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Theorem pntrlog2bndlem1 20726
Description: The sum of selberg3r 20718 and selberg4r 20719. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O
( 1 )
Distinct variable groups:    i, a, n, x    S, n, x    R, n, x
Allowed substitution hints:    R( i, a)    S( i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem1
Dummy variables  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 8837 . . . 4  |-  1  e.  RR
21a1i 10 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
3 pntrlog2bnd.r . . . . 5  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
43selberg34r 20720 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 )
5 elioore 10686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
65adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
7 1rp 10358 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR+
87a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
98rpred 10390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
10 eliooord 10710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
1110adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
1211simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <  x )
139, 6, 12ltled 8967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
146, 8, 13rpgecld 10425 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
153pntrf 20712 . . . . . . . . . . 11  |-  R : RR+
--> RR
1615ffvelrni 5664 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
1714, 16syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
1814relogcld 19974 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
1917, 18remulcld 8863 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
20 fzfid 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2114adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
22 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2322adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
2423nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2521, 24rpdivcld 10407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
2615ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
28 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
29 sgmss 20344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  C_  ( 1 ... n
) )
3023, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  C_  ( 1 ... n ) )
31 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  { y  e.  NN  | 
y  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  e.  Fin )
3228, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  e.  Fin )
33 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  C_  NN
34 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  m  e.  { y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)
3533, 34sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  m  e.  NN )
36 vmacl 20356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  (Λ `  m )  e.  RR )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
38 dvdsdivcl 20421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } )  ->  (
n  /  m )  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } )
3923, 38sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  ( n  /  m )  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)
4033, 39sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  ( n  /  m )  e.  NN )
41 vmacl 20356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  /  m )  e.  NN  ->  (Λ `  ( n  /  m
) )  e.  RR )
4240, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  (Λ `  (
n  /  m ) )  e.  RR )
4337, 42remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  e.  RR )
4432, 43fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  e.  RR )
45 vmacl 20356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
4623, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
4724relogcld 19974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
4846, 47remulcld 8863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  RR )
4944, 48resubcld 9211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
5027, 49remulcld 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
5120, 50fsumrecl 12207 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
526, 12rplogcld 19980 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
5351, 52rerpdivcld 10417 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  e.  RR )
5419, 53resubcld 9211 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
5554, 14rerpdivcld 10417 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x )  e.  RR )
5655recnd 8861 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x )  e.  CC )
5756lo1o12 12007 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 )  <->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
584, 57mpbii 202 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
5956abscld 11918 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  RR )
6017recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
6160abscld 11918 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( R `  x ) )  e.  RR )
6261, 18remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
6327recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
6463abscld 11918 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
6523nnred 9761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
66 pntsval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
6766pntsf 20722 . . . . . . . . . . 11  |-  S : RR
--> RR
6867ffvelrni 5664 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  RR  ->  ( S `  n )  e.  RR )
6965, 68syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  e.  RR )
701a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
7165, 70resubcld 9211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  RR )
7267ffvelrni 5664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  -  1 )  e.  RR  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
7371, 72syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
7469, 73resubcld 9211 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) )  e.  RR )
7564, 74remulcld 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
7620, 75fsumrecl 12207 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
7776, 52rerpdivcld 10417 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
7862, 77resubcld 9211 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
7978, 14rerpdivcld 10417 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  e.  RR )
8018recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
8160, 80mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
8251recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  CC )
8352rpne0d 10395 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
8482, 80, 83divcld 9536 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  e.  CC )
8581, 84subcld 9157 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
8685abscld 11918 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( R `  x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  e.  RR )
8782abscld 11918 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  RR )
8887, 52rerpdivcld 10417 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
8962, 88resubcld 9211 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
9050recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  CC )
9190abscld 11918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  e.  RR )
9220, 91fsumrecl 12207 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  e.  RR )
9320, 90fsumabs 12259 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) ) )
9449recnd 8861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
9563, 94absmuld 11936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) ) )
9694abscld 11918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  e.  RR )
9763absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )
9844recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  e.  CC )
9948recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  e.  CC )
10098, 99abs2dif2d 11940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  ( ( abs `  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )  +  ( abs `  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
10173recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  e.  CC )
10298, 99addcld 8854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )  e.  CC )
103101, 102pncan2d 9159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( S `  (
n  -  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  -  ( S `
 ( n  - 
1 ) ) )  =  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )
104 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
105104adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
106 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
107106adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  NN )
108 vmacl 20356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  NN  ->  (Λ `  k )  e.  RR )
109107, 108syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  (Λ `  k
)  e.  RR )
110107nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  k  e.  RR+ )
111110relogcld 19974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( log `  k )  e.  RR )
112109, 111remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( (Λ `  k )  x.  ( log `  k ) )  e.  RR )
113 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
114 sgmss 20344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  NN  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  ( 1 ... k
) )
115107, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  C_  ( 1 ... k ) )
116 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1 ... k
)  e.  Fin  /\  { y  e.  NN  | 
y  ||  k }  C_  ( 1 ... k
) )  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  e.  Fin )
117113, 115, 116syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  e.  Fin )
118 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  NN
119 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( (  T. 
