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Theorem pntpbnd2 20752
Description: Lemma for pntpbnd 20753. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntpbnd1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
pntpbnd1.x  |-  X  =  ( exp `  (
2  /  E ) )
pntpbnd1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,)  +oo ) )
pntpbnd1.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
pntpbnd1.2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ y  e.  ( i ... j ) ( ( R `  y )  /  (
y  x.  ( y  +  1 ) ) ) )  <_  A
)
pntpbnd1.c  |-  C  =  ( A  +  2 )
pntpbnd1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )
pntpbnd1.3  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  NN  ( ( Y  <  y  /\  y  <_  ( K  x.  Y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 y )  / 
y ) )  <_  E ) )
Assertion
Ref Expression
pntpbnd2  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    i, j,
y, K    R, i,
j, y    i, a,
j, y, A    y, E    i, Y, j, y
Allowed substitution hints:    ph( y, i, j, a)    C( y, i, j, a)    R( a)    E( i, j, a)    K( a)    X( y, i, j, a)    Y( a)

Proof of Theorem pntpbnd2
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2cn 9832 . . . 4  |-  2  e.  CC
2 2ne0 9845 . . . 4  |-  2  =/=  0
31, 2dividi 9509 . . 3  |-  ( 2  /  2 )  =  1
4 2re 9831 . . . . 5  |-  2  e.  RR
54a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
6 ioossre 10728 . . . . . 6  |-  ( 0 (,) 1 )  C_  RR
7 pntpbnd1.e . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 (,) 1 ) )
86, 7sseldi 3191 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
9 eliooord 10726 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  ( 0 (,) 1 )  ->  (
0  <  E  /\  E  <  1 ) )
107, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <  E  /\  E  <  1
) )
1110simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  E )
128, 11elrpd 10404 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
13 2rp 10375 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
1413a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  RR+ )
15 pntpbnd1.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( A  +  2 )
1615oveq1i 5884 . . . . . . . 8  |-  ( C  -  A )  =  ( ( A  + 
2 )  -  A
)
17 pntpbnd1.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
1817rpcnd 10408 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
19 pncan2 9074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
2 )  -  A
)  =  2 )
2018, 1, 19sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
2 )  -  A
)  =  2 )
2116, 20syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  -  A
)  =  2 )
2221oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  A )  /  E
)  =  ( 2  /  E ) )
23 rpaddcl 10390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  2  e.  RR+ )  ->  ( A  +  2 )  e.  RR+ )
2417, 13, 23sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  +  2 )  e.  RR+ )
2515, 24syl5eqel 2380 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
2625rpcnd 10408 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
278recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
2812rpne0d 10411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
2926, 18, 27, 28divsubdird 9591 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  -  A )  /  E
)  =  ( ( C  /  E )  -  ( A  /  E ) ) )
3022, 29eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  =  ( ( C  /  E )  -  ( A  /  E ) ) )
3125, 12rpdivcld 10423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  E
)  e.  RR+ )
3231rpred 10406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  /  E
)  e.  RR )
3317rpred 10406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3433, 12rerpdivcld 10433 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  E
)  e.  RR )
35 resubcl 9127 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  /  E
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( C  /  E )  -  2 )  e.  RR )
3632, 4, 35sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  /  E )  -  2 )  e.  RR )
37 pntpbnd1.k . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo ) )
3832reefcld 12385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( C  /  E ) )  e.  RR )
39 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( exp `  ( C  /  E ) )  e.  RR  ->  ( K  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,) 
+oo )  <->  ( K  e.  RR  /\  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  K
) ) )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( K  e.  ( ( exp `  ( C  /  E ) ) [,)  +oo )  <->  ( K  e.  RR  /\  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  K
) ) )
4137, 40mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  e.  RR  /\  ( exp `  ( C  /  E ) )  <_  K ) )
4241simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
43 0re 8854 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
4443a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
45 1re 8853 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
4645a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
47 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
4847a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
49 efgt1 12412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  /  E )  e.  RR+  ->  1  < 
( exp `  ( C  /  E ) ) )
5031, 49syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <  ( exp `  ( C  /  E
) ) )
5141simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( C  /  E ) )  <_  K )
5246, 38, 42, 50, 51ltletrd 8992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  K )
5344, 46, 42, 48, 52lttrd 8993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  K )
5442, 53elrpd 10404 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
5554relogcld 19990 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( log `  K
)  e.  RR )
56 resubcl 9127 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  K
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( log `  K
)  -  2 )  e.  RR )
