MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrmax Structured version   Unicode version

Theorem pntrmax 21258
Description: There is a bound on the residual valid for all  x. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrmax  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  c
Distinct variable groups:    x, a    x, c, R
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrmax
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 10622 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
21a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
3 1re 9090 . . . 4  |-  1  e.  RR
43a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
5 pntrval.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
65pntrval 21256 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  =  ( (ψ `  x
)  -  x ) )
7 rpre 10618 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
8 chpcl 20907 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
97, 8syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
109, 7resubcld 9465 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  -  x
)  e.  RR )
116, 10eqeltrd 2510 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( R `
 x )  e.  RR )
12 rerpdivcl 10639 . . . . . 6  |-  ( ( ( R `  x
)  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( R `  x )  /  x
)  e.  RR )
1311, 12mpancom 651 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( R `  x )  /  x )  e.  RR )
1413recnd 9114 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( R `  x )  /  x )  e.  CC )
1514adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( R `  x )  /  x )  e.  CC )
166oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( R `  x )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x )  -  x
)  /  x ) )
179recnd 9114 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
18 rpcn 10620 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
19 rpne0 10627 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
2017, 18, 18, 19divsubdird 9829 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( (ψ `  x )  -  x )  /  x
)  =  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  (
x  /  x ) ) )
2118, 19dividd 9788 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  /  x )  =  1 )
2221oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  (
x  /  x ) )  =  ( ( (ψ `  x )  /  x )  -  1 ) )
2316, 20, 223eqtrd 2472 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( R `  x )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )
2423mpteq2ia 4291 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( ( R `  x )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )
25 rerpdivcl 10639 . . . . . . 7  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
269, 25mpancom 651 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
2726adantl 453 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
283a1i 11 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
29 chpo1ub 21174 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
3029a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
31 ax-1cn 9048 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
32 o1const 12413 . . . . . . 7  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 ) )
331, 31, 32mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 )
3433a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O
( 1 ) )
3527, 28, 30, 34o1sub2 12419 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  e.  O ( 1 ) )
3624, 35syl5eqel 2520 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( R `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 ) )
37 chpcl 20907 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
38 peano2re 9239 . . . . 5  |-  ( (ψ `  y )  e.  RR  ->  ( (ψ `  y
)  +  1 )  e.  RR )
3937, 38syl 16 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
(ψ `  y )  +  1 )  e.  RR )
4039ad2antrl 709 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( y  e.  RR  /\  1  <_  y ) )  -> 
( (ψ `  y
)  +  1 )  e.  RR )
41233ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
( R `  x
)  /  x )  =  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )
4241fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  =  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) ) )
43393ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
(ψ `  y )  +  1 )  e.  RR )
44 resubcl 9365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( (ψ `  y )  +  1 )  e.  RR )  ->  (
1  -  ( (ψ `  y )  +  1 ) )  e.  RR )
453, 43, 44sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
1  -  ( (ψ `  y )  +  1 ) )  e.  RR )
46 0re 9091 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
4746a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  0  e.  RR )
48263ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
(ψ `  x )  /  x )  e.  RR )
49 chpge0 20909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  y )
)
50493ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  0  <_  (ψ `  y )
)
51373ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (ψ `  y )  e.  RR )
52 addge02 9539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  (ψ `  y )  e.  RR )  ->  (
0  <_  (ψ `  y
)  <->  1  <_  (
(ψ `  y )  +  1 ) ) )
533, 51, 52sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
0  <_  (ψ `  y
)  <->  1  <_  (
(ψ `  y )  +  1 ) ) )
5450, 53mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  1  <_  ( (ψ `  y
)  +  1 ) )
55 suble0 9542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( (ψ `  y )  +  1 )  e.  RR )  ->  (
( 1  -  (
(ψ `  y )  +  1 ) )  <_  0  <->  1  <_  ( (ψ `  y )  +  1 ) ) )
563, 43, 55sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
( 1  -  (
(ψ `  y )  +  1 ) )  <_  0  <->  1  <_  ( (ψ `  y )  +  1 ) ) )
5754, 56mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
1  -  ( (ψ `  y )  +  1 ) )  <_  0
)
5893ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
5973ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  x  e.  RR )
60 chpge0 20909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
62 rpregt0 10625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
63623ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
64 divge0 9879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  (ψ `  x
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  0  <_  (
(ψ `  x )  /  x ) )
6558, 61, 63, 64syl21anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  0  <_  ( (ψ `  x
)  /  x ) )
6645, 47, 48, 57, 65letrd 9227 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
1  -  ( (ψ `  y )  +  1 ) )  <_  (
(ψ `  x )  /  x ) )
67 2re 10069 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
68 readdcl 9073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ψ `  y )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
(ψ `  y )  +  2 )  e.  RR )
6951, 67, 68sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
(ψ `  y )  +  2 )  e.  RR )
703a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  1  e.  RR )
7159adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  x  <_  1 )  ->  x  e.  RR )
723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  x  <_  1 )  -> 
