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Theorem pntrsumo1 20730
Description: A bound on a sum over  R. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
Assertion
Ref Expression
pntrsumo1  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O
( 1 )
Distinct variable groups:    n, a, x    R, n, x
Allowed substitution hint:    R( a)

Proof of Theorem pntrsumo1
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
2 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
43simplbi 446 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
5 0re 8854 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
65a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
71a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  e.  RR )
8 0lt1 9312 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
98a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  <  1 )
103simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  <_  x )
116, 7, 4, 9, 10ltletrd 8992 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  0  <  x )
124, 11elrpd 10404 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR+ )
1312ssriv 3197 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+
1413a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+ )
15 rpssre 10380 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
1614, 15syl6ss 3204 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR )
17 resmpt 5016 . . . . 5  |-  ( ( 1 [,)  +oo )  C_  RR  ->  ( (
x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  |`  ( 1 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |-> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
1816, 17syl 15 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
19 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  /  n ) )
20 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  (
m  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
2120fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )
2221, 20oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  -  ( n  -  1 ) ) )
2319, 22jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  n )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  -  ( n  -  1 ) ) ) )
24 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
25 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )
2625fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )
2726, 25oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )
2824, 27jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )
29 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
1 ) )
30 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
3130div1i 9504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  1 )  =  1
3229, 31syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
1  /  m )  =  1 )
33 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
3430subidi 9133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3533, 34syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  1  ->  (
m  -  1 )  =  0 )
3635fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  1  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  0 ) )
37 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
38 chpeq0 20463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
(ψ `  0 )  =  0  <->  0  <  2 ) )
395, 38ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ψ `  0 )  =  0  <->  0  <  2
)
4037, 39mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (ψ ` 
0 )  =  0
4136, 40syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  1  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  0 )
4241, 35oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  1  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( 0  -  0 ) )
43 0cn 8847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
4443subidi 9133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  -  0 )  =  0
4542, 44syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  1  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  0 )
4632, 45jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  1  ->  (
( 1  /  m
)  =  1  /\  ( (ψ `  (
m  -  1 ) )  -  ( m  -  1 ) )  =  0 ) )
47 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
1  /  m )  =  ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
48 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
m  -  1 )  =  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )
4948fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  =  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
5049, 48oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) )
5147, 50jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
( 1  /  m
)  =  ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  /\  ( (ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) ) )
5212rprege0d 10413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
53 flge0nn0 10964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( |_ `  x )  e. 
NN0 )
55 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN )
57 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5856, 57syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
59 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  ->  m  e.  NN )
6059adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
6160nnrecred 9807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
6261recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  m )  e.  CC )
6360nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  m  e.  RR )
64 peano2rem 9129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
m  -  1 )  e.  RR )
66 chpcl 20378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  e.  RR )
6765, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (ψ `  ( m  -  1 ) )  e.  RR )
6867, 65resubcld 9227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  e.  RR )
6968recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  m  e.  ( 1 ... (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
(ψ `  ( m  -  1 ) )  -  ( m  - 
1 ) )  e.  CC )
7023, 28, 46, 51, 58, 62, 69fsumparts 12280 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( 1  /  n )  x.  (
( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  -  (
1  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
714flcld 10946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
72 fzval3 10927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
7371, 72syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  =  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
7473eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1..^ ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
75 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
7675adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
7776nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
78 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
7977, 30, 78sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  1 )  =  n )
8076nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR )
8179, 80eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  1 )  e.  RR )
82 chpcl 20378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  e.  RR )
8381, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  e.  RR )
8483recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  e.  CC )
8581recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  1 )  e.  CC )
86 peano2rem 9129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  -  1 )  e.  RR )
8780, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  RR )
88 chpcl 20378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  -  1 )  e.  RR  ->  (ψ `  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
8987, 88syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
n  -  1 ) )  e.  RR )
9089recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
n  -  1 ) )  e.  CC )
9130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
9277, 91subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e.  CC )
9384, 85, 90, 92sub4d 9222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  -  ( ( ( n  +  1 )  - 
1 )  -  (
n  -  1 ) ) ) )
94 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
9576, 94syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  -  1 )  e. 