5755, 4, 56sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  K
)  -  2 )  e.  RR )
5854reeflogd 19991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( log `  K ) )  =  K )
5951, 58breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( C  /  E ) )  <_  ( exp `  ( log `  K ) ) )
60 efle 12414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  /  E
)  e.  RR  /\  ( log `  K )  e.  RR )  -> 
( ( C  /  E )  <_  ( log `  K )  <->  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  ( exp `  ( log `  K
) ) ) )
6132, 55, 60syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C  /  E )  <_  ( log `  K )  <->  ( exp `  ( C  /  E
) )  <_  ( exp `  ( log `  K
) ) ) )
6259, 61mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  /  E
)  <_  ( log `  K ) )
6332, 55, 5, 62lesub1dd 9404 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  /  E )  -  2 )  <_  ( ( log `  K )  - 
2 ) )
64 fzfid 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) )  e.  Fin )
65 ioossre 10728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X (,)  +oo )  C_  RR
66 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X (,)  +oo ) )
6765, 66sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
68 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  X  =  ( exp `  (
2  /  E ) )
69 rerpdivcl 10397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  E  e.  RR+ )  -> 
( 2  /  E
)  e.  RR )
704, 12, 69sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  RR )
7170reefcld 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
2  /  E ) )  e.  RR )
7268, 71syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
73 efgt0 12399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  /  E )  e.  RR  ->  0  <  ( exp `  (
2  /  E ) ) )
7470, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  <  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
7574, 68syl6breqr 4079 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  X )
7672rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  e.  RR* )
77 elioopnf 10753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  RR*  ->  ( Y  e.  ( X (,)  +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  < 
Y ) ) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( X (,)  +oo )  <->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y ) ) )
7966, 78mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  X  <  Y ) )
8079simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  X  <  Y )
8144, 72, 67, 75, 80lttrd 8993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  Y )
8244, 67, 81ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <_  Y )
83 flge0nn0 10964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  0  <_  Y )  -> 
( |_ `  Y
)  e.  NN0 )
8467, 82, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  NN0 )
85 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  e.  NN )
8684, 85syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  e.  NN )
87 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )
88 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8988uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  Y )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
9086, 87, 89syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
9190peano2nnd 9779 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
9291nnrecred 9807 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
9364, 92fsumrecl 12223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  e.  RR )
9455recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( log `  K
)  e.  CC )
951a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
9667, 81elrpd 10404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR+ )
9796relogcld 19990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  Y
)  e.  RR )
9897recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( log `  Y
)  e.  CC )
9994, 95, 98pnpcan2d 9211 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  K )  +  ( log `  Y ) )  -  ( 2  +  ( log `  Y
) ) )  =  ( ( log `  K
)  -  2 ) )
10054, 96relogmuld 19992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  ( K  x.  Y )
)  =  ( ( log `  K )  +  ( log `  Y
) ) )
10155, 97readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( log `  K
)  +  ( log `  Y ) )  e.  RR )
102100, 101eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  ( K  x.  Y )
)  e.  RR )
103 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( |_ `  Y ) )  e.  Fin )
104 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y
) )  ->  n  e.  NN0 )
105104adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
106 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
107105, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
108107nnrecred 9807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
109103, 108fsumrecl 12223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( |_ `  Y ) ) ( 1  /  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
110109, 93readdcld 8878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_
`  Y ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
111 readdcl 8836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( log `  Y )  e.  RR )  -> 
( 2  +  ( log `  Y ) )  e.  RR )
1124, 97, 111sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  +  ( log `  Y ) )  e.  RR )
113112, 93readdcld 8878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  +  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) ) ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
11442, 67remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( K  x.  Y
)  e.  RR )
11567recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
116115mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  Y
)  =  Y )
11746, 42, 52ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  1  <_  K )
118 lemul1 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <  Y ) )  -> 
( 1  <_  K  <->  ( 1  x.  Y )  <_  ( K  x.  Y ) ) )
