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Theorem pockthg 12953
 Description: The generalized Pocklington's theorem. If where , then is prime if and only if for every prime factor of , there is an such that and . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1
pockthg.2
pockthg.3
pockthg.4
pockthg.5
Assertion
Ref Expression
pockthg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem pockthg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthg.4 . . 3
2 pockthg.1 . . . . . . 7
3 pockthg.2 . . . . . . 7
42, 3nnmulcld 9793 . . . . . 6
5 nnuz 10263 . . . . . 6
64, 5syl6eleq 2373 . . . . 5
7 eluzp1p1 10253 . . . . 5
86, 7syl 15 . . . 4
9 df-2 9804 . . . . 5
109fveq2i 5528 . . . 4
118, 10syl6eleqr 2374 . . 3
121, 11eqeltrd 2357 . 2
13 eluzelre 10239 . . . . . . . . 9
1412, 13syl 15 . . . . . . . 8
1514adantr 451 . . . . . . 7
162nnred 9761 . . . . . . . . 9
1716resqcld 11271 . . . . . . . 8
1817adantr 451 . . . . . . 7
19 prmnn 12761 . . . . . . . . . 10
2019ad2antrl 708 . . . . . . . . 9
2120nnred 9761 . . . . . . . 8
2221resqcld 11271 . . . . . . 7
23 pockthg.3 . . . . . . . . . . 11
243nnred 9761 . . . . . . . . . . . 12
252nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . 12
26 ltmul2 9607 . . . . . . . . . . . 12
2724, 16, 16, 25, 26syl112anc 1186 . . . . . . . . . . 11
2823, 27mpbid 201 . . . . . . . . . 10
292, 2nnmulcld 9793 . . . . . . . . . . 11
30 nnltp1le 10072 . . . . . . . . . . 11
314, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
3228, 31mpbid 201 . . . . . . . . 9
332nncnd 9762 . . . . . . . . . 10
3433sqvald 11242 . . . . . . . . 9
3532, 1, 343brtr4d 4053 . . . . . . . 8
3635adantr 451 . . . . . . 7
37 pockthg.5 . . . . . . . . . . . . 13
3837adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
39 prmnn 12761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4039ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4140nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4241exp1d 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
43 nnge1 9772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4443ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
462nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4746ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4948a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50 pcdvdsb 12921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5145, 47, 49, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5244, 51mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5342, 52eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16
54 simpl1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5554, 2syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5654, 3syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5754, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5854, 1syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
59 simpl2l 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60 simpl2r 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
61 simpl3l 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
62 simpl3r 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
63 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
64 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
65 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6655, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65pockthlem 12952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6766expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6867rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
69683expa 1151 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7053, 69embantd 50 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14
72 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73 prmuz2 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74 uz2m1nn 10292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7573, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7675ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77 pccl 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7872, 76, 77syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7978nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . . . . . 16
80 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8179, 80syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . 15
8281a1dd 42 . . . . . . . . . . . . . 14
83 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
842ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8583, 84pccld 12903 . . . . . . . . . . . . . . 15
86 elnn0 9967 . . . . . . . . . . . . . . 15
8785, 86sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14
8871, 82, 87mpjaod 370 . . . . . . . . . . . . 13
8988ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . 12
9038, 89mpd 14 . . . . . . . . . . 11
9146adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
9276nnzd 10116 . . . . . . . . . . . 12
93 pc2dvds 12931 . . . . . . . . . . . 12
9491, 92, 93syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
9590, 94mpbird 223 . . . . . . . . . 10
96 dvdsle 12574 . . . . . . . . . . 11
9791, 76, 96syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
9895, 97mpd 14 . . . . . . . . 9
992nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . 11
10099adantr 451 . . . . . . . . . 10
10120nnnn0d 10018 . . . . . . . . . 10
102 nn0ltlem1 10076 . . . . . . . . . 10
103100, 101, 102syl2anc 642 . . . . . . . . 9
10498, 103mpbird 223 . . . . . . . 8
10516adantr 451 . . . . . . . . 9
10699nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . 10
107106adantr 451 . . . . . . . . 9
108101nn0ge0d 10021 . . . . . . . . 9
109105, 21, 107, 108lt2sqd 11279 . . . . . . . 8
110104, 109mpbid 201 . . . . . . 7
11115, 18, 22, 36, 110lelttrd 8974 . . . . . 6
11215, 22ltnled 8966 . . . . . 6
113111, 112mpbid 201 . . . . 5
114113expr 598 . . . 4
115114con2d 107 . . 3
116115ralrimiva 2626 . 2
117 isprm5 12791 . 2
11812, 116, 117sylanbrc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544   class class class wbr 4023  cfv 5255  (class class class)co 5858  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740   cmul 8742   clt 8867   cle 8868   cmin 9037   cdiv 9423  cn 9746  c2 9795  cn0 9965  cz 10024  cuz 10230   cmo 10973  cexp 11104   cdivides 12531   cgcd 12685  cprime 12758   cpc 12889 This theorem is referenced by:  pockthi  12954 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-odz 12833  df-phi 12834  df-pc 12890
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