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Theorem pntrlog2bndlem6 21277
Description: Lemma for pntrlog2bnd 21278. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
pntrlog2bnd.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
pntrlog2bnd.t  |-  T  =  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )
pntrlog2bndlem5.1  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
pntrlog2bndlem5.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  B )
pntrlog2bndlem6.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
pntrlog2bndlem6.2  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    i, a, n, x, y, A    B, n, x, y    ph, n, x    S, n, x, y    R, n, x, y    T, n
Allowed substitution hints:    ph( y, i, a)    B( i, a)    R( i, a)    S( i, a)    T( x, y, i, a)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6
StepHypRef Expression
1 elioore 10946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
21adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
3 1rp 10616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
43a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
54rpred 10648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
6 eliooord 10970 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 (,) 
+oo )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
76adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  <  +oo ) )
87simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <  x )
95, 2, 8ltled 9221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
102, 4, 9rpgecld 10683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
11 pntrlog2bnd.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
1211pntrf 21257 . . . . . . . . . . . 12  |-  R : RR+
--> RR
1312ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
1410, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  RR )
1514recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( R `  x )  e.  CC )
1615abscld 12238 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( R `  x ) )  e.  RR )
1710relogcld 20518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
1816, 17remulcld 9116 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  e.  RR )
19 2re 10069 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  2  e.  RR )
212, 8rplogcld 20524 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2220, 21rerpdivcld 10675 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
23 fzfid 11312 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2410adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
25 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
2625adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
2726nnrpd 10647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
2824, 27rpdivcld 10665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
2912ffvelrni 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( x  /  n ) )  e.  RR )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3130recnd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
3231abscld 12238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
3327relogcld 20518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
3432, 33remulcld 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3523, 34fsumrecl 12528 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
3622, 35remulcld 9116 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
3718, 36resubcld 9465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  RR )
3837recnd 9114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  e.  CC )
39 fzfid 11312 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) )  e.  Fin )
40 ssun2 3511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )
41 pntsval.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  ( a  e.  RR  |->  sum_ i  e.  ( 1 ... ( |_ `  a ) ) ( (Λ `  i )  x.  ( ( log `  i
)  +  (ψ `  ( a  /  i
) ) ) ) )
42 pntrlog2bnd.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( a  e.  RR  |->  if ( a  e.  RR+ ,  ( a  x.  ( log `  a ) ) ,  0 ) )
43 pntrlog2bndlem5.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
44 pntrlog2bndlem5.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y ) )  <_  B )
45 pntrlog2bndlem6.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
46 pntrlog2bndlem6.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
4741, 11, 42, 43, 44, 45, 46pntrlog2bndlem6a 21276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ) )
4840, 47syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )
4948sselda 3348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
5049, 34syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
5139, 50fsumrecl 12528 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
5222, 51remulcld 9116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  RR )
5352recnd 9114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
542recnd 9114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  e.  CC )
5510rpne0d 10653 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
5638, 53, 54, 55divdird 9828 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) ) )
5718recnd 9114 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  e.  CC )
5836recnd 9114 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  e.  CC )
5957, 58, 53subsubd 9439 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
6022recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
6135recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
6251recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
6360, 61, 62subdid 9489 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( 2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
643a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
6545, 64, 46rpgecld 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  A  e.  RR+ )
672, 66rerpdivcld 10675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  /  A )  e.  RR )
68 reflcl 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  A )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  A ) )  e.  RR )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  A ) )  e.  RR )
7069ltp1d 9941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  A ) )  < 
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) )
71 fzdisj 11078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  <  ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) )  =  (/) )
7334recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
7472, 47, 23, 73fsumsplit 12533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
7574oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
76 fzfid 11312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  e. 