11946, 42, 67, 81, 118syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  K  <->  ( 1  x.  Y )  <_  ( K  x.  Y ) ) )
120117, 119mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  Y
)  <_  ( K  x.  Y ) )
121116, 120eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( K  x.  Y ) )
12244, 67, 114, 82, 121letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  ( K  x.  Y ) )
123 flge0nn0 10964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( K  x.  Y
)  e.  RR  /\  0  <_  ( K  x.  Y ) )  -> 
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  e.  NN0 )
124114, 122, 123syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( K  x.  Y )
)  e.  NN0 )
125 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 )  e.  NN )
126124, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 )  e.  NN )
127126nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 )  e.  RR+ )
128127relogcld 19990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) )  e.  RR )
129 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
130129a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
131114flcld 10946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( K  x.  Y )
)  e.  ZZ )
132131peano2zd 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 )  e.  ZZ )
133 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
134133adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
135 nnrecre 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
136135recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  CC )
137134, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  k )  e.  CC )
138 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
139130, 130, 132, 137, 138fsumshftm 12259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  =  sum_ n  e.  ( ( 1  -  1 ) ... (
( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
140 1m1e0 9830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  -  1 )  =  0
141140a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  -  1 )  =  0 )
142131zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( K  x.  Y )
)  e.  CC )
143 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
144 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( |_ `  ( K  x.  Y )
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) )
145142, 143, 144sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) )
146141, 145oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 ) ... (
( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) ) )
147146sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( 1  -  1 ) ... ( ( ( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )
148 reflcl 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  e.  RR )
14967, 148syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  RR )
150149ltp1d 9703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  <  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) )
151 fzdisj 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( |_ `  Y )  <  ( ( |_
`  Y )  +  1 )  ->  (
( 0 ... ( |_ `  Y ) )  i^i  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) ) )  =  (/) )
152150, 151syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... ( |_ `  Y
) )  i^i  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) )  =  (/) )
153 flwordi 10958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( K  x.  Y
)  e.  RR  /\  Y  <_  ( K  x.  Y ) )  -> 
( |_ `  Y
)  <_  ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) )
15467, 114, 121, 153syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  <_  ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) )
155 elfz2nn0 10837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) )  <->  ( ( |_ `  Y )  e. 
NN0  /\  ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  e.  NN0  /\  ( |_ `  Y
)  <_  ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) ) )
15684, 124, 154, 155syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) ) )
157 fzsplit 10832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) )  ->  (
0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) )  =  ( ( 0 ... ( |_ `  Y
) )  u.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ) )
158156, 157syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) )  =  ( ( 0 ... ( |_ `  Y ) )  u.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ) )
159 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) )  e.  Fin )
160 elfznn0 10838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) )  ->  n  e.  NN0 )
161160adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
162161, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
163162nnrecred 9807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
164163recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  CC )
165152, 158, 159, 164fsumsplit 12228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) ) ( 1  /  ( n  +  1 ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) )
166139, 147, 1653eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  =  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y
) ) ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  + 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) )
167166, 110eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  e.  RR )
168 fllep1 10949 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  x.  Y )  e.  RR  ->  ( K  x.  Y )  <_  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) )
169114, 168syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( K  x.  Y
)  <_  ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) )
17054, 96rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( K  x.  Y
)  e.  RR+ )
171170, 127logled 19994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( K  x.  Y )  <_  (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 )  <-> 
( log `  ( K  x.  Y )
)  <_  ( log `  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) ) ) )