NN0 )
96 chpp1 20409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  -  1 )  e.  NN0  ->  (ψ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
98 npcan 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  - 
1 )  +  1 )  =  n )
9977, 30, 98sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  -  1 )  +  1 )  =  n )
10099, 79eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  -  1 )  +  1 )  =  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )
101100fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) ) )
10299fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  (
( n  -  1 )  +  1 ) )  =  (Λ `  n
) )
103102oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )  =  ( (ψ `  (
n  -  1 ) )  +  (Λ `  n
) ) )
10497, 101, 1033eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  n ) ) )
105104oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  ( n  -  1
) )  +  (Λ `  n ) )  -  (ψ `  ( n  - 
1 ) ) ) )
106 vmacl 20372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
10776, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
108107recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
10990, 108pncan2d 9175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(ψ `  ( n  -  1 ) )  +  (Λ `  n
) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  (Λ `  n )
)
110105, 109eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  ( n  -  1 ) ) )  =  (Λ `  n )
)
111 peano2cn 9000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  +  1 )  e.  CC )
11277, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  CC )
113112, 77, 91nnncan2d 9208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  -  1 )  -  ( n  - 
1 ) )  =  ( ( n  + 
1 )  -  n
) )
114 pncan2 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  n
)  =  1 )
11577, 30, 114sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  n )  =  1 )
116113, 115eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  -  1 )  -  ( n  - 
1 ) )  =  1 )
117110, 116oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  (ψ `  (
n  -  1 ) ) )  -  (
( ( n  + 
1 )  -  1 )  -  ( n  -  1 ) ) )  =  ( (Λ `  n )  -  1 ) )
11893, 117eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  ( n  - 
1 ) ) )  =  ( (Λ `  n
)  -  1 ) )
119118oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  /  n )  x.  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  (
(Λ `  n )  - 
1 ) ) )
120 peano2rem 9129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Λ `  n )  e.  RR  ->  ( (Λ `  n
)  -  1 )  e.  RR )
121107, 120syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  -  1 )  e.  RR )
122121recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  -  1 )  e.  CC )
12376nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
124122, 77, 123divrec2d 9556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  =  ( ( 1  /  n )  x.  ( (Λ `  n
)  -  1 ) ) )
125119, 124eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  /  n )  x.  ( ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1 ) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  =  ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
12674, 125sumeq12rdv 12196 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( 1  /  n )  x.  (
( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( (ψ `  ( n  -  1
) )  -  (
n  -  1 ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
12754nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( |_ `  x )  e.  CC )
128 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  x ) )
129127, 30, 128sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_ `  x ) )
130129fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  (ψ `  ( |_ `  x
) ) )
131 chpfl 20404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  ( |_ `  x
) )  =  (ψ `  x ) )
1324, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  ( |_ `  x
) )  =  (ψ `  x ) )
133130, 132eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  =  (ψ `  x ) )
134133oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  x
)  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) )
135 chpcl 20378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
1364, 135syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
137136recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
13856nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  CC )
13930a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  e.  CC )
140137, 138, 139subsub3d 9203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
141134, 140eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
142141oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
14356nnrecred 9807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  RR )
144143recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC )
145 peano2cn 9000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (ψ `  x )  e.  CC  ->  ( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  CC )
146137, 145syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  +  1 )  e.  CC )
147144, 146, 138subdid 9251 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  -  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x
)  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) ) )
14856nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  =/=  0 )
149146, 138, 148divrec2d 9556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  =  ( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  x )  +  1 ) ) )
150149eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  =  ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
151138, 148recid2d 9548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  =  1 )
152150, 151oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  x )  +  1 ) )  -  ( ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  x.  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
153142, 147, 1523eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
15430mul01i 9018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  0 )  =  0
155154a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1  x.  0 )  =  0 )
156153, 155oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) )  -  ( 1  x.  0 ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  0 ) )
157 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (ψ `  x )  e.  RR  ->  ( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
158136, 157syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
(ψ `  x )  +  1 )  e.  RR )
159158, 56nndivred 9810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  RR )
160159recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  CC )
161 subcl 9067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
162160, 30, 161sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
163162subid1d 9162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
164156, 163eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( 1  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  x.  (
(ψ `  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) )  -  ( 1  x.  0 ) )  =  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )
165 peano2nn 9774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
166 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
167165, 166mpdan 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
16876, 167syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  NN )
169168nnrecred 9807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
170169recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
171 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
172 pntrval.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  R  =  ( a  e.  RR+  |->  ( (ψ `  a )  -  a ) )
173172pntrf 20728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  R : RR+
--> RR
174173ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( R `
 n )  e.  RR )
175171, 174syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  ( R `  n )  e.  RR )
17676, 175syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  RR )
177176recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  n )  e.  CC )
178170, 177mulneg1d 9248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( -u (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  x.  ( R `  n ) )  = 
-u ( ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n
) ) )
17977, 91mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  1 )  e.  CC )
18077, 112mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  e.  CC )
181168nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  ( n  +  1 ) )  =/=  0
)
182112, 179, 180, 181divsubdird 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( ( n  +  1 )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  -  (
( n  x.  1 )  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
18377mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  x.  1 )  =  n )
184183oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  =  ( ( n  + 
1 )  -  n
) )
185184, 115eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  =  1 )
186185oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  -  ( n  x.  1 ) )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
187112mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  x.  1 )  =  ( n  +  1 ) )
188112, 77mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  x.  n )  =  ( n  x.  (
n  +  1 ) ) )