/\  x  e.  ( 1 (,)  +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  m  e.  { y  e.  NN  | 
y  ||  k }
)
120118, 119sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( (  T. 
/\  x  e.  ( 1 (,)  +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  m  e.  NN )
121120, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( (  T. 
/\  x  e.  ( 1 (,)  +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (Λ `  m
)  e.  RR )
122 dvdsdivcl 20421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (
k  /  m )  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )
123107, 122sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( (  T. 
/\  x  e.  ( 1 (,)  +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  ( k  /  m )  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
)
124118, 123sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( (  T. 
/\  x  e.  ( 1 (,)  +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  ( k  /  m )  e.  NN )
125 vmacl 20356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  /  m )  e.  NN  ->  (Λ `  ( k  /  m
) )  e.  RR )
126124, 125syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( (  T. 
/\  x  e.  ( 1 (,)  +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (Λ `  (
k  /  m ) )  e.  RR )
127121, 126remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( (  T. 
/\  x  e.  ( 1 (,)  +oo )
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n
) )  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) )  e.  RR )
128117, 127fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  sum_ m  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
k  /  m ) ) )  e.  RR )
129112, 128readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( (
(Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) ) )  e.  RR )
130129recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  k  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( (
(Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) ) )  e.  CC )
131 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  n  ->  (Λ `  k )  =  (Λ `  n ) )
132 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  n  ->  ( log `  k )  =  ( log `  n
) )
133131, 132oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  (
(Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  =  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )
134 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  n  ->  (
y  ||  k  <->  y  ||  n ) )
135134rabbidv 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  n  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  =  { y  e.  NN  |  y  ||  n }
)
136 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  n  ->  (
k  /  m )  =  ( n  /  m ) )
137136fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  n  ->  (Λ `  ( k  /  m
) )  =  (Λ `  ( n  /  m
) ) )
138137oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  n  ->  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) )  =  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
n  /  m ) ) ) )
139138adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  =  n  /\  m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } )  ->  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) )  =  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
n  /  m ) ) ) )
140135, 139sumeq12rdv 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  n  ->  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m
)  x.  (Λ `  (
k  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) )
141133, 140oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
( (Λ `  k )  x.  ( log `  k
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m
) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) ) )
142105, 130, 141fsumm1 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) ( ( (Λ `  k )  x.  ( log `  k ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  +  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) ) ) )
14366pntsval2 20725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  RR  ->  ( S `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  n ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
14465, 143syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
14523nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
146 flid 10939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( |_ `  n )  =  n )
147145, 146syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  n )  =  n )
148147oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  n ) )  =  ( 1 ... n
) )
149148sumeq1d 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  n ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n
) ( ( (Λ `  k )  x.  ( log `  k ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
150144, 149eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... n ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
15166pntsval2 20725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  -  1 )  e.  RR  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( n  - 
1 ) ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
15271, 151syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( n  -  1
) ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
153 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  ZZ
154153a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
155145, 154zsubcld 10122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  ZZ )
156 flid 10939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( n  - 
1 ) )  =  ( n  -  1 ) )
157155, 156syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( n  -  1 ) )  =  ( n  -  1 ) )
158157oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( n  -  1
) ) )  =  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) )
159158sumeq1d 12174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( n  - 
1 ) ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( ( (Λ `  k )  x.  ( log `  k ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
160152, 159eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  ( n  -  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) ) )
16198, 99addcomd 9014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )  =  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n ) )  +  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) ) )
162160, 161oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  ( n  -  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( n  - 
1 ) ) ( ( (Λ `  k
)  x.  ( log `  k ) )  + 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( k  /  m ) ) ) )  +  ( ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) ) ) )