172169, 171mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( log `  ( K  x.  Y )
)  <_  ( log `  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) ) )
173 emre 20315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  gamma  e.  RR
174173a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
gamma  e.  RR )
175167, 128resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) ) )  e.  RR )
176 emgt0 20316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  gamma
17743, 173, 176ltleii 8957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_ 
gamma
178177a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <_  gamma )
179 harmonicbnd 20313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 )  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k )  -  ( log `  (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 ) )
180126, 179syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 ) )
181173, 45elicc2i 10732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 )  <->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k )  -  ( log `  (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) )  e.  RR  /\ 
gamma  <_  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) )  /\  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) )  <_  1 ) )
182181simp2bi 971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 )  ->  gamma  <_  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ) )
183180, 182syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
gamma  <_  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ) )
18444, 174, 175, 178, 183letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k )  -  ( log `  (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ) )
185167, 128subge0d 9378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  ( K  x.  Y ) )  +  1 ) ) ( 1  /  k )  -  ( log `  (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) )  <->  ( log `  ( ( |_ `  ( K  x.  Y
) )  +  1 ) )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k ) ) )
186184, 185mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) )  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k ) )
187102, 128, 167, 172, 186letrd 8989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  ( K  x.  Y )
)  <_  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  ( K  x.  Y )
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k ) )
188187, 166breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  ( K  x.  Y )
)  <_  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y
) ) ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  + 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) )
18967flcld 10946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  ZZ )
190189peano2zd 10136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  e.  ZZ )
191 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
192191adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
193192, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  k )  e.  CC )
194130, 130, 190, 193, 138fsumshftm 12259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  =  sum_ n  e.  ( ( 1  -  1 ) ... (
( ( |_ `  Y )  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
195149recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  e.  CC )
196 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  Y
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  Y ) )
197195, 143, 196sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  Y ) )
198141, 197oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 ) ... (
( ( |_ `  Y )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( |_ `  Y ) ) )
199198sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( 1  -  1 ) ... ( ( ( |_ `  Y
)  +  1 )  -  1 ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )
200194, 199eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  =  sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_ `  Y ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )
201200, 109eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  e.  RR )
20286nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  e.  RR+ )
203202relogcld 19990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( |_ `  Y
)  +  1 ) )  e.  RR )
204 readdcl 8836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  e.  RR )
20545, 203, 204sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  e.  RR )
206 harmonicbnd 20313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  Y
)  +  1 )  e.  NN  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k )  -  ( log `  (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) )  e.  (
gamma [,] 1 ) )
20786, 206syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 ) )
208173, 45elicc2i 10732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 )  <->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k )  -  ( log `  (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) )  e.  RR  /\ 
gamma  <_  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ) )  /\  ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ) )  <_  1 ) )
209208simp3bi 972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  e.  ( gamma [,] 1 )  -> 
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  <_ 
1 )
210207, 209syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  -  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  <_ 
1 )
211201, 203, 46lesubaddd 9385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  -  ( log `  ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ) )  <_  1  <->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) ( 1  / 
k )  <_  (
1  +  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ) ) )
212210, 211mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  <_  ( 1  +  ( log `  (
( |_ `  Y
)  +  1 ) ) ) )
213 readdcl 8836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( log `  Y )  e.  RR )  -> 
( 1  +  ( log `  Y ) )  e.  RR )
21445, 97, 213sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( log `  Y ) )  e.  RR )
