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Theorem pntrlog2bndlem6 20844
Description: Lemma for pntrlog2bnd 20845. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntrlog2bnd.t  |-  T  =  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )
pntrlog2bndlem5.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntrlog2bndlem5.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  B )
pntrlog2bndlem6.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
pntrlog2bndlem6.2  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    i, a, n, x, y, A    B, n, x, y    ph, n, x    S, n, x, y    R, n, x, y    T, n
Allowed substitution hints:    ph( y, i, a)    B( i, a)    R( i, a)    S( i, a)    T( x, y, i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6
StepHypRef Expression
1 elioore 10778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
21adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
3 1rp 10450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
43a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
54rpred 10482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
6 eliooord 10802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
76adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
87simpld 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <  x )
95, 2, 8ltled 9057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
102, 4, 9rpgecld 10517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
11 pntrlog2bnd.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
1211pntrf 20824 . . . . . . . . . . . 12  |-  R : RR+
--> RR
1312ffvelrni 5747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
1410, 13syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
1514recnd 8951 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
1615abscld 12014 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( R `  x ) )  e.  RR )
1710relogcld 20085 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
1816, 17remulcld 8953 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
19 2re 9905 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
2019a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  2  e.  RR )
212, 8rplogcld 20091 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2220, 21rerpdivcld 10509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
23 fzfid 11127 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2410adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
25 elfznn 10911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2625adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
2726nnrpd 10481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2824, 27rpdivcld 10499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
2912ffvelrni 5747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3130recnd 8951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
3231abscld 12014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
3327relogcld 20085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
3432, 33remulcld 8953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3523, 34fsumrecl 12304 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3622, 35remulcld 8953 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
3718, 36resubcld 9301 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
3837recnd 8951 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  CC )
39 fzfid 11127 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  e.  Fin )
40 ssun2 3415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )
41 pntsval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
42 pntrlog2bnd.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )
43 pntrlog2bndlem5.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
44 pntrlog2bndlem5.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  B )
45 pntrlog2bndlem6.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
46 pntrlog2bndlem6.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
4741, 11, 42, 43, 44, 45, 46pntrlog2bndlem6a 20843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ) )
4840, 47syl5sseqr 3303 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )
4948sselda 3256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
5049, 34syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
5139, 50fsumrecl 12304 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
5222, 51remulcld 8953 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
5352recnd 8951 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
542recnd 8951 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  CC )
5510rpne0d 10487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
5638, 53, 54, 55divdird 9664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) ) )
5718recnd 8951 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
5836recnd 8951 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
5957, 58, 53subsubd 9275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
6022recnd 8951 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
6135recnd 8951 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
6251recnd 8951 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
6360, 61, 62subdid 9325 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
643a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
6545, 64, 46rpgecld 10517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
6665adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  A  e.  RR+ )
672, 66rerpdivcld 10509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  /  A )  e.  RR )
68 reflcl 11020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  A )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  A ) )  e.  RR )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  A ) )  e.  RR )
7069ltp1d 9777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  A ) )  < 
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) )
71 fzdisj 10909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  <  ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
7334recnd 8951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
7472, 47, 23, 73fsumsplit 12309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
7574oveq1d 5960 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
76 fzfid 11127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  e. 
Fin )
77 ssun1 3414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )
7877, 47syl5sseqr 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
7978sselda 3256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
8079, 34syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
8176, 80fsumrecl 12304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
8281recnd 8951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
8382, 62pncand 9248 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
8475, 83eqtrd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
8584oveq2d 5961 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
8663, 85eqtr3d 2392 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
8786oveq2d 5961 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
8859, 87eqtr3d 2392 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
8988oveq1d 5960 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )
9056, 89eqtr3d 2392 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )
9190mpteq2dva 4187 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) ) )
9237, 10rerpdivcld 10509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
9352, 10rerpdivcld 10509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  e.  RR )
9441, 11, 42, 43, 44pntrlog2bndlem5 20842 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
95 ioossre 10804 . . . . 5  |-  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR
9695a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR )
97 1re 8927 . . . . 5  |-  1  e.  RR
9897a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
9919a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
