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Theorem pntrlog2bndlem1 21261
Description: The sum of selberg3r 21253 and selberg4r 21254. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O
( 1 )
Distinct variable groups:    i, a, n, x    S, n, x    R, n, x
Allowed substitution hints:    R( i, a)    S( i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem1
Dummy variables  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9080 . . . 4  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
3 pntrlog2bnd.r . . . . 5  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
43selberg34r 21255 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 )
5 elioore 10936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
65adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
7 1rp 10606 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
98rpred 10638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
10 eliooord 10960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
1110adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
1211simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <  x )
139, 6, 12ltled 9211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
146, 8, 13rpgecld 10673 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
153pntrf 21247 . . . . . . . . . . 11  |-  R : RR+
--> RR
1615ffvelrni 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
1714, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
1814relogcld 20508 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
1917, 18remulcld 9106 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
20 fzfid 11302 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2114adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
22 elfznn 11070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2322adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
2423nnrpd 10637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2521, 24rpdivcld 10655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
2615ffvelrni 5861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
28 fzfid 11302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
29 sgmss 20879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  C_  ( 1 ... n
) )
3023, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  C_  ( 1 ... n ) )
31 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  { y  e.  NN  | 
y  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  e.  Fin )
3228, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  e.  Fin )
33 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  C_  NN
34 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  m  e.  { y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)
3533, 34sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  m  e.  NN )
36 vmacl 20891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
38 dvdsdivcl 20956 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } )  ->  (
n  /  m )  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } )
3923, 38sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  ( n  /  m )  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)
4033, 39sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  ( n  /  m )  e.  NN )
41 vmacl 20891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  /  m )  e.  NN  ->  (Λ `  ( n  /  m
) )  e.  RR )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  (Λ `  (
n  /  m ) )  e.  RR )
4337, 42remulcld 9106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  e.  RR )
4432, 43fsumrecl 12518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  e.  RR )
45 vmacl 20891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
4623, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
4724relogcld 20508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
4846, 47remulcld 9106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  RR )
4944, 48resubcld 9455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
5027, 49remulcld 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
5120, 50fsumrecl 12518 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
526, 12rplogcld 20514 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
5351, 52rerpdivcld 10665 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  e.  RR )
5419, 53resubcld 9455 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
5554, 14rerpdivcld 10665 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x )  e.  RR )
5655recnd 9104 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x )  e.  CC )
5756lo1o12 12317 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 )  <->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
584, 57mpbii 203 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
5956abscld 12228 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  RR )
6017recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
6160abscld 12228 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( R `  x ) )  e.  RR )
6261, 18remulcld 9106 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
6327recnd 9104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
6463abscld 12228 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
6523nnred 10005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
66 pntsval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
6766pntsf 21257 . . . . . . . . . . 11  |-  S : RR
--> RR
6867ffvelrni 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR  ->  ( S `  n )  e.  RR )
6965, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  e.  RR )
701a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
7165, 70resubcld 9455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  RR )
7267ffvelrni 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  -  1 )  e.  RR  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
7469, 73resubcld 9455 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) )  e.  RR )
7564, 74remulcld 9106 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
7620, 75fsumrecl 12518 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
7776, 52rerpdivcld 10665 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
7862, 77resubcld 9455 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
7978, 14rerpdivcld 10665 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  e.  RR )
8018recnd 9104 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
8160, 80mulcld 9098 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
8251recnd 9104 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  CC )
8352rpne0d 10643 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
8482, 80, 83divcld 9780 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  e.  CC )
8581, 84subcld 9401 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
8685abscld 12228 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  e.  RR )
8782abscld 12228 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  RR )
8887, 52rerpdivcld 10665 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
8962, 88resubcld 9455 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
9050recnd 9104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  CC )
9190abscld 12228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  RR )
9220, 91fsumrecl 12518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  RR )
9320, 90fsumabs 12570 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )
9449recnd 9104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
9563, 94absmuld 12246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )
9694abscld 12228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
9763absge0d 12236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )
9844recnd 9104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  e.  CC )
9948recnd 9104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  CC )
10098, 99abs2dif2d 12250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  ( ( abs `  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )  +  ( abs `  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
10173recnd 9104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  e.  CC )
10298, 99addcld 9097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )  e.  CC )
103101, 102pncan2d 9403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( S `  (
n  -  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  -  ( S `
 ( n  - 
1 ) ) )  =  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )
104 elfzuz 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
105104adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
106 elfznn 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
107106adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  NN )
108 vmacl 20891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  (Λ `  k )  e.  RR )
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  (Λ `  k
)  e.  RR )
110107nnrpd 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  RR+ )
111110relogcld 20508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( log `  k )  e.  RR )
112109, 111remulcld 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( (Λ `  k )  x.  ( log `  k ) )  e.  RR )
113 fzfid 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
114 sgmss 20879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  NN  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  ( 1 ... k
) )
115107, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  C_  ( 1 ... k ) )
116 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1 ... k
)  e.  Fin  /\  { y  e.  NN  | 
y  ||  k }  C_  ( 1 ... k
) )  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  e.  Fin )
117113, 115, 116syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  e.  Fin )
118 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  NN
119 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( (  T. 