215 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( |_ `  Y )  e.  RR  ->  (
( |_ `  Y
)  +  1 )  e.  RR )
216149, 215syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  e.  RR )
2175, 67remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Y
)  e.  RR )
218 epr 12502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  _e  e.  RR+
219 rpmulcl 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  Y  e.  RR+ )  ->  (
_e  x.  Y )  e.  RR+ )
220218, 96, 219sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  Y
)  e.  RR+ )
221220rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  Y
)  e.  RR )
222 flle 10947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e.  RR  ->  ( |_ `  Y )  <_  Y )
22367, 222syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( |_ `  Y
)  <_  Y )
22414, 12rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  e.  RR+ )
225 efgt1 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 2  /  E )  e.  RR+  ->  1  < 
( exp `  (
2  /  E ) ) )
226224, 225syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  1  <  ( exp `  ( 2  /  E
) ) )
227226, 68syl6breqr 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  <  X )
22846, 72, 67, 227, 80lttrd 8993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  1  <  Y )
22946, 67, 228ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  1  <_  Y )
230149, 46, 67, 67, 223, 229le2addd 9406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  <_  ( Y  +  Y ) )
2311152timesd 9970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Y
)  =  ( Y  +  Y ) )
232230, 231breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  <_  ( 2  x.  Y ) )
233 ere 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  _e  e.  RR
234 egt2lt3 12500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
235234simpli 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  <  _e
2364, 233, 235ltleii 8957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  <_  _e
237236a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  2  <_  _e )
238233a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  _e  e.  RR )
239 lemul1 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  _e  e.  RR  /\  ( Y  e.  RR  /\  0  <  Y ) )  -> 
( 2  <_  _e  <->  ( 2  x.  Y )  <_  ( _e  x.  Y ) ) )
2405, 238, 67, 81, 239syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( 2  <_  _e  <->  ( 2  x.  Y )  <_  ( _e  x.  Y ) ) )
241237, 240mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Y
)  <_  ( _e  x.  Y ) )
242216, 217, 221, 232, 241letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  <_  ( _e  x.  Y ) )
243202, 220logled 19994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 )  <_  (
_e  x.  Y )  <->  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) )  <_  ( log `  (
_e  x.  Y )
) ) )
244242, 243mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( |_ `  Y
)  +  1 ) )  <_  ( log `  ( _e  x.  Y
) ) )
245 relogmul 19961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  Y  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( _e  x.  Y ) )  =  ( ( log `  _e )  +  ( log `  Y ) ) )
246218, 96, 245sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( log `  (
_e  x.  Y )
)  =  ( ( log `  _e )  +  ( log `  Y
) ) )
247 loge 19956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( log `  _e )  =  1
248247oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( log `  _e )  +  ( log `  Y
) )  =  ( 1  +  ( log `  Y ) )
249246, 248syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( log `  (
_e  x.  Y )
)  =  ( 1  +  ( log `  Y
) ) )
250244, 249breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( |_ `  Y
)  +  1 ) )  <_  ( 1  +  ( log `  Y
) ) )
251203, 214, 46, 250leadd2dd 9403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  <_  ( 1  +  ( 1  +  ( log `  Y
) ) ) )
252 df-2 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =  ( 1  +  1 )
253252oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  +  ( log `  Y
) )  =  ( ( 1  +  1 )  +  ( log `  Y ) )
254143a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
255254, 254, 98addassd 8873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  +  ( log `  Y ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( log `  Y
) ) ) )
256253, 255syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  +  ( log `  Y ) )  =  ( 1  +  ( 1  +  ( log `  Y
) ) ) )
257251, 256breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  +  ( log `  ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) )  <_  ( 2  +  ( log `  Y
) ) )
258201, 205, 112, 212, 257letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ) ( 1  /  k
)  <_  ( 2  +  ( log `  Y
) ) )
259200, 258eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
0 ... ( |_ `  Y ) ) ( 1  /  ( n  +  1 ) )  <_  ( 2  +  ( log `  Y
) ) )
260109, 112, 93, 259leadd1dd 9402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( |_
`  Y ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  <_  (
( 2  +  ( log `  Y ) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) )
261102, 110, 113, 188, 260letrd 8989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  ( K  x.  Y )
)  <_  ( (
2  +  ( log `  Y ) )  + 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) )
262100, 261eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( log `  K
)  +  ( log `  Y ) )  <_ 
( ( 2  +  ( log `  Y
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) ) ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) )
263101, 112, 93lesubadd2d 9387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( log `  K )  +  ( log `  Y
) )  -  (
2  +  ( log `  Y ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  <->  ( ( log `  K )  +  ( log `  Y ) )  <_  ( (
2  +  ( log `  Y ) )  + 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) ) )
264262, 263mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  K )  +  ( log `  Y ) )  -  ( 2  +  ( log `  Y
) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) ) ( 1  /  ( n  +  1 ) ) )
26599, 264eqbrtrrd 4061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( log `  K
)  -  2 )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )
26692recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  CC )
26764, 27, 266fsummulc2 12262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) ) ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( E  x.  (
1  /  ( n  +  1 ) ) ) )
2688adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  E  e.  RR )
269268recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  E  e.  CC )
27091nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  CC )
27191nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( n  +  1 )  =/=  0 )
272269, 270, 271divrecd 9555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( E  /  ( n  + 
1 ) )  =  ( E  x.  (
1  /  ( n  +  1 ) ) ) )
273268, 91nndivred 9810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( E  /  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
274272, 273eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( E  x.  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
27564, 274fsumrecl 12223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( E  x.  (
1  /  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
27690nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
277 pntpbnd.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
278277pntrf 20728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R : RR+
--> RR
279278ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
280276, 279syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  RR )
28190, 91nnmulcld 9809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
282280, 281nndivred 9810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
283282recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
284283abscld 11934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
28564, 284fsumrecl 12223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
286280, 90nndivred 9810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  n )  e.  RR )
287286recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  n )  e.  CC )
288287abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  e.  RR )
28991nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR+ )
290 pntpbnd1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  NN  ( ( Y  <  y  /\  y  <_  ( K  x.  Y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 y )  / 
y ) )  <_  E ) )
291290adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  -.  E. y  e.  NN  ( ( Y  <  y  /\  y  <_  ( K  x.  Y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 y )  / 
y ) )  <_  E ) )
292 elfzle1 10815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) )  ->  (
( |_ `  Y
)  +  1 )  <_  n )
293292adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  Y )  +  1 )  <_  n
)
29467adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  Y  e.  RR )
295294flcld 10946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( |_ `  Y )  e.  ZZ )
29690nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
297 zltp1le 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( |_ `  Y
)  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  Y )  <  n  <->  ( ( |_ `  Y
)  +  1 )  <_  n ) )
298295, 296, 297syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  Y )  < 
n  <->  ( ( |_
`  Y )  +  1 )  <_  n
) )
299293, 298mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( |_ `  Y )  <  n
)
300 fllt 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( Y  <  n  <->  ( |_ `  Y )  <  n ) )
301294, 296, 300syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( Y  <  n  <->  ( |_ `  Y )  <  n
) )
302299, 301mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  Y  <  n )
303 elfzle2 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) )  ->  n  <_  ( |_ `  ( K  x.  Y )
) )
304303adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  <_  ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) )
305114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( K  x.  Y )  e.  RR )
306 flge 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( K  x.  Y
)  e.  RR  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  ( K  x.  Y )  <->  n  <_  ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) ) )
307305, 296, 306syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( n  <_  ( K  x.  Y
)  <->  n  <_  ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) )
308304, 307mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  <_  ( K  x.  Y ) )
309 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  n  ->  ( Y  <  y  <->  Y  <  n ) )
310 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  n  ->  (
y  <_  ( K  x.  Y )  <->  n  <_  ( K  x.  Y ) ) )
311309, 310anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  n  ->  (
( Y  <  y  /\  y  <_  ( K  x.  Y ) )  <-> 
( Y  <  n  /\  n  <_  ( K  x.  Y ) ) ) )
312 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  n  ->  ( R `  y )  =  ( R `  n ) )
313 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  n  ->  y  =  n )
314312, 313oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  n  ->  (
( R `  y
)  /  y )  =  ( ( R `
 n )  /  n ) )
315314fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  n  ->  ( abs `  ( ( R `
 y )  / 
y ) )  =  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) ) )
316315breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  n  ->  (
( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  E  <->  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  E
) )
317311, 316anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  n  ->  (
( ( Y  < 
y  /\  y  <_  ( K  x.  Y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y
) )  <_  E
)  <->  ( ( Y  <  n  /\  n  <_  ( K  x.  Y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_  E ) ) )