Fin )
77 ssun1 3510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) )  u.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) )
7877, 47syl5sseqr 3397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
7978sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
8079, 34syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
8176, 80fsumrecl 12528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  RR )
8281recnd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
8382, 62pncand 9412 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
8475, 83eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )
8584oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
8663, 85eqtr3d 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )
8786oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
8859, 87eqtr3d 2470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) ) )
8988oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  +  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  =  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )
9056, 89eqtr3d 2470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )
9190mpteq2dva 4295 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) ) )
9237, 10rerpdivcld 10675 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( R `  x
) )  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  e.  RR )
9352, 10rerpdivcld 10675 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  e.  RR )
9441, 11, 42, 43, 44pntrlog2bndlem5 21275 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
95 ioossre 10972 . . . . 5  |-  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR
9695a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 (,)  +oo )  C_  RR )
97 1re 9090 . . . . 5  |-  1  e.  RR
9897a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
9919a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
10043rpred 10648 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10165relogcld 20518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
102101, 98readdcld 9115 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
103100, 102remulcld 9116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) )  e.  RR )
10499, 103remulcld 9116 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
10551, 21rerpdivcld 10675 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
106100adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  B  e.  RR )
10766relogcld 20518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
108107, 5readdcld 9115 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
109106, 108remulcld 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  e.  RR )
1102, 109remulcld 9116 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
111 2rp 10617 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
112111a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  2  e.  RR+ )
113112rpge0d 10652 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  2 )
114106, 2remulcld 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  RR )
11549, 25syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
116115nnrecred 10045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
11739, 116fsumrecl 12528 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
118114, 117remulcld 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  e.  RR )
11921adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
12050, 119rerpdivcld 10675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
121106adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  B  e.  RR )
1222adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
123121, 122remulcld 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  RR )
124123, 116remulcld 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( B  x.  x )  x.  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
12549, 32syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
126122, 115nndivred 10048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
127121, 126remulcld 9116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  ( x  /  n
) )  e.  RR )
12849, 27syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
129128relogcld 20518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  RR )
13010adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
131130relogcld 20518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
13249, 31syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
133132absge0d 12246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) ) )
134 elfzle2 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) )  ->  n  <_  ( |_ `  x
) )
135134adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  ( |_ `  x ) )
136115nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
137 flge 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  <_  x  <->  n  <_  ( |_ `  x ) ) )
138122, 136, 137syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  <_  x  <->  n  <_  ( |_
`  x ) ) )
139135, 138mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  x )
140128, 130logled 20522 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  <_  x  <->  ( log `  n
)  <_  ( log `  x ) ) )
141139, 140mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  n )  <_  ( log `  x ) )
142129, 131, 125, 133, 141lemul2ad 9951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  x
) ) )
14350, 125, 119ledivmul2d 10698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  <-> 
( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  <_  (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  x
) ) ) )
144142, 143mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) ) )
145126recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
14649, 28syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
147146rpne0d 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  =/=  0
)
148132, 145, 147absdivd 12257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( abs `  (
x  /  n ) ) ) )
14910rpge0d 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  x )
150149adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  x )
151122, 128, 150divge0d 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( x  /  n ) )
152126, 151absidd 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( x  /  n
) )  =  ( x  /  n ) )
153152oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  / 
( abs `  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( x  /  n ) ) )
154148, 153eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( x  /  n ) ) )
15544ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  B )
156 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( R `  y )  =  ( R `  ( x  /  n
) ) )
157 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  y  =  ( x  /  n ) )
158156, 157oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
( R `  y
)  /  y )  =  ( ( R `
 ( x  /  n ) )  / 
( x  /  n
) ) )
159158fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  ( abs `  ( ( R `
 y )  / 
y ) )  =  ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  /  ( x  /  n ) ) ) )
160159breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( x  /  n )  ->  (
( abs `  (
( R `  y
)  /  y ) )  <_  B  <->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  <_  B
) )
161160rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( A. y  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `  y )  /  y
) )  <_  B  ->  ( abs `  (
( R `  (
x  /  n ) )  /  ( x  /  n ) ) )  <_  B )
)
162146, 155, 161sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  ( x  /  n
) )  /  (
x  /  n ) ) )  <_  B
)
163154, 162eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  / 
( x  /  n
) )  <_  B
)
164125, 121, 146ledivmul2d 10698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  /  ( x  /  n ) )  <_  B 
<->  ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  <_  ( B  x.  ( x  /  n
) ) ) )
165163, 164mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  <_  ( B  x.  ( x  /  n ) ) )
166120, 125, 127, 144, 165letrd 9227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( B  x.  ( x  /  n
) ) )
167121recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  B  e.  CC )
16854adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
169115nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
170115nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
171167, 168, 169, 170divassd 9825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( B  x.  x )  /  n )  =  ( B  x.  ( x  /  n ) ) )
172167, 168mulcld 9108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  CC )
173172, 169, 170divrecd 9793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( B  x.  x )  /  n )  =  ( ( B  x.  x
)  x.  ( 1  /  n ) ) )
174171, 173eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( B  x.  ( x  /  n
) )  =  ( ( B  x.  x
)  x.  ( 1  /  n ) ) )
175166, 174breqtrd 4236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( ( B  x.  x )  x.  ( 1  /  n
) ) )
17639, 120, 124, 175fsumle 12578 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) )  /  ( log `  x
) )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( B  x.  x )  x.  (