/\  x  e.  ( 1 (,)  +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  m  e.  { y  e.  NN  | 
y  ||  k }
)
120118, 119sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( (  T. 
/\  x  e.  ( 1 (,)  +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  m  e.  NN )
121120, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( (  T. 
/\  x  e.  ( 1 (,)  +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
122 dvdsdivcl 20956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (
k  /  m )  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )
123107, 122sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( (  T. 
/\  x  e.  ( 1 (,)  +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  ( k  /  m )  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
)
124118, 123sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( (  T. 
/\  x  e.  ( 1 (,)  +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  ( k  /  m )  e.  NN )
125 vmacl 20891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  /  m )  e.  NN  ->  (Λ `  ( k  /  m
) )  e.  RR )
126124, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( (  T. 
/\  x  e.  ( 1 (,)  +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (Λ `  (
k  /  m ) )  e.  RR )
127121, 126remulcld 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( (  T. 
/\  x  e.  ( 1 (,)  +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) )  e.  RR )
128117, 127fsumrecl 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  sum_ m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
k  /  m ) ) )  e.  RR )
129112, 128readdcld 9105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( (
(Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) ) )  e.  RR )
130129recnd 9104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( (
(Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) ) )  e.  CC )
131 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  n  ->  (Λ `  k )  =  (Λ `  n ) )
132 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  n  ->  ( log `  k )  =  ( log `  n
) )
133131, 132oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  (
(Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  =  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )
134 breq2 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  n  ->  (
y  ||  k  <->  y  ||  n ) )
135134rabbidv 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  n  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  =  { y  e.  NN  |  y  ||  n }
)
136 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  n  ->  (
k  /  m )  =  ( n  /  m ) )
137136fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  n  ->  (Λ `  ( k  /  m
) )  =  (Λ `  ( n  /  m
) ) )
138137oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  n  ->  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) )  =  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
n  /  m ) ) ) )
139138adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  =  n  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } )  ->  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) )  =  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
n  /  m ) ) ) )
140135, 139sumeq12rdv 12491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
k  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) )
141133, 140oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
( (Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) ) )
142105, 130, 141fsumm1 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) ( ( (Λ `  k )  x.  ( log `  k ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  +  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) ) ) )
14366pntsval2 21260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  RR  ->  ( S `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  n ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
14465, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
14523nnzd 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
146 flid 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( |_ `  n )  =  n )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  n )  =  n )
148147oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  n ) )  =  ( 1 ... n
) )
149148sumeq1d 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) ( ( (Λ `  k )  x.  ( log `  k ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
150144, 149eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
15166pntsval2 21260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  -  1 )  e.  RR  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( n  - 
1 ) ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
15271, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( n  -  1
) ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
153 1z 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  ZZ
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
155145, 154zsubcld 10370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  ZZ )
156 flid 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( n  - 
1 ) )  =  ( n  -  1 ) )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( n  -  1 ) )  =  ( n  -  1 ) )
158157oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( n  -  1
) ) )  =  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) )
159158sumeq1d 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( n  - 
1 ) ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( ( (Λ `  k )  x.  ( log `  k ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
160152, 159eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
16198, 99addcomd 9258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) ) )
162160, 161oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  ( n  -  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  +  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) ) ) )
163142, 150, 1623eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  =  ( ( S `  (
n  -  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
164163oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) )  =  ( ( ( S `
 ( n  - 
