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Theorem pntrlog2bnd 20733
Description: A bound on  R ( x ) log ^
2 ( x ). Equation 10.6.15 of [Shapiro], p. 431. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jun-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntpbnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bnd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
c )
Distinct variable groups:    x, n, c, R    a, c, n, x, A
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrlog2bnd
Dummy variables  i 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossre 10712 . . 3  |-  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR
21a1i 10 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1 (,)  +oo )  C_  RR )
3 1re 8837 . . 3  |-  1  e.  RR
43a1i 10 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
1  e.  RR )
52sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
6 1rp 10358 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR+
76a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
83a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
9 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
109adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( 1  < 
x  /\  x  <  +oo ) )
1110simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  1  <  x
)
128, 5, 11ltled 8967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  1  <_  x
)
135, 7, 12rpgecld 10425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
14 pntpbnd.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
1514pntrf 20712 . . . . . . . . 9  |-  R : RR+
--> RR
1615ffvelrni 5664 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
1713, 16syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
1817recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
1918abscld 11918 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( R `  x )
)  e.  RR )
2013relogcld 19974 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x
)  e.  RR )
2119, 20remulcld 8863 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
22 2re 9815 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2322a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  2  e.  RR )
245, 11rplogcld 19980 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x
)  e.  RR+ )
2523, 24rerpdivcld 10417 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( 2  / 
( log `  x
) )  e.  RR )
26 fzfid 11035 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  e.  Fin )
2713adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
28 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
2928adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
3029nnrpd 10389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
3127, 30rpdivcld 10407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
3215ffvelrni 5664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3433recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
3534abscld 11918 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
3630relogcld 19974 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
3735, 36remulcld 8863 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3826, 37fsumrecl 12207 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3925, 38remulcld 8863 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
4021, 39resubcld 9211 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
4140, 13rerpdivcld 10417 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  (
1 (,)  +oo ) )  ->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
4214pntrmax 20713 . . 3  |-  E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  c
43 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i
)  x.  ( ( log `  i )  +  (ψ `  (
a  /  i ) ) ) ) )  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_
`  a ) ) ( (Λ `  i
)  x.  ( ( log `  i )  +  (ψ `  (
a  /  i ) ) ) ) )
44 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )  =  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )
45 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  c  e.  RR+ )
46 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c )
47 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  A  e.  RR )
48 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  1  <_  A
)
4943, 14, 44, 45, 46, 47, 48pntrlog2bndlem6 20732 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( c  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c ) )  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
5049expr 598 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  c  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
5150rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( E. c  e.  RR+  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  c  ->  (
x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
5242, 51mpi 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
53 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  y  e.  RR )
54 chpcl 20362 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
5553, 54syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
5655, 53readdcld 8862 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( (ψ `  y )  +  y )  e.  RR )
576a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  1  e.  RR+ )
58 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  1  <_  y )
5953, 57, 58rpgecld 10425 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  y  e.  RR+ )
6059relogcld 19974 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( log `  y )  e.  RR )
6156, 60remulcld 8863 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y )
)  ->  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
6241adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
6355ad2ant2r 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  RR )
64 simprll 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR )
6563, 64readdcld 8862 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  y )  +  y )  e.  RR )
6659ad2ant2r 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  RR+ )
6766relogcld 19974 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  y )  e.  RR )
6865, 67remulcld 8863 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  RR )
6913adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR+ )
7068, 69rerpdivcld 10417 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  x
)  e.  RR )
7117adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
7271recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
7372abscld 11918 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  e.  RR )
7469relogcld 19974 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
7573, 74remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  x ) )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR )
7625adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 2  /  ( log `  x
) )  e.  RR )
7738adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
7876, 77remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
7975, 78resubcld 9211 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
8022a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR )
815adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  RR )
8211adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <  x )
8381, 82rplogcld 19980 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
84 2rp 10359 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
8584a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  2  e.  RR+ )
8685rpge0d 10394 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  2 )
8780, 83, 86divge0d 10426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( 2  /  ( log `  x ) ) )
88 fzfid 11035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  e. 