318317rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( Y  < 
n  /\  n  <_  ( K  x.  Y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  E
) )  ->  E. y  e.  NN  ( ( Y  <  y  /\  y  <_  ( K  x.  Y
) )  /\  ( abs `  ( ( R `
 y )  / 
y ) )  <_  E ) )
319318expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( Y  <  n  /\  n  <_  ( K  x.  Y ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( R `  n )  /  n
) )  <_  E  ->  E. y  e.  NN  ( ( Y  < 
y  /\  y  <_  ( K  x.  Y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y
) )  <_  E
) ) )
32090, 302, 308, 319syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_  E  ->  E. y  e.  NN  ( ( Y  < 
y  /\  y  <_  ( K  x.  Y ) )  /\  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y
) )  <_  E
) ) )
321291, 320mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  -.  ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_  E )
322288, 268letrid 8985 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  <_  E  \/  E  <_  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n ) ) ) )
323322ord 366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( -.  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n ) )  <_  E  ->  E  <_  ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) ) ) )
324321, 323mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  E  <_  ( abs `  ( ( R `  n )  /  n ) ) )
325268, 288, 289, 324lediv1dd 10460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( E  /  ( n  + 
1 ) )  <_ 
( ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  /  ( n  +  1 ) ) )
326287, 270, 271absdivd 11953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( R `
 n )  /  n )  /  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  /  ( abs `  ( n  +  1 ) ) ) )
327280recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  CC )
32890nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
32990nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  n  =/=  0 )
330327, 328, 270, 329, 271divdiv1d 9583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( (
( R `  n
)  /  n )  /  ( n  + 
1 ) )  =  ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
331330fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( R `
 n )  /  n )  /  (
n  +  1 ) ) )  =  ( abs `  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
332289rprege0d 10413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  +  1 ) ) )
333 absid 11797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  + 
1 ) )  -> 
( abs `  (
n  +  1 ) )  =  ( n  +  1 ) )
334332, 333syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( abs `  ( n  +  1 ) )  =  ( n  +  1 ) )
335334oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  / 
( abs `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  (
( R `  n
)  /  n ) )  /  ( n  +  1 ) ) )
336326, 331, 3353eqtr3rd 2337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( R `
 n )  /  n ) )  / 
( n  +  1 ) )  =  ( abs `  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
337325, 272, 3363brtr3d 4068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) )  ->  ( E  x.  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) ) )
33864, 274, 284, 337fsumle 12273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( E  x.  (
1  /  ( n  +  1 ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
339 pntpbnd1.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN  A. j  e.  ZZ  ( abs `  sum_ y  e.  ( i ... j ) ( ( R `  y )  /  (
y  x.  ( y  +  1 ) ) ) )  <_  A
)
340277, 7, 68, 66, 17, 339, 15, 37, 290pntpbnd1 20751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( abs `  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  <_  A )
341275, 285, 33, 338, 340letrd 8989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( E  x.  (
1  /  ( n  +  1 ) ) )  <_  A )
342267, 341eqbrtrd 4059 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y )
) ) ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  <_  A )
34393, 33, 12lemuldiv2d 10452 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  sum_
n  e.  ( ( ( |_ `  Y
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y
) ) ) ( 1  /  ( n  +  1 ) ) )  <_  A  <->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  Y )  +  1 ) ... ( |_ `  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  <_  ( A  /  E ) ) )
344342, 343mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  Y )  +  1 ) ... ( |_
`  ( K  x.  Y ) ) ) ( 1  /  (
n  +  1 ) )  <_  ( A  /  E ) )
34557, 93, 34, 265, 344letrd 8989 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( log `  K
)  -  2 )  <_  ( A  /  E ) )
34636, 57, 34, 63, 345letrd 8989 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( C  /  E )  -  2 )  <_  ( A  /  E ) )
34732, 5, 34, 346subled 9391 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  /  E )  -  ( A  /  E ) )  <_  2 )
34830, 347eqbrtrd 4059 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  /  E
)  <_  2 )
3495, 12, 14, 348lediv23d 10463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  /  2
)  <_  E )
3503, 349syl5eqbrr 4073 . 2  |-  ( ph  ->  1  <_  E )
35110simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  E  <  1 )
352 ltnle 8918 . . . 4  |-  ( ( E  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( E  <  1  <->  -.  1  <_  E )
)
3538, 45, 352sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E  <  1  <->  -.  1  <_  E )
)
354351, 353mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  -.  1  <_  E
)
355350, 354pm2.65i 165 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    u. cun 3163    i^i cin 3164   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   [,]cicc 10675   ...cfz 10798   |_cfl 10940   abscabs 11735   sum_csu 12174   expce 12359   _eceu 12360   logclog 19928   gammacem 20302  ψcchp 20346
This theorem is referenced by:  pntpbnd  20753
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-em 20303  df-vma 20351  df-chp 20352
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