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Theorem pockthlem 13273
Description: Lemma for pockthg 13274. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
pockthg.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
pockthg.3  |-  ( ph  ->  B  <  A )
pockthg.4  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A  x.  B )  +  1 ) )
pockthlem.5  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
pockthlem.6  |-  ( ph  ->  P  ||  N )
pockthlem.7  |-  ( ph  ->  Q  e.  Prime )
pockthlem.8  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  e.  NN )
pockthlem.9  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
pockthlem.10  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  1 )
pockthlem.11  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( ( N  -  1 )  /  Q ) )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1 )
Assertion
Ref Expression
pockthlem  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  <_  ( Q  pCnt  ( P  -  1 ) ) )

Proof of Theorem pockthlem
StepHypRef Expression
1 pockthlem.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  Prime )
2 pockthg.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
3 pcdvds 13237 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  A
)
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) 
||  A )
52nnzd 10374 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
6 pockthg.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
76nnzd 10374 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
8 dvdsmul1 12871 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  ||  ( A  x.  B ) )
95, 7, 8syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  ||  ( A  x.  B ) )
10 pockthg.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( A  x.  B )  +  1 ) )
1110oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  =  ( ( ( A  x.  B
)  +  1 )  -  1 ) )
122, 6nnmulcld 10047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
1312nncnd 10016 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
14 ax-1cn 9048 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
15 pncan 9311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  x.  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( A  x.  B )  +  1 )  -  1 )  =  ( A  x.  B ) )
1613, 14, 15sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  B )  +  1 )  -  1 )  =  ( A  x.  B ) )
1711, 16eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  =  ( A  x.  B ) )
189, 17breqtrrd 4238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  ||  ( N  -  1 ) )
19 prmnn 13082 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  Prime  ->  Q  e.  NN )
201, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
21 pockthlem.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  e.  NN )
2221nnnn0d 10274 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  e.  NN0 )
2320, 22nnexpcld 11544 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  NN )
2423nnzd 10374 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  ZZ )
25 1z 10311 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
26 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2712, 26syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
28 eluzp1p1 10511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  x.  B )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  B )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
3010, 29eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
31 eluzp1m1 10509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
3225, 30, 31sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
3332, 26syl6eleqr 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN )
3433nnzd 10374 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
35 dvdstr 12883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  (
( ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  ||  A  /\  A  ||  ( N  -  1 ) )  ->  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  ||  ( N  -  1 ) ) )
3624, 5, 34, 35syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  A  /\  A  ||  ( N  -  1 ) )  ->  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  ||  ( N  -  1 ) ) )
374, 18, 36mp2and 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) 
||  ( N  - 
1 ) )
3823nnne0d 10044 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  =/=  0 )
39 dvdsval2 12855 . . . . . 6  |-  ( ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  ZZ  /\  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  =/=  0  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ ) )
4024, 38, 34, 39syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ ) )
4137, 40mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ )
42 pockthlem.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
43 prmnn 13082 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
4442, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
45 pockthlem.9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
4644nnzd 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
47 gcddvds 13015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( ( C  gcd  P )  ||  C  /\  ( C  gcd  P ) 
||  P ) )
4845, 46, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  P )  ||  C  /\  ( C  gcd  P ) 
||  P ) )
4948simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  ||  C )
5048simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  ||  P )
51 pockthlem.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  N )
5245, 46gcdcld 13018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  e.  NN0 )
5352nn0zd 10373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  e.  ZZ )
54 df-2 10058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5554fveq2i 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  =  (
ZZ>= `  ( 1  +  1 ) )
5630, 55syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
57 eluz2b2 10548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  1  < 
N ) )
5856, 57sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  /\  1  <  N ) )
5958simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6059nnzd 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
61 dvdstr 12883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  gcd  P
)  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( C  gcd  P )  ||  P  /\  P  ||  N )  -> 
( C  gcd  P
)  ||  N )
)
6253, 46, 60, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  P )  ||  P  /\  P  ||  N
)  ->  ( C  gcd  P )  ||  N
) )
6350, 51, 62mp2and 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  ||  N )
6459nnne0d 10044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
65 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  =  0  /\  N  =  0 )  ->  N  =  0 )
6665necon3ai 2644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =/=  0  ->  -.  ( C  =  0  /\  N  =  0
) )
6764, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( C  =  0  /\  N  =  0 ) )
68 dvdslegcd 13016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  gcd  P )  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( C  =  0  /\  N  =  0
) )  ->  (
( ( C  gcd  P )  ||  C  /\  ( C  gcd  P ) 
||  N )  -> 
( C  gcd  P
)  <_  ( C  gcd  N ) ) )
6953, 45, 60, 67, 68syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C  gcd  P )  ||  C  /\  ( C  gcd  P )  ||  N )  ->  ( C  gcd  P )  <_  ( C  gcd  N ) ) )
7049, 63, 69mp2and 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  <_  ( C  gcd  N ) )
71 pockthlem.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  1 )
7271oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  gcd  N
)  =  ( 1  gcd  N ) )
7333nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
74 zexpcl 11396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( C ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
7545, 73, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
76 modgcd 13036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  gcd  N
)  =  ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  gcd  N ) )
7775, 59, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  gcd  N
)  =  ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  gcd  N ) )
78 gcdcom 13020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 1  gcd  N
)  =  ( N  gcd  1 ) )
7925, 60, 78sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  gcd  N
)  =  ( N  gcd  1 ) )
80 gcd1 13032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  gcd  1 )  =  1 )
8160, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  gcd  1
)  =  1 )
8279, 81eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  gcd  N
)  =  1 )
8372, 77, 823eqtr3d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( N  -  1 ) )  gcd  N
)  =  1 )
84 rpexp 13120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  NN )  -> 
( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  gcd 
N )  =  1  <-> 
( C  gcd  N
)  =  1 ) )
8545, 60, 33, 84syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  gcd 
N )  =  1  <-> 
( C  gcd  N
)  =  1 ) )
8683, 85mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  N
)  =  1 )
8770, 86breqtrd 4236 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  <_  1 )
8844nnne0d 10044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
89 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  =  0  /\  P  =  0 )  ->  P  =  0 )
9089necon3ai 2644 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  =/=  0  ->  -.  ( C  =  0  /\  P  =  0
) )
9188, 90syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  ( C  =  0  /\  P  =  0 ) )
92 gcdn0cl 13014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  -.  ( C  =  0  /\  P  =  0 ) )  ->  ( C  gcd  P )  e.  NN )
9345, 46, 91, 92syl21anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  e.  NN )
94 nnle1eq1 10028 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  gcd  P )  e.  NN  ->  (
( C  gcd  P
)  <_  1  <->  ( C  gcd  P )  =  1 ) )
9593, 94syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( C  gcd  P )  <_  1  <->  ( C  gcd  P )  =  1 ) )
9687, 95mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  gcd  P
)  =  1 )
97 odzcl 13179 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  NN  /\  C  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  P )  =  1 )  ->  (
( od Z `  P ) `  C
)  e.  NN )
9844, 45, 96, 97syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( od Z `  P ) `  C
)  e.  NN )
9998nnzd 10374 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( od Z `  P ) `  C
)  e.  ZZ )
10059nnred 10015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
10158simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  N )
102 1mod 11273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  <  N )  -> 
( 1  mod  N
)  =  1 )
103100, 101, 102syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  mod  N
)  =  1 )
10471, 103eqtr4d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  ( 1  mod  N ) )
10525a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
106 moddvds 12859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( C ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( ( C ^
( N  -  1 ) )  mod  N
)  =  ( 1  mod  N )  <->  N  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) ) )
10759, 75, 105, 106syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  mod 
N )  =  ( 1  mod  N )  <-> 
N  ||  ( ( C ^ ( N  - 
1 ) )  - 
1 ) ) )
108104, 107mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  ||  ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) )
109 peano2zm 10320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  e.  ZZ  ->  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
11075, 109syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( N  -  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
111 dvdstr 12883 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  ||  N  /\  N  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) )  ->  P  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) ) )
11246, 60, 110, 111syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  ||  N  /\  N  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) )  ->  P  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) ) )
11351, 108, 112mp2and 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 ) )
114 odzdvds 13181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  C  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  P )  =  1 )  /\  ( N  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 )  <-> 
( ( od Z `  P ) `  C
)  ||  ( N  -  1 ) ) )
11544, 45, 96, 73, 114syl31anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( C ^ ( N  -  1 ) )  -  1 )  <-> 
( ( od Z `  P ) `  C
)  ||  ( N  -  1 ) ) )
116113, 115mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( od Z `  P ) `  C
)  ||  ( N  -  1 ) )
11733nncnd 10016 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  CC )
11823nncnd 10016 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  CC )
119117, 118, 38divcan1d 9791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  =  ( N  -  1 ) )
120116, 119breqtrrd 4238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( od Z `  P ) `  C
)  ||  ( (
( N  -  1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) ) )
121 nprmdvds1 13111 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
12242, 121syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  1
)
12320nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
124 iddvdsexp 12873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q  e.  ZZ  /\  ( Q  pCnt  A )  e.  NN )  ->  Q  ||  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) ) )
125123, 21, 124syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  ||  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )
126 dvdstr 12883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q  e.  ZZ  /\  ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  (
( Q  ||  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  /\  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( N  -  1 ) )  ->  Q  ||  ( N  -  1 ) ) )
127123, 24, 34, 126syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q  ||  ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  /\  ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  ||  ( N  -  1
) )  ->  Q  ||  ( N  -  1 ) ) )
128125, 37, 127mp2and 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  ||  ( N  -  1 ) )
12920nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  =/=  0 )
130 dvdsval2 12855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q  e.  ZZ  /\  Q  =/=  0  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( Q  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  ZZ ) )
131123, 129, 34, 130syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  ||  ( N  -  1 )  <-> 
( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  ZZ ) )
132128, 131mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  ZZ )
13373nn0ge0d 10277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N  -  1 ) )
13433nnred 10015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
13520nnred 10015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  e.  RR )
13620nngt0d 10043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <  Q )
137 ge0div 9877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  Q  e.  RR  /\  0  <  Q )  ->  (
0  <_  ( N  -  1 )  <->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  Q ) ) )
138134, 135, 136, 137syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( N  -  1 )  <->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  Q ) ) )
139133, 138mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( N  -  1 )  /  Q ) )
140 elnn0z 10294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  -  1 )  /  Q )  e.  NN0  <->  ( ( ( N  -  1 )  /  Q )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  Q
) ) )
141132, 139, 140sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  NN0 )
142 zexpcl 11396 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  ( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  NN0 )  ->  ( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  e.  ZZ )
14345, 141, 142syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  e.  ZZ )
144 peano2zm 10320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C ^ ( ( N  -  1 )  /  Q ) )  e.  ZZ  ->  (
( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  -  1 )  e.  ZZ )
145143, 144syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  e.  ZZ )
146 dvdsgcd 13043 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( P  ||  ( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  /\  P  ||  N )  ->  P  ||  ( ( ( C ^ ( