98pnpcan2d 9439 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  K )  +  ( log `  Y ) )  -  ( 2  +  ( log `  Y
) ) )  =  ( ( log `  K
)  -  2 ) )
10054, 96relogmuld 20510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  ( K  x.  Y )
)  =  ( ( log `  K )  +  ( log `  Y
) ) )
10155, 97readdcld 9105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( log `  K
)  +  ( log `  Y ) )  e.  RR )
102100, 101eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  ( K  x.  Y )
)  e.  RR )
103 fzfid 11302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( |_ `  Y ) )  e.  Fin )
104 elfznn0 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y
) )  ->  n  e.  NN0 )
105104adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
106 nn0p1nn 10249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
108107nnrecred 10035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
109103, 108fsumrecl 12518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( |_ `  Y ) ) ( 1  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
110109, 93readdcld 9105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_
`  Y ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
111 readdcl 9063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  Y )  e.  RR )  -> 
( 2  +  ( log `  Y ) )  e.  RR )
1124, 97, 111sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  +  ( log `  Y ) )  e.  RR )
113112, 93readdcld 9105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  +  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) ) ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
11442, 67remulcld 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( K  x.  Y
)  e.  RR )
11567recnd 9104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
116115mulid2d 9096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  Y
)  =  Y )
11746, 42, 52ltled 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  1  <_  K )
118 lemul1 9852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <  Y ) )  -> 
( 1  <_  K  <->  ( 1  x.  Y )  <_  ( K  x.  Y ) ) )
11946, 42, 67, 81, 118syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  K  <->  ( 1  x.  Y )  <_  ( K  x.  Y ) ) )
120117, 119mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  Y
)  <_  ( K  x.  Y ) )
121116, 120eqbrtrrd 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( K  x.  Y ) )
12244, 67, 114, 82, 121letrd 9217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  ( K  x.  Y ) )
123 flge0nn0 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  x.  Y
)  e.  RR  /\  0  <_  ( K  x.  Y ) )  -> 
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  e.  NN0 )
124114, 122, 123syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( K  x.  Y )
)  e.  NN0 )
125 nn0p1nn 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 )  e.  NN )
126124, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 )  e.  NN )
127126nnrpd 10637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 )  e.  RR+ )
128127relogcld 20508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) )  e.  RR )
129 1z 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
131114flcld 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( K  x.  Y )
)  e.  ZZ )
132131peano2zd 10368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 )  e.  ZZ )
133 elfznn 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
134133adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
135 nnrecre 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
136135recnd 9104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  CC )
137134, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  k )  e.  CC )
138 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
139130, 130, 132, 137, 138fsumshftm 12554 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  =  sum_ n  e.  ( ( 1  -  1 ) ... (
( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
140 1m1e0 10058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  -  1 )  =  0
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  -  1 )  =  0 )
142131zcnd 10366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( K  x.  Y )
)  e.  CC )
143 ax-1cn 9038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
144 pncan 9301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( |_ `  ( K  x.  Y )
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) )
145142, 143, 144sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) )
146141, 145oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 ) ... (
( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) ) )
147146sumeq1d 12485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( 1  -  1 ) ... ( ( ( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )
148 reflcl 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
14967, 148syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  RR )
150149ltp1d 9931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  <  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) )
151 fzdisj 11068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( |_ `  Y )  <  ( ( |_
`  Y )  +  1 )  ->  (
( 0 ... ( |_ `  Y ) )  i^i  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) ) )  =  (/) )
152150, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( |_ `  Y
) )  i^i  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) )  =  (/) )
153 flwordi 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( K  x.  Y
)  e.  RR  /\  Y  <_  ( K  x.  Y ) )  -> 
( |_ `  Y
)  <_  ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) )
15467, 114, 121, 153syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  <_  ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) )
155 elfz2nn0 11072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) )  <->  ( ( |_ `  Y )  e. 
NN0  /\  ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  e.  NN0  /\  ( |_ `  Y
)  <_  ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) ) )
15684, 124, 154, 155syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) ) )
157 fzsplit 11067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) )  ->  (
0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) )  =  ( ( 0 ... ( |_ `  Y
) )  u.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ) )
158156, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) )  =  ( ( 0 ... ( |_ `  Y ) )  u.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ) )
159 fzfid 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) )  e.  Fin )
160 elfznn0 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) )  ->  n  e.  NN0 )
161160adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
162161, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
163162nnrecred 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
164163recnd 9104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  CC )
165152, 158, 159, 164fsumsplit 12523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) ) ( 1  /  ( n  +  1 ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) )
166139, 147, 1653eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  =  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y
) ) ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  + 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) )
167166, 110eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  e.  RR )
168 fllep1 11200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  x.  Y )  e.  RR  ->  ( K  x.  Y )  <_  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) )
169114, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( K  x.  Y
)  <_  ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) )
17054, 96rpmulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( K  x.  Y
)  e.  RR+ )
171170, 127logled 20512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  Y )  <_  (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 )  <-> 
( log `  ( K  x.  Y )
)  <_  ( log `  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) ) ) )
172169, 171mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( log `  ( K  x.  Y )
)  <_  ( log `  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) ) )
173 emre 20834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  gamma  e.  RR
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
gamma  e.  RR )
175167, 128resubcld 9455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
176 emgt0 20835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  gamma
17743, 173, 176ltleii 9186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_ 
gamma
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  gamma )
179 harmonicbnd 20832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 )  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k )  -  ( log `  (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 ) )
180126, 179syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 ) )
181173, 45elicc2i 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 )  <->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k )  -  ( log `  (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) )  e.  RR  /\ 
gamma  <_  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) )  /\  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) )  <_  1 ) )
182181simp2bi 973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 )  ->  gamma  <_  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ) )
183180, 182syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
gamma  <_  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ) )
18444, 174, 175, 178, 183letrd 9217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k )  -  ( log `  (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ) )
185167, 128subge0d 9606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k )  -  ( log `  (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) )  <->  ( log `  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k ) ) )
186184, 185mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k ) )
187102, 128, 167, 172, 186letrd 9217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  ( K  x.  Y )
)  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k ) )
188187, 166breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  ( K  x.  Y )
)  <_  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y
) ) ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  + 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) )
18967flcld 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  ZZ )
190189peano2zd 10368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  e.  ZZ )
191 elfznn 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
192191adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
193192, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  k )  e.  CC )
194130, 130, 190, 193, 138fsumshftm 12554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  =  sum_ n  e.  ( ( 1  -  1 ) ... (
( ( |_ `  Y )  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
195149recnd 9104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  CC )
196 pncan 9301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  Y
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  Y ) )
197195, 143, 196sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  Y ) )
198141, 197oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 ) ... (
( ( |_ `  Y )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( |_ `  Y ) ) )
199198sumeq1d 12485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( 1  -  1 ) ... ( ( ( |_ `  Y
)  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )
200194, 199eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )
201200, 109eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  e.  RR )
20286nnrpd 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  e.  RR+ )
203202relogcld 20508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( |_ `  Y
)  +  1 ) )  e.  RR )
204 readdcl 9063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  e.  RR )
20545, 203, 204sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  e.  RR )
206 harmonicbnd 20832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  Y
)  +  1 )  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k )  -  ( log `  (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 ) )
20786, 206syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 ) )