1  /  n ) ) )
17717recnd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
17849, 73syldan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( log `  n
) )  e.  CC )
17921rpne0d 10653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
18039, 177, 178, 179fsumdivc 12569 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( abs `  ( R `  (
x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n ) )  /  ( log `  x
) ) )
181106recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  B  e.  CC )
182181, 54mulcld 9108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( B  x.  x )  e.  CC )
183116recnd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
18439, 182, 183fsummulc2 12567 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( B  x.  x )  x.  ( 1  /  n ) ) )
185176, 180, 1843brtr4d 4242 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( ( B  x.  x )  x. 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
18643adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  B  e.  RR+ )
187186rpge0d 10652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  B )
188106, 2, 187, 149mulge0d 9603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  0  <_  ( B  x.  x
) )
18926nnrecred 10045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
19023, 189fsumrecl 12528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
19117, 107resubcld 9465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  -  ( log `  A ) )  e.  RR )
19217, 5readdcld 9115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  +  1 )  e.  RR )
19379, 189syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
19476, 193fsumrecl 12528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
195 harmonicubnd 20848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
1962, 9, 195syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
19710, 66relogdivd 20521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  ( x  /  A ) )  =  ( ( log `  x
)  -  ( log `  A ) ) )
19810, 66rpdivcld 10665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  /  A )  e.  RR+ )
199 harmoniclbnd 20847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  A )  e.  RR+  ->  ( log `  ( x  /  A
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )
200198, 199syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  ( x  /  A ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( 1  /  n ) )
201197, 200eqbrtrrd 4234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  -  ( log `  A ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A
) ) ) ( 1  /  n ) )
202190, 191, 192, 194, 196, 201le2subd 9645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( log `  x
)  +  1 )  -  ( ( log `  x )  -  ( log `  A ) ) ) )
20326nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
20426nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
205203, 204reccld 9783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
20672, 47, 23, 205fsumsplit 12533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( 1  /  n )  + 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
207206oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( 1  /  n ) ) )
20879, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
209208nnrecred 10045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
21076, 209fsumrecl 12528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
211210recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
212117recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
213211, 212pncan2d 9413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  A ) ) ) ( 1  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) )
214207, 213eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n ) )
215 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
216215a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  CC )
217107recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
218177, 216, 217pnncand 9450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  +  1 )  -  ( ( log `  x )  -  ( log `  A ) ) )  =  ( 1  +  ( log `  A
) ) )
2195recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  1  e.  CC )
220219, 217addcomd 9268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
1  +  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  A
)  +  1 ) )
221218, 220eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  +  1 )  -  ( ( log `  x )  -  ( log `  A ) ) )  =  ( ( log `  A )  +  1 ) )
222202, 214, 2213brtr3d 4241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  A )  +  1 ) )
223117, 108, 114, 188, 222lemul2ad 9951 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( B  x.  x
)  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )
224108recnd 9114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  CC )
225181, 54, 224mulassd 9111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  =  ( B  x.  ( x  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) )
226181, 54, 224mul12d 9275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( B  x.  ( x  x.  ( ( log `  A
)  +  1 ) ) )  =  ( x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
227225, 226eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  =  ( x  x.  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) )
228223, 227breqtrd 4236 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( B  x.  x
)  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
229105, 118, 110, 185, 228letrd 9227 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) )  <_  ( x  x.  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) )
230105, 110, 20, 113, 229lemul2ad 9951 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) )  <_  ( 2  x.  ( x  x.  ( B  x.  (
( log `  A
)  +  1 ) ) ) ) )
231 2cn 10070 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
232231a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  2  e.  CC )
233232, 177, 62, 179div32d 9813 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  =  ( 2  x.  ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  (
x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) )  /  ( log `  x ) ) ) )
234217, 216addcld 9107 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  CC )
235181, 234mulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) )  e.  CC )
23654, 232, 235mul12d 9275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
x  x.  ( 2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A
)  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
x  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) ) )
237230, 233, 2363brtr4d 4242 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( x  x.  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) ) )
238104adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  e.  RR )
23952, 238, 10ledivmuld 10697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  <_  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) )  <->  ( (
2  /  ( log `  x ) )  x. 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( x  /  A
) )  +  1 ) ... ( |_
`  x ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  <_ 
( x  x.  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) ) ) )
240237, 239mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 (,)  +oo ) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  <_  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
241240adantrr 698 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  /\  1  <_  x
) )  ->  (
( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x )  <_  (
2  x.  ( B  x.  ( ( log `  A )  +  1 ) ) ) )
24296, 93, 98, 104, 241ello1d 12317 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) )  e. 
<_ O ( 1 ) )
24392, 93, 94, 242lo1add 12420 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( ( abs `  ( R `  x )
)  x.  ( log `  x ) )  -  ( ( 2  / 
( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x )  +  ( ( ( 2  /  ( log `  x
) )  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( x  /  A ) )  +  1 ) ... ( |_ `  x
) ) ( ( abs `  ( R `
 ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) )  /  x ) ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
24491, 243eqeltrrd 2511 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 (,)  +oo )  |->  ( ( ( ( abs `  ( R `
 x ) )  x.  ( log `  x
) )  -  (
( 2  /  ( log `  x ) )  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  A ) ) ) ( ( abs `  ( R `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( log `  n
) ) ) )  /  x ) )  e.  <_ O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    +oocpnf 9117    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   ZZcz 10282   RR+crp 10612   (,)cioo 10916   ...cfz 11043   |_cfl 11201   abscabs 12039   <_ O ( 1 )clo1 12281   sum_csu 12479   logclog 20452  Λcvma 20874  ψcchp 20875
This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  21278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-o1 12284  df-lo1 12285  df-sum 12480  df-ef 12670  df-e 12671  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cxp 20455  df-em 20831  df-cht 20879  df-vma 20880  df-chp 20881  df-ppi 20882  df-mu 20883
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