189187, 188oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( n  +  1 )  x.  n ) )  =  ( ( n  + 
1 )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
19076, 165syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
191190nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  +  1 )  =/=  0 )
19291, 77, 112, 123, 191divcan5d 9578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( n  +  1 )  x.  n ) )  =  ( 1  /  n
) )
193189, 192eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  n
) )
19491, 112, 77, 191, 123divcan5d 9578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  x.  1 )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )
195193, 194oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( n  +  1 )  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  -  ( ( n  x.  1 )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  n )  -  (
1  /  ( n  +  1 ) ) ) )
196182, 186, 1953eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  n )  -  (
1  /  ( n  +  1 ) ) ) )
197196negeqd 9062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( 1  /  n )  -  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) )
19876nnrecred 9807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
199198recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
200190nnrecred 9807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
201200recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  e.  CC )
202199, 201negsubdi2d 9189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( ( 1  /  n )  -  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  / 
( n  +  1 ) )  -  (
1  /  n ) ) )
203197, 202eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  /  ( n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  = 
-u ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
20476nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
20579, 204eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  -  1 )  e.  RR+ )
206172pntrval 20727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  -  1 )  e.  RR+  ->  ( R `
 ( ( n  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( (ψ `  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) )
207205, 206syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( (ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )
20879fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( R `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( R `  n ) )
209207, 208eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) )  =  ( R `
 n ) )
210203, 209oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( 1  /  (
n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  (
-u ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n )
) )
211177, 180, 181divrec2d 9556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n )
) )
212211negeqd 9062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  -u ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( 1  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  x.  ( R `  n
) ) )
213178, 210, 2123eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( 1  /  (
n  +  1 ) )  -  ( 1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) )  =  -u ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
21474, 213sumeq12rdv 12196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
-u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) ) )
215 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
216175, 167nndivred 9810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  e.  RR )
21776, 216syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
218217recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `  n )  /  ( n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
219215, 218fsumneg 12265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
-u ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  =  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
220214, 219eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  /  ( n  + 
1 ) )  -  ( 1  /  n
) )  x.  (
(ψ `  ( (
n  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( n  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
221164, 220oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( ( 1  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  x.  ( (ψ `  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) )  -  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  -  1 ) ) )  -  ( 1  x.  0 ) )  -  sum_ n  e.  ( 1..^ ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) ( ( ( 1  / 
( n  +  1 ) )  -  (
1  /  n ) )  x.  ( (ψ `  ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  -  (
( n  +  1 )  -  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
22270, 126, 2213eqtr3d 2336 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
223 fzfid 11051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
22475adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
225224, 216syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( R `
 n )  / 
( n  x.  (
n  +  1 ) ) )  e.  RR )
226223, 225fsumrecl 12223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  RR )
227226recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
2284, 227syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) )  e.  CC )
229162, 228subnegd 9180 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  -  -u
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) )
230222, 229eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  =  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) )
231230oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  -  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 ) ) )
232162, 228pncan2d 9175 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  (
( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 )  +  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
233231, 232eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
234233mpteq2ia 4118 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( (Λ `  n )  -  1 )  /  n )  -  (
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
235 fzfid 11051 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
23675adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
237236, 106syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
238237, 120syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  -  1 )  e.  RR )
239238, 236nndivred 9810 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  e.  RR )
240235, 239fsumrecl 12223 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  e.  RR )
241 rpre 10376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
242241adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
243242, 135syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
244243, 157syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR )
245 rprege0 10384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
246245, 53syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
247246adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
248247, 55syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
249244, 248nndivred 9810 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  RR )
250 peano2rem 9129 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  e.  RR  ->  ( (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  RR )
251249, 250syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  - 
1 )  e.  RR )
252 reex 8844 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
253252, 15ssexi 4175 . . . . . . . . . . 11  |-  RR+  e.  _V
254253a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  RR+  e.  _V )
255237, 236nndivred 9810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
256255recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
257235, 256fsumcl 12222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
258 relogcl 19948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
259258adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
260259recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
261257, 260subcld 9173 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
262236nnrecred 9807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
263235, 262fsumrecl 12223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
264263, 259resubcld 9227 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
265 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) )
266 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) ) )
267254, 261, 264, 265, 266offval2 6111 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) ) )
268262recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
269235, 256, 268fsumsub 12266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( 1  /  n ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
270237recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
27130a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
272236nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
273236nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
274270, 271, 272, 273divsubdird 9591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  - 
1 )  /  n
)  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  -  (
1  /  n ) ) )
275274sumeq2dv 12192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( 1  /  n ) ) )
276263recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
277257, 276, 260nnncan2d 9208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
) ) )
278269, 275, 2773eqtr4rd 2339 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )
279278mpteq2dva 4122 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) ) )
280267, 279eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) ) )
281 vmadivsum 20647 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
28215a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
283264recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
2841a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
285 harmoniclbnd 20318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )
286285adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
) )
287259, 263, 286abssubge0d 11930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
288287adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )
289241ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
290 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
291 harmonicubnd 20319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
292289, 290, 291syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) )
2931a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
294263, 259, 293lesubadd2d 9387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) )  <_  1  <->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) ) )
295294adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) )  <_ 
1  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  x )  +  1 ) ) )
296292, 295mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) )  <_ 
1 )
297288, 296eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  <_ 
1 )
298282, 283, 284, 284, 297elo1d 12026 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
299 o1sub 12105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O ( 1 )  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )  ->  (
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
300281, 298, 299sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  o F  -  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( 1  /  n )  -  ( log `  x ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
301280, 300eqeltrrd 2371 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n ) )  e.  O ( 1 ) )
302249recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  e.  CC )
30330a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
304243recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
305 rpcnne0 10387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
306305adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
307 divdir 9463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )
308304, 303, 306, 307syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  =  ( ( (ψ `  x
)  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
309308mpteq2dva 4122 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
310 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
311243, 310rerpdivcld 10433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
312 rpreccl 10393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
313312adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
314 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) ) )
315 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
316254, 311, 313, 314, 315offval2 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  o F  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) ) )
317 chpo1ub 20645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
318 divrcnv 12327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0 )
31930, 318ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0
320 rlimo1 12106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
321319, 320mp1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  e.  O
( 1 ) )
322 o1add 12103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 )  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )  ->  ( (
x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  o F  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
323317, 321, 322sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  o F  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
324316, 323eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  /  x
)  +  ( 1  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
325309, 324eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
326244, 310rerpdivcld 10433 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  e.  RR )
327 chpge0 20380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  0  <_  (ψ `  x )
)
328242, 327syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_ 
(ψ `  x )
)
329243, 328ge0p1rpd 10432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
330329rprege0d 10413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_ 
( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )
331248nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
332331rpregt0d 10412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
333 divge0 9641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (ψ `  x )  +  1 ) )  /\  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  0  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
334330, 332, 333syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_ 
( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
335249, 334absidd 11921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  =  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
336326recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  e.  CC )
337336abscld 11934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) )  e.  RR )
338 fllep1 10949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
339242, 338syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )
340 rpregt0 10383 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
341340adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
342329rpregt0d 10412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )
343 lediv2 9662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  /\  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( (ψ `  x
)  +  1 ) ) )  ->  (
x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 )  <->  ( (
(ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
344341, 332, 342, 343syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 )  <->  ( (
(ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
345339, 344mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) )
346326leabsd 11913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
347249, 326, 337, 345, 346letrd 8989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  / 
( ( |_ `  x )  +  1 ) )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
348335, 347eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  x ) ) )
349348adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  <_  ( abs `  (
( (ψ `  x
)  +  1 )  /  x ) ) )
350284, 325, 326, 302, 349o1le 12142 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  e.  O ( 1 ) )
351 o1const 12109 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 ) )
35215, 30, 351mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 )
353352a1i 10 . . . . . . . 8  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O
( 1 ) )
354302, 303, 350, 353o1sub2 12115 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  O ( 1 ) )
355240, 251, 301, 354o1sub2 12115 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  O ( 1 ) )
35614, 355o1res2 12053 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  -  1 )  /  n )  -  ( ( ( (ψ `  x )  +  1 )  /  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  -  1 ) ) )  e.  O ( 1 ) )
357234, 356syl5eqelr 2381 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |-> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
35818, 357eqeltrd 2370 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  |`  (
1 [,)  +oo ) )  e.  O ( 1 ) )
359 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )
360359, 227fmpti 5699 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) ) : RR --> CC
361360a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) ) : RR --> CC )
362 ssid 3210 . . . . 5  |-  RR  C_  RR
363362a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR  C_  RR )
364361, 363, 284o1resb 12056 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O
( 1 )  <->  ( (
x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  |`  ( 1 [,)  +oo ) )  e.  O ( 1 ) ) )
365358, 364mpbird 223 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n
)  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
366365trud 1314 1  |-  ( x  e.  RR  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( R `  n )  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )  e.  O
( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   [,)cico 10674   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886   |_cfl 10940   abscabs 11735    ~~> r crli 11975   O (
1 )co1 11976   sum_csu 12174   logclog 19928  Λcvma 20345  ψcchp 20346
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd  20731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-o1 11980  df-lo1 11981  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931  df-em 20303  df-cht 20350  df-vma 20351  df-chp 20352  df-ppi 20353
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