1  e.  RR )
7367a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  x  <_  1 )  -> 
2  e.  RR )
74 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  x  <_  1 )  ->  x  <_  1 )
75 1lt2 10142 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  2
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  x  <_  1 )  -> 
1  <  2 )
7771, 72, 73, 74, 76lelttrd 9228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  x  <_  1 )  ->  x  <  2 )
78 chpeq0 20992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  (
(ψ `  x )  =  0  <->  x  <  2 ) )
7971, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  x  <_  1 )  -> 
( (ψ `  x
)  =  0  <->  x  <  2 ) )
8077, 79mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  x  <_  1 )  -> 
(ψ `  x )  =  0 )
8180oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  x  <_  1 )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  =  ( 0  /  x ) )
82 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  x  e.  RR+ )
8382rpcnne0d 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
84 div0 9706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  -> 
( 0  /  x
)  =  0 )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
0  /  x )  =  0 )
8685, 50eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
0  /  x )  <_  (ψ `  y
) )
8786adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  x  <_  1 )  -> 
( 0  /  x
)  <_  (ψ `  y
) )
8881, 87eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  x  <_  1 )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  (ψ `  y
) )
8948adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  1  <_  x )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  e.  RR )
9058adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  1  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  e.  RR )
9151adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  1  <_  x )  -> 
(ψ `  y )  e.  RR )
92 0lt1 9550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  0  <  1 )
94 lediv2a 9904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( (ψ `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
(ψ `  x )
) )  /\  1  <_  x )  ->  (
(ψ `  x )  /  x )  <_  (
(ψ `  x )  /  1 ) )
9594ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x )  /\  (
(ψ `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
(ψ `  x )
) )  ->  (
1  <_  x  ->  ( (ψ `  x )  /  x )  <_  (
(ψ `  x )  /  1 ) ) )
9670, 93, 63, 58, 61, 95syl212anc 1194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
1  <_  x  ->  ( (ψ `  x )  /  x )  <_  (
(ψ `  x )  /  1 ) ) )
9796imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  1  <_  x )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  ( (ψ `  x )  /  1
) )
9890recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  1  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  e.  CC )
9998div1d 9782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  1  <_  x )  -> 
( (ψ `  x
)  /  1 )  =  (ψ `  x
) )
10097, 99breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  1  <_  x )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  (ψ `  x
) )
101 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  y  e.  RR )
102 ltle 9163 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  ->  x  <_  y )
)
1037, 102sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR )  ->  (
x  <  y  ->  x  <_  y ) )
1041033impia 1150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  x  <_  y )
105 chpwordi 20940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  (ψ `  x )  <_  (ψ `  y ) )
10659, 101, 104, 105syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (ψ `  x )  <_  (ψ `  y ) )
107106adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  1  <_  x )  -> 
(ψ `  x )  <_  (ψ `  y )
)
10889, 90, 91, 100, 107letrd 9227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  <  y )  /\  1  <_  x )  -> 
( (ψ `  x
)  /  x )  <_  (ψ `  y
) )
10959, 70, 88, 108lecasei 9179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
(ψ `  x )  /  x )  <_  (ψ `  y ) )
110 2nn0 10238 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
111 nn0addge1 10266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (ψ `  y )  e.  RR  /\  2  e. 
NN0 )  ->  (ψ `  y )  <_  (
(ψ `  y )  +  2 ) )
11251, 110, 111sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (ψ `  y )  <_  (
(ψ `  y )  +  2 ) )
11348, 51, 69, 109, 112letrd 9227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
(ψ `  x )  /  x )  <_  (
(ψ `  y )  +  2 ) )
114 df-2 10058 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =  ( 1  +  1 )
115114oveq2i 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( (ψ `  y )  +  2 )  =  ( (ψ `  y )  +  ( 1  +  1 ) )
11651recnd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (ψ `  y )  e.  CC )
11731a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  1  e.  CC )
118116, 117, 117add12d 9287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
(ψ `  y )  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 1  +  ( (ψ `  y )  +  1 ) ) )
119115, 118syl5eq 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
(ψ `  y )  +  2 )  =  ( 1  +  ( (ψ `  y )  +  1 ) ) )
120113, 119breqtrd 4236 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
(ψ `  x )  /  x )  <_  (
1  +  ( (ψ `  y )  +  1 ) ) )
12148, 70, 43absdifled 12237 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  (
( abs `  (
( (ψ `  x
)  /  x )  -  1 ) )  <_  ( (ψ `  y )  +  1 )  <->  ( ( 1  -  ( (ψ `  y )  +  1 ) )  <_  (
(ψ `  x )  /  x )  /\  (
(ψ `  x )  /  x )  <_  (
1  +  ( (ψ `  y )  +  1 ) ) ) ) )
12266, 120, 121mpbir2and 889 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  -  1 ) )  <_  ( (ψ `  y )  +  1 ) )
12342, 122eqbrtrd 4232 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  y  e.  RR  /\  x  < 
y )  ->  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  <_ 
( (ψ `  y
)  +  1 ) )
1241233expb 1154 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
y  e.  RR  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  ( (ψ `  y )  +  1 ) )
125124adantrlr 704 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  (
(ψ `  y )  +  1 ) )
126125adantll 695 . . 3  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
( y  e.  RR  /\  1  <_  y )  /\  x  <  y ) )  ->  ( abs `  ( ( R `  x )  /  x
) )  <_  (
(ψ `  y )  +  1 ) )
1272, 4, 15, 36, 40, 126o1bddrp 12336 . 2  |-  (  T. 
->  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( abs `  ( ( R `
 x )  /  x ) )  <_ 
c )
128127trud 1332 1  |-  E. c  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( abs `  (
( R `  x
)  /  x ) )  <_  c
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   2c2 10049   NN0cn0 10221   RR+crp 10612   abscabs 12039   O ( 1 )co1 12280  ψcchp 20875
This theorem is referenced by:  pntrlog2bnd  21278  pntibnd  21287  pnt3  21306
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-o1 12284  df-lo1 12285  df-sum 12480  df-ef 12670  df-e 12671  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cxp 20455  df-cht 20879  df-vma 20880  df-chp 20881  df-ppi 20882
  Copyright terms: Public domain W3C validator