208173, 45elicc2i 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 )  <->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k )  -  ( log `  (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) )  e.  RR  /\ 
gamma  <_  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ) )  /\  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ) )  <_  1 ) )
209208simp3bi 974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 )  -> 
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  <_ 
1 )
210207, 209syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  <_ 
1 )
211201, 203, 46lesubaddd 9613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ) )  <_  1  <->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  <_  (
1  +  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ) ) )
212210, 211mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  <_  ( 1  +  ( log `  (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) ) )
213 readdcl 9063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( log `  Y )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( log `  Y ) )  e.  RR )
21445, 97, 213sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( log `  Y ) )  e.  RR )
215 peano2re 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  RR  ->  (
( |_ `  Y
)  +  1 )  e.  RR )
216149, 215syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  e.  RR )
2175, 67remulcld 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Y
)  e.  RR )
218 epr 12797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  _e  e.  RR+
219 rpmulcl 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  Y  e.  RR+ )  ->  (
_e  x.  Y )  e.  RR+ )
220218, 96, 219sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  Y
)  e.  RR+ )
221220rpred 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  Y
)  e.  RR )
222 flle 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  <_  Y )
22367, 222syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  <_  Y )
22414, 12rpdivcld 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  RR+ )
225 efgt1 12707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 2  /  E )  e.  RR+  ->  1  < 
( exp `  (
2  /  E ) ) )
226224, 225syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  1  <  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
227226, 68syl6breqr 4244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  <  X )
22846, 72, 67, 227, 80lttrd 9221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  1  <  Y )
22946, 67, 228ltled 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  1  <_  Y )
230149, 46, 67, 67, 223, 229le2addd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  <_  ( Y  +  Y ) )
2311152timesd 10200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Y
)  =  ( Y  +  Y ) )
232230, 231breqtrrd 4230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  <_  ( 2  x.  Y ) )
233 ere 12681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  _e  e.  RR
234 egt2lt3 12795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
235234simpli 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  <  _e
2364, 233, 235ltleii 9186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  <_  _e
237236a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  2  <_  _e )
238233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  _e  e.  RR )
239 lemul1 9852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  _e  e.  RR  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <  Y ) )  -> 
( 2  <_  _e  <->  ( 2  x.  Y )  <_  ( _e  x.  Y ) ) )
2405, 238, 67, 81, 239syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 2  <_  _e  <->  ( 2  x.  Y )  <_  ( _e  x.  Y ) ) )
241237, 240mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Y
)  <_  ( _e  x.  Y ) )
242216, 217, 221, 232, 241letrd 9217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  <_  ( _e  x.  Y ) )
243202, 220logled 20512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 )  <_  (
_e  x.  Y )  <->  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) )  <_  ( log `  (
_e  x.  Y )
) ) )
244242, 243mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( |_ `  Y
)  +  1 ) )  <_  ( log `  ( _e  x.  Y
) ) )
245 relogmul 20476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  Y  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( _e  x.  Y ) )  =  ( ( log `  _e )  +  ( log `  Y ) ) )
246218, 96, 245sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( log `  (
_e  x.  Y )
)  =  ( ( log `  _e )  +  ( log `  Y
) ) )
247 loge 20471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( log `  _e )  =  1
248247oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( log `  _e )  +  ( log `  Y
) )  =  ( 1  +  ( log `  Y ) )
249246, 248syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  (
_e  x.  Y )
)  =  ( 1  +  ( log `  Y
) ) )
250244, 249breqtrd 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( |_ `  Y
)  +  1 ) )  <_  ( 1  +  ( log `  Y
) ) )
251203, 214, 46, 250leadd2dd 9631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  <_  ( 1  +  ( 1  +  ( log `  Y
) ) ) )
252 df-2 10048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =  ( 1  +  1 )
253252oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  +  ( log `  Y
) )  =  ( ( 1  +  1 )  +  ( log `  Y ) )
254143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
255254, 254, 98addassd 9100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  +  ( log `  Y ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( log `  Y
) ) ) )
256253, 255syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  +  ( log `  Y ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( log `  Y
) ) ) )
257251, 256breqtrrd 4230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  <_  ( 2  +  ( log `  Y
) ) )
258201, 205, 112, 212, 257letrd 9217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  <_  ( 2  +  ( log `  Y
) ) )
259200, 258eqbrtrrd 4226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( |_ `  Y ) ) ( 1  /  ( n  +  1 ) )  <_  ( 2  +  ( log `  Y
) ) )
260109, 112, 93, 259leadd1dd 9630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_
`  Y ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  <_  (
( 2  +  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) )
261102, 110, 113, 188, 260letrd 9217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  ( K  x.  Y )
)  <_  ( (
2  +  ( log `  Y ) )  + 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) )
262100, 261eqbrtrrd 4226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( log `  K
)  +  ( log `  Y ) )  <_ 
( ( 2  +  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) ) ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) )
263101, 112, 93lesubadd2d 9615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  K )  +  ( log `  Y
) )  -  (
2  +  ( log `  Y ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  <->  ( ( log `  K )  +  ( log `  Y ) )  <_  ( (
2  +  ( log `  Y ) )  + 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )
264262, 263mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  K )  +  ( log `  Y ) )  -  ( 2  +  ( log `  Y
) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) ) ( 1  /  ( n  +  1 ) ) )
26599, 264eqbrtrrd 4226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  K
)  -  2 )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )
26692recnd 9104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  CC )
26764, 27, 266fsummulc2 12557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) ) ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( E  x.  (
1  /  ( n  +  1 ) ) ) )
2688adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  E  e.  RR )
269268recnd 9104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  E  e.  CC )
27091nncnd 10006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  CC )
27191nnne0d 10034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( n  +  1 )  =/=  0 )
272269, 270, 271divrecd 9783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( E  /  ( n  + 
1 ) )  =  ( E  x.  (
1  /  ( n  +  1 ) ) ) )
273268, 91nndivred 10038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( E  /  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
274272, 273eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( E  x.  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
27564, 274fsumrecl 12518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( E  x.  (
1  /  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
27690nnrpd 10637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
277 pntpbnd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
278277pntrf 21247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R : RR+
--> RR
279278ffvelrni 5861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
280276, 279syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  RR )
28190, 91nnmulcld 10037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
282280, 281nndivred 10038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
283282recnd 9104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
284283abscld 12228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
28564, 284fsumrecl 12518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
286280, 90nndivred 10038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  n )  e.  RR )
287286recnd 9104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  n )  e.  CC )
288287abscld 12228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  e.  RR )
28991nnrpd 10637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR+ )
290 pntpbnd1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  NN  ( ( Y  <  y  /\  y  <_  ( K  x.  Y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 y )  / 
y ) )  <_  E ) )
291290adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  -.  E. y  e.  NN  ( ( Y  <  y  /\  y  <_  ( K  x.  Y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 y )  / 
y ) )  <_  E ) )
292 elfzle1 11050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) )  ->  (
( |_ `  Y
)  +  1 )  <_  n )
293292adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  <_  n
)
29467adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  Y  e.  RR )
295294flcld 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( |_ `  Y )  e.  ZZ )
29690nnzd 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
297 zltp1le 10315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( |_ `  Y
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  Y )  <  n  <->  ( ( |_ `  Y
)  +  1 )  <_  n ) )
298295, 296, 297syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  Y )  < 
n  <->  ( ( |_
`  Y )  +  1 )  <_  n
) )
299293, 298mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( |_ `  Y )  <  n
)
300 fllt 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( Y  <  n  <->  ( |_ `  Y )  <  n ) )
301294, 296, 300syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( Y  <  n  <->  ( |_ `  Y )  <  n
) )
302299, 301mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  Y  <  n )
303 elfzle2 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) )  ->  n  <_  ( |_ `  ( K  x.  Y )
) )
304303adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  <_  ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) )
305114adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( K  x.  Y )  e.  RR )
306 flge 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  x.  Y
)  e.  RR  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  ( K  x.  Y )  <->  n  <_  ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) ) )
307305, 296, 306syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( n  <_  ( K  x.  Y
)  <->  n  <_  ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) )
308304, 307mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  <_  ( K  x.  Y ) )
309 breq2 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  n  ->  ( Y  <  y  <->  Y  <  n ) )
310 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  n  ->  (
y  <_  ( K  x.  Y )  <->  n  <_  ( K  x.  Y ) ) )
311309, 310anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  n  ->  (
( Y  <  y  /\  y  <_  ( K  x.  Y ) )  <-> 
( Y  <  n  /\  n  <_  ( K  x.  Y ) ) ) )
312 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  n  ->  ( R `  y )  =  ( R `  n ) )
313 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  n  ->  y  =  n )
314312, 313oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  n  ->  (
( R `  y
)  /  y )  =  ( ( R `
 n )  /  n ) )
315314fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  n  ->  ( abs `  ( ( R `
 y )  / 
y ) )  =  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) ) )
316315breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  n  ->  (
( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  E  <->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  E
) )
317311, 316anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  (
( ( Y  < 
y  /\  y  <_  ( K  x.  Y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y
) )  <_  E
)  <->  ( ( Y  <  n  /\  n  <_  ( K  x.  Y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_  E ) ) )