Fin )
8937adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
9034adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
9190abscld 11918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
9230adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
9392relogcld 19974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
9490absge0d 11926 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )
9592rpred 10390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  RR )
9628adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
9796nnge1d 9788 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  1  <_  n )
9895, 97logge0d 19981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
9991, 93, 94, 98mulge0d 9349 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  0  <_  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
10088, 89, 99fsumge0 12253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
10176, 77, 87, 100mulge0d 9349 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
10275, 78subge02d 9364 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( 0  <_  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  <->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) ) ) )
103101, 102mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) ) )
10472absge0d 11926 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 x ) ) )
10583rpge0d 10394 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( log `  x ) )
106 chpcl 20362 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
10781, 106syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  x
)  e.  RR )
108107, 81readdcld 8862 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  +  x
)  e.  RR )
10914pntrval 20711 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  =  ( (ψ `  x
)  -  x ) )
11069, 109syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( R `  x )  =  ( (ψ `  x )  -  x ) )
111110fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  =  ( abs `  ( (ψ `  x )  -  x
) ) )
112107recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  x
)  e.  CC )
11381recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  e.  CC )
114112, 113abs2dif2d 11940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( (ψ `  x
)  -  x ) )  <_  ( ( abs `  (ψ `  x
) )  +  ( abs `  x ) ) )
115 chpge0 20364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
11681, 115syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (ψ `  x ) )
117107, 116absidd 11905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  (ψ `  x )
)  =  (ψ `  x ) )
11869rpge0d 10394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  x )
11981, 118absidd 11905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  x )  =  x )
120117, 119oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  (ψ `  x
) )  +  ( abs `  x ) )  =  ( (ψ `  x )  +  x
) )
121114, 120breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( (ψ `  x
)  -  x ) )  <_  ( (ψ `  x )  +  x
) )
122111, 121eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  <_  (
(ψ `  x )  +  x ) )
123 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <  y )
12481, 64, 123ltled 8967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  x  <_  y )
125 chpwordi 20395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  (ψ `  x )  <_  (ψ `  y ) )
12681, 64, 124, 125syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  x
)  <_  (ψ `  y
) )
127107, 81, 63, 64, 126, 124le2addd 9390 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  x )  +  x
)  <_  ( (ψ `  y )  +  y ) )
12873, 108, 65, 122, 127letrd 8973 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( R `  x
) )  <_  (
(ψ `  y )  +  y ) )
12969, 66logled 19978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( x  <_  y  <->  ( log `  x
)  <_  ( log `  y ) ) )
130124, 129mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  x )  <_  ( log `  y ) )
13173, 65, 74, 67, 104, 105, 128, 130lemul12ad 9699 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  x ) )  x.  ( log `  x
) )  <_  (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
13279, 75, 68, 103, 131letrd 8973 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  <_  ( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y ) ) )
13379, 68, 69, 132lediv1dd 10444 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
( ( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y ) )  /  x ) )
1346a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  e.  RR+ )
135 chpge0 20364 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  y )
)
13664, 135syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  (ψ `  y ) )
13766rpge0d 10394 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  y )
13863, 64, 136, 137addge0d 9348 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( (ψ `  y )  +  y ) )
139 simprlr 739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <_  y )
14064, 139logge0d 19981 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( log `  y ) )
14165, 67, 138, 140mulge0d 9349 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  0  <_  ( ( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
14212adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  1  <_  x )
143134, 69, 68, 141, 142lediv2ad 10412 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  x
)  <_  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  1
) )
14463recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  (ψ `  y
)  e.  CC )
14564recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  y  e.  CC )
146144, 145addcld 8854 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (ψ `  y )  +  y )  e.  CC )
14767recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( log `  y )  e.  CC )
148146, 147mulcld 8855 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) )  e.  CC )
149148div1d 9528 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  1
)  =  ( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
150143, 149breqtrd 4047 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( (ψ `  y
)  +  y )  x.  ( log `  y
) )  /  x
)  <_  ( (
(ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y
) ) )
15162, 70, 68, 133, 150letrd 8973 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
( ( (ψ `  y )  +  y )  x.  ( log `  y ) ) )
1522, 4, 41, 52, 61, 151lo1bddrp 11999 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  ( 1 (,)  +oo ) ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  <_ 
c )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   ...cfz 10782   |_cfl 10924   abscabs 11719   <_ O ( 1 )clo1 11961   sum_csu 12158   logclog 19912  Λcvma 20329  ψcchp 20330
This theorem is referenced by:  pntlemp  20759
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-lo1 11965  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-em 20287  df-cht 20334  df-vma 20335  df-chp 20336  df-ppi 20337  df-mu 20338
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