10043rpred 10482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10165relogcld 20085 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
102101, 98readdcld 8952 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
103100, 102remulcld 8953 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) )  e.  RR )
10499, 103remulcld 8953 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
10551, 21rerpdivcld 10509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
106100adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  B  e.  RR )
10766relogcld 20085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
108107, 5readdcld 8952 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
109106, 108remulcld 8953 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  e.  RR )
1102, 109remulcld 8953 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
111 2rp 10451 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
112111a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  2  e.  RR+ )
113112rpge0d 10486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  2 )
114106, 2remulcld 8953 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  RR )
11549, 25syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
116115nnrecred 9881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
11739, 116fsumrecl 12304 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
118114, 117remulcld 8953 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  e.  RR )
11921adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
12050, 119rerpdivcld 10509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
121106adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  B  e.  RR )
1222adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
123121, 122remulcld 8953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  RR )
124123, 116remulcld 8953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( B  x.  x )  x.  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
12549, 32syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
126122, 115nndivred 9884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
127121, 126remulcld 8953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  ( x  /  n
) )  e.  RR )
12849, 27syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
129128relogcld 20085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
13010adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
131130relogcld 20085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
13249, 31syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
133132absge0d 12022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )
134 elfzle2 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) )  ->  n  <_  ( |_ `  x
) )
135134adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  ( |_ `  x ) )
136115nnzd 10208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
137 flge 11029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  x  <->  n  <_  ( |_ `  x ) ) )
138122, 136, 137syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  <_  x  <->  n  <_  ( |_
`  x ) ) )
139135, 138mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  x )
140128, 130logled 20089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  <_  x  <->  ( log `  n
)  <_  ( log `  x ) ) )
141139, 140mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  <_  ( log `  x ) )
142129, 131, 125, 133, 141lemul2ad 9787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  x
) ) )
14350, 125, 119ledivmul2d 10532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  <-> 
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  x
) ) ) )
144142, 143mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )
145126recnd 8951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
14649, 28syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
147146rpne0d 10487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  =/=  0
)
148132, 145, 147absdivd 12033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( abs `  (
x  /  n ) ) ) )
14910rpge0d 10486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  x )
150149adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  x )
151122, 128, 150divge0d 10518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( x  /  n ) )
152126, 151absidd 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( x  /  n
) )  =  ( x  /  n ) )
153152oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  / 
( abs `  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( x  /  n ) ) )
154148, 153eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( x  /  n ) ) )
15544ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  B )
156 fveq2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( R `  y )  =  ( R `  ( x  /  n
) ) )
157 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  y  =  ( x  /  n ) )
158156, 157oveq12d 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
( R `  y
)  /  y )  =  ( ( R `
 ( x  /  n ) )  / 
( x  /  n
) ) )
159158fveq2d 5612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( abs `  ( ( R `
 y )  / 
y ) )  =  ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  /  ( x  /  n ) ) ) )
160159breq1d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  B  <->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  <_  B
) )
161160rspcv 2956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y
) )  <_  B  ->  ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  /  ( x  /  n ) ) )  <_  B )
)
162146, 155, 161sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  <_  B
)
163154, 162eqbrtrrd 4126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  / 
( x  /  n
) )  <_  B
)
164125, 121, 146ledivmul2d 10532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( x  /  n ) )  <_  B 
<->  ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  <_  ( B  x.  ( x  /  n
) ) ) )
165163, 164mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  <_  ( B  x.  ( x  /  n ) ) )
166120, 125, 127, 144, 165letrd 9063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( B  x.  ( x  /  n
) ) )
167121recnd 8951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  B  e.  CC )
16854adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
169115nncnd 9852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
170115nnne0d 9880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
171167, 168, 169, 170divassd 9661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( B  x.  x )  /  n )  =  ( B  x.  ( x  /  n ) ) )
172167, 168mulcld 8945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  CC )
173172, 169, 170divrecd 9629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( B  x.  x )  /  n )  =  ( ( B  x.  x
)  x.  ( 1  /  n ) ) )
174171, 173eqtr3d 2392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  ( x  /  n
) )  =  ( ( B  x.  x
)  x.  ( 1  /  n ) ) )
175166, 174breqtrd 4128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( ( B  x.  x )  x.  ( 1  /  n
) ) )
17639, 120, 124, 175fsumle 12354 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) )  /  ( log `  x
) )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( B  x.  x )  x.  (
1  /  n ) ) )
17717recnd 8951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
17849, 73syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
17921rpne0d 10487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
18039, 177, 178, 179fsumdivc 12345 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) )  /  ( log `  x
) ) )
181106recnd 8951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  B  e.  CC )
182181, 54mulcld 8945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  CC )
183116recnd 8951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
18439, 182, 183fsummulc2 12343 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( B  x.  x )  x.  ( 1  /  n ) ) )
185176, 180, 1843brtr4d 4134 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( ( B  x.  x )  x. 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
18643adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  B  e.  RR+ )
187186rpge0d 10486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  B )
188106, 2, 187, 149mulge0d 9439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( B  x.  x
) )
18926nnrecred 9881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
19023, 189fsumrecl 12304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
19117, 107resubcld 9301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  -  ( log `  A ) )  e.  RR )
19217, 5readdcld 8952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  +  1 )  e.  RR )
19379, 189syldan 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
19476, 193fsumrecl 12304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
195 harmonicubnd 20415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
1962, 9, 195syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
19710, 66relogdivd 20088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  ( x  /  A ) )  =  ( ( log `  x
)  -  ( log `  A ) ) )
19810, 66rpdivcld 10499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  /  A )  e.  RR+ )
199 harmoniclbnd 20414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  A )  e.  RR+  ->  ( log `  ( x  /  A
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )
200198, 199syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  ( x  /  A ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( 1  /  n ) )
201197, 200eqbrtrrd 4126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  -  ( log `  A ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( 1  /  n ) )
202190, 191, 192, 194, 196, 201le2subd 9481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( log `  x
)  +  1 )  -  ( ( log `  x )  -  ( log `  A ) ) ) )
20326nncnd 9852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
20426nnne0d 9880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
205203, 204reccld 9619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
20672, 47, 23, 205fsumsplit 12309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( 1  /  n )  + 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
207206oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( 1  /  n ) ) )
20879, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
209208nnrecred 9881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
21076, 209fsumrecl 12304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
211210recnd 8951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
212117recnd 8951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
213211, 212pncan2d 9249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( 1  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) )
214207, 213eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n ) )
215 ax-1cn 8885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
216215a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  CC )
217107recnd 8951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
218177, 216, 217pnncand 9286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  +  1 )  -  ( ( log `  x )  -  ( log `  A ) ) )  =  ( 1  +  ( log `  A
) ) )
2195recnd 8951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  CC )
220219, 217addcomd 9104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  +  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  A
)  +  1 ) )
221218, 220eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  +  1 )  -  ( ( log `  x )  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( log `  A )  +  1 ) )
222202, 214, 2213brtr3d 4133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  A )  +  1 ) )
223117, 108, 114, 188, 222lemul2ad 9787 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( B  x.  x
)  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )
224108recnd 8951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  CC )
225181, 54, 224mulassd 8948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  =  ( B  x.  ( x  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) )
226181, 54, 224mul12d 9111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( B  x.  ( x  x.  ( ( log `  A
)  +  1 ) ) )  =  ( x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
227225, 226eqtrd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  =  ( x  x.  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) )
228223, 227breqtrd 4128 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
229105, 118, 110, 185, 228letrd 9063 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( x  x.  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) )
230105, 110, 20, 113, 229lemul2ad 9787 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( 2  x.  ( x  x.  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) ) )
231 2cn 9906 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
232231a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  2  e.  CC )
233232, 177, 62, 179div32d 9649 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) ) )
234217, 216addcld 8944 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  CC )
235181, 234mulcld 8945 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  e.  CC )
23654, 232, 235mul12d 9111 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  x.  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A
)  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) ) )
237230, 233, 2363brtr4d 4134 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( x  x.  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) ) )
238104adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
23952, 238, 10ledivmuld 10531 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  <_  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  <->  ( (
2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( x  x.  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) ) ) )
240237, 239mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  <_  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
241240adantrr 697 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  /\  1  <_  x
) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  <_  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
24296, 93, 98, 104, 241ello1d 12093 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) )  e. 
<_ O ( 1 ) )
24392, 93, 94, 242lo1add 12196 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
24491, 243eqeltrrd 2433 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619    u. cun 3226    i^i cin 3227    C_ wss 3228   (/)c0 3531   ifcif 3641   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828    + caddc 8830    x. cmul 8832    +oocpnf 8954    < clt 8957    <_ cle 8958    - cmin 9127    / cdiv 9513   NNcn 9836   2c2 9885   ZZcz 10116   RR+crp 10446   (,)cioo 10748   ...cfz 10874   |_cfl 11016   abscabs 11815   <_ O ( 1 )clo1 12057   sum_csu 12255   logclog 20019  Λcvma 20441  ψcchp 20442
This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  20845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-disj 4075  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ioc 10753  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-mod 11066  df-seq 11139  df-exp 11198  df-fac 11382  df-bc 11409  df-hash 11431  df-shft 11658  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-limsup 12041  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-o1 12060  df-lo1 12061  df-sum 12256  df-ef 12446  df-e 12447  df-sin 12448  df-cos 12449  df-pi 12451  df-dvds 12629  df-gcd 12783  df-prm 12856  df-pc 12987  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-nei 16941  df-lp 16974  df-perf 16975  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-haus 17149  df-cmp 17220  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-fil 17643  df-fm 17735  df-flim 17736  df-flf 17737  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cncf 18485  df-limc 19320  df-dv 19321  df-log 20021  df-cxp 20022  df-em 20398  df-cht 20446  df-vma 20447  df-chp 20448  df-ppi 20449  df-mu 20450
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