318317rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( Y  < 
n  /\  n  <_  ( K  x.  Y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  E
) )  ->  E. y  e.  NN  ( ( Y  <  y  /\  y  <_  ( K  x.  Y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 y )  / 
y ) )  <_  E ) )
319318expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( Y  <  n  /\  n  <_  ( K  x.  Y ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  E  ->  E. y  e.  NN  ( ( Y  < 
y  /\  y  <_  ( K  x.  Y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y
) )  <_  E
) ) )
32090, 302, 308, 319syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_  E  ->  E. y  e.  NN  ( ( Y  < 
y  /\  y  <_  ( K  x.  Y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y
) )  <_  E
) ) )
321291, 320mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  -.  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_  E )
322288, 268letrid 9213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_  E  \/  E  <_  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n ) ) ) )
323322ord 367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( -.  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n ) )  <_  E  ->  E  <_  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) ) ) )
324321, 323mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  E  <_  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n ) ) )
325268, 288, 289, 324lediv1dd 10692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( E  /  ( n  + 
1 ) )  <_ 
( ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  /  ( n  +  1 ) ) )
326287, 270, 271absdivd 12247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( R `
 n )  /  n )  /  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  /  ( abs `  ( n  +  1 ) ) ) )
327280recnd 9104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  CC )
32890nncnd 10006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
32990nnne0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  =/=  0 )
330327, 328, 270, 329, 271divdiv1d 9811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( (
( R `  n
)  /  n )  /  ( n  + 
1 ) )  =  ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
331330fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( R `
 n )  /  n )  /  (
n  +  1 ) ) )  =  ( abs `  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
332289rprege0d 10645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  +  1 ) ) )
333 absid 12091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  + 
1 ) )  -> 
( abs `  (
n  +  1 ) )  =  ( n  +  1 ) )
334332, 333syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( abs `  ( n  +  1 ) )  =  ( n  +  1 ) )
335334oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  / 
( abs `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  /  ( n  +  1 ) ) )
336326, 331, 3353eqtr3rd 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  / 
( n  +  1 ) )  =  ( abs `  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
337325, 272, 3363brtr3d 4233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( E  x.  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
33864, 274, 284, 337fsumle 12568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( E  x.  (
1  /  ( n  +  1 ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
339 pntpbnd1.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ y  e.  ( i ... j ) ( ( R `  y )  /  (
y  x.  ( y  +  1 ) ) ) )  <_  A
)
340277, 7, 68, 66, 17, 339, 15, 37, 290pntpbnd1 21270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  A )
341275, 285, 33, 338, 340letrd 9217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( E  x.  (
1  /  ( n  +  1 ) ) )  <_  A )
342267, 341eqbrtrd 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) ) ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  <_  A )
34393, 33, 12lemuldiv2d 10684 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  sum_
n  e.  ( ( ( |_ `  Y
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) ) ( 1  /  ( n  +  1 ) ) )  <_  A  <->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  <_  ( A  /  E ) ) )
344342, 343mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  <_  ( A  /  E ) )
34557, 93, 34, 265, 344letrd 9217 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  K
)  -  2 )  <_  ( A  /  E ) )
34636, 57, 34, 63, 345letrd 9217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  /  E )  -  2 )  <_  ( A  /  E ) )
34732, 5, 34, 346subled 9619 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  /  E )  -  ( A  /  E ) )  <_  2 )
34830, 347eqbrtrd 4224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  <_  2 )
3495, 12, 14, 348lediv23d 10695 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  /  2
)  <_  E )
3503, 349syl5eqbrr 4238 . 2  |-  ( ph  ->  1  <_  E )
35110simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
352 ltnle 9145 . . . 4  |-  ( ( E  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( E  <  1  <->  -.  1  <_  E )
)
3538, 45, 352sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  <  1  <->  -.  1  <_  E )
)
354351, 353mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  -.  1  <_  E
)
355350, 354pm2.65i 167 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    u. cun 3310    i^i cin 3311   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8978   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983    x. cmul 8985    +oocpnf 9107   RR*cxr 9109    < clt 9110    <_ cle 9111    - cmin 9281    / cdiv 9667   NNcn 9990   2c2 10039   3c3 10040   NN0cn0 10211   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478   RR+crp 10602   (,)cioo 10906   [,)cico 10908   [,]cicc 10909   ...cfz 11033   |_cfl 11191   abscabs 12029   sum_csu 12469   expce 12654   _eceu 12655   logclog 20442   gammacem 20820  ψcchp 20865
This theorem is referenced by:  pntpbnd  21272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ioc 10911  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609  df-shft 11872  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-limsup 12255  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-ef 12660  df-e 12661  df-sin 12662  df-cos 12663  df-pi 12665  df-dvds 12843  df-gcd 12997  df-prm 13070  df-pc 13201  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lp 17190  df-perf 17191  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-haus 17369  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cncf 18898  df-limc 19743  df-dv 19744  df-log 20444  df-em 20821  df-vma 20870  df-chp 20871
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