Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pockthi Structured version   Unicode version

Theorem pockthi 13275
 Description: Pocklington's theorem, which gives a sufficient criterion for a number to be prime. This is the preferred method for verifying large primes, being much more efficient to compute than trial division. This form has been optimized for application to specific large primes; see pockthg 13274 for a more general closed-form version. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthi.p
pockthi.g
pockthi.m
pockthi.n
pockthi.d
pockthi.e
pockthi.a
pockthi.fac
pockthi.gt
pockthi.mod
pockthi.gcd
Assertion
Ref Expression
pockthi

Proof of Theorem pockthi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthi.d . 2
2 pockthi.p . . . . . 6
3 prmnn 13082 . . . . . 6
42, 3ax-mp 8 . . . . 5
5 pockthi.e . . . . . 6
65nnnn0i 10229 . . . . 5
7 nnexpcl 11394 . . . . 5
84, 6, 7mp2an 654 . . . 4
98a1i 11 . . 3
10 id 20 . . 3
11 pockthi.gt . . . 4
1211a1i 11 . . 3
13 pockthi.n . . . . 5
14 pockthi.fac . . . . . . 7
151nncni 10010 . . . . . . . 8
168nncni 10010 . . . . . . . 8
1715, 16mulcomi 9096 . . . . . . 7
1814, 17eqtri 2456 . . . . . 6
1918oveq1i 6091 . . . . 5
2013, 19eqtri 2456 . . . 4
2120a1i 11 . . 3
22 prmdvdsexpb 13115 . . . . . . 7
232, 5, 22mp3an23 1271 . . . . . 6
2413eqcomi 2440 . . . . . . . . . . 11
25 pockthi.m . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 pockthi.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726, 4nnmulcli 10024 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2825, 27eqeltri 2506 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 peano2nn 10012 . . . . . . . . . . . . . . 15
3028, 29ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
3113, 30eqeltri 2506 . . . . . . . . . . . . 13
3231nncni 10010 . . . . . . . . . . . 12
33 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . 12
3428nncni 10010 . . . . . . . . . . . 12
3532, 33, 34subadd2i 9388 . . . . . . . . . . 11
3624, 35mpbir 201 . . . . . . . . . 10
3736oveq2i 6092 . . . . . . . . 9
3837oveq1i 6091 . . . . . . . 8
39 pockthi.mod . . . . . . . . 9
4031nnrei 10009 . . . . . . . . . 10
4128nngt0i 10033 . . . . . . . . . . . 12
4228nnrei 10009 . . . . . . . . . . . . 13
43 1re 9090 . . . . . . . . . . . . 13
44 ltaddpos2 9519 . . . . . . . . . . . . 13
4542, 43, 44mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12
4641, 45mpbi 200 . . . . . . . . . . 11
4746, 13breqtrri 4237 . . . . . . . . . 10
48 1mod 11273 . . . . . . . . . 10
4940, 47, 48mp2an 654 . . . . . . . . 9
5039, 49eqtri 2456 . . . . . . . 8
5138, 50eqtri 2456 . . . . . . 7
52 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . 12
5326nncni 10010 . . . . . . . . . . . . . . 15
544nncni 10010 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54mulcomi 9096 . . . . . . . . . . . . . 14
5636, 25, 553eqtrri 2461 . . . . . . . . . . . . 13
5732, 33subcli 9376 . . . . . . . . . . . . . 14
584nnne0i 10034 . . . . . . . . . . . . . 14
5957, 54, 53, 58divmuli 9768 . . . . . . . . . . . . 13
6056, 59mpbir 201 . . . . . . . . . . . 12
6152, 60syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11
6261oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10
6362oveq1d 6096 . . . . . . . . 9
6463oveq1d 6096 . . . . . . . 8
65 pockthi.gcd . . . . . . . 8
6664, 65syl6eq 2484 . . . . . . 7
67 pockthi.a . . . . . . . . 9
6867nnzi 10305 . . . . . . . 8
69 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . 12
7069oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11
7170eqeq1d 2444 . . . . . . . . . 10
72 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . 13
7372oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12
7473oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11
7574eqeq1d 2444 . . . . . . . . . 10
7671, 75anbi12d 692 . . . . . . . . 9
7776rspcev 3052 . . . . . . . 8
7868, 77mpan 652 . . . . . . 7
7951, 66, 78sylancr 645 . . . . . 6
8023, 79syl6bi 220 . . . . 5
8180rgen 2771 . . . 4
8281a1i 11 . . 3
839, 10, 12, 21, 82pockthg 13274 . 2
841, 83ax-mp 8 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   clt 9120   cmin 9291   cdiv 9677  cn 10000  cn0 10221  cz 10282   cmo 11250  cexp 11382   cdivides 12852   cgcd 13006  cprime 13079 This theorem is referenced by:  1259prm  13455  2503prm  13459  4001prm  13464 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-odz 13154  df-phi 13155  df-pc 13211
 Copyright terms: Public domain W3C validator