1 ) )  +  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  -  ( S `
 ( n  - 
1 ) ) ) )
165 vmage0 20894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  m )
)
16635, 165syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  0  <_  (Λ `  m ) )
167 vmage0 20894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  /  m )  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  ( n  /  m ) ) )
16840, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  0  <_  (Λ `  ( n  /  m
) ) )
16937, 42, 166, 168mulge0d 9593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  0  <_  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )
17032, 43, 169fsumge0 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  sum_
m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )
17144, 170absidd 12215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )  =  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )
172 vmage0 20894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
17323, 172syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
17423nnge1d 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  n )
17565, 174logge0d 20515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
17646, 47, 173, 175mulge0d 9593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )
17748, 176absidd 12215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )  =  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )
178171, 177oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )  +  ( abs `  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )
179103, 164, 1783eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) )  +  ( abs `  (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
180100, 179breqtrrd 4230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) ) )
18196, 74, 64, 97, 180lemul2ad 9941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18295, 181eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18320, 91, 75, 182fsumle 12568 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18487, 92, 76, 93, 183letrd 9217 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18587, 76, 52, 184lediv1dd 10692 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
18688, 77, 62, 185lesub2dd 9633 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
18760, 80absmuld 12246 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( abs `  ( log `  x
) ) ) )
1886, 13logge0d 20515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( log `  x
) )
18918, 188absidd 12215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( log `  x
) )  =  ( log `  x ) )
190189oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( abs `  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) ) )
191187, 190eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) ) )
19282, 80, 83absdivd 12247 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) ) )
193189oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
194192, 193eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
195191, 194oveq12d 6091 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
19681, 84abs2difd 12249 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  <_  ( abs `  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) ) )
197195, 196eqbrtrrd 4226 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) ) )
19878, 89, 86, 186, 197letrd 9217 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) ) )
19978, 86, 14, 198lediv1dd 10692 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  <_  ( ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  /  x ) )
20054recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
2016recnd 9104 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  CC )
20214rpne0d 10643 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
203200, 201, 202absdivd 12247 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  /  ( abs `  x
) ) )
20414rpge0d 10642 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  x )
2056, 204absidd 12215 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  x )  =  x )
206205oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )  /  ( abs `  x ) )  =  ( ( abs `  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )  /  x ) )
207203, 206eqtrd 2467 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  /  x ) )
208199, 207breqtrrd 4230 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  <_  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )
209208adantrr 698 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  <_  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )
2102, 58, 59, 79, 209lo1le 12435 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O
( 1 ) )
211210trud 1332 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O
( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   RRcr 8979   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983    x. cmul 8985    +oocpnf 9107    < clt 9110    <_ cle 9111    - cmin 9281    / cdiv 9667   NNcn 9990   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478   RR+crp 10602   (,)cioo 10906   ...cfz 11033   |_cfl 11191   abscabs 12029   O ( 1 )co1 12270   <_ O ( 1 )clo1 12271   sum_csu 12469    || cdivides 12842   logclog 20442  Λcvma 20864  ψcchp 20865
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  21264
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ioc 10911  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609  df-shft 11872  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-limsup 12255  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-o1 12274  df-lo1 12275  df-sum 12470  df-ef 12660  df-e 12661  df-sin 12662  df-cos 12663  df-pi 12665  df-dvds 12843  df-gcd 12997  df-prm 13070  df-pc 13201  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lp 17190  df-perf 17191  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-haus 17369  df-cmp 17440  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cncf 18898  df-limc 19743  df-dv 19744  df-log 20444  df-cxp 20445  df-em 20821  df-cht 20869  df-vma 20870  df-chp 20871  df-ppi 20872  df-mu 20873
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