163142, 150, 1623eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S `  n )  =  ( ( S `  (
n  -  1 ) )  +  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )
164163oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) )  =  ( ( ( S `
 ( n  - 
1 ) )  +  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  -  ( S `
 ( n  - 
1 ) ) ) )
165 vmage0 20359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  m )
)
16635, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  0  <_  (Λ `  m ) )
167 vmage0 20359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  /  m )  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  ( n  /  m ) ) )
16840, 167syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  0  <_  (Λ `  ( n  /  m
) ) )
16937, 42, 166, 168mulge0d 9349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n }
)  ->  0  <_  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )
17032, 43, 169fsumge0 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  sum_
m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )
17144, 170absidd 11905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )  =  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )
172 vmage0 20359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
17323, 172syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
17423nnge1d 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  n )
17565, 174logge0d 19981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( log `  n ) )
17646, 47, 173, 175mulge0d 9349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) )
17748, 176absidd 11905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )  =  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) )
178171, 177oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) ) )  +  ( abs `  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  +  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )
179103, 164, 1783eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) ) )  +  ( abs `  (
(Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
180100, 179breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  <_  ( ( S `  n )  -  ( S `  ( n  -  1
) ) ) )
18196, 74, 64, 97, 180lemul2ad 9697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18295, 181eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18320, 91, 75, 182fsumle 12257 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18487, 92, 76, 93, 183letrd 8973 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
18587, 76, 52, 184lediv1dd 10444 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
18688, 77, 62, 185lesub2dd 9389 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
18760, 80absmuld 11936 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( abs `  ( log `  x
) ) ) )
1886, 13logge0d 19981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( log `  x
) )
18918, 188absidd 11905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( log `  x
) )  =  ( log `  x ) )
190189oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( abs `  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) ) )
191187, 190eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) ) )
19282, 80, 83absdivd 11937 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) ) )
193189oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( abs `  ( log `  x
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
194192, 193eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )
195191, 194oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
19681, 84abs2difd 11939 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( R `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  <_  ( abs `  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) ) )
197195, 196eqbrtrrd 4045 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( R `  ( x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n } 
( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) ) )
19878, 89, 86, 186, 197letrd 8973 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) ) )
19978, 86, 14, 198lediv1dd 10444 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  <_  ( ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  /  x ) )
20054recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
2016recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  CC )
20214rpne0d 10395 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
203200, 201, 202absdivd 11937 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  /  ( abs `  x
) ) )
20414rpge0d 10394 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  x )
2056, 204absidd 11905 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  x )  =  x )
206205oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )  /  ( abs `  x ) )  =  ( ( abs `  (
( ( R `  x )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )  /  x ) )
207203, 206eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( ( ( ( R `  x
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  ( x  /  n
) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  n }  (
(Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m ) ) )  -  ( (Λ `  n
)  x.  ( log `  n ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  ( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )  /  x ) )
208199, 207breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  <_  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )
209208adantrr 697 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x )  <_  ( abs `  (
( ( ( R `
 x )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  (
x  /  n ) )  x.  ( sum_ m  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  n }  ( (Λ `  m )  x.  (Λ `  ( n  /  m
) ) )  -  ( (Λ `  n )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  /  x ) ) )
2102, 58, 59, 79, 209lo1le 12125 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O
( 1 ) )
211210trud 1314 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( ( S `
 n )  -  ( S `  ( n  -  1 ) ) ) )  /  ( log `  x ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O
( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   ...cfz 10782   |_cfl 10924   abscabs 11719   O ( 1 )co1 11960   <_ O ( 1 )clo1 11961   sum_csu 12158    || cdivides 12531   logclog 19912  Λcvma 20329  ψcchp 20330
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  20729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-lo1 11965  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-em 20287  df-cht 20334  df-vma 20335  df-chp 20336  df-ppi 20337  df-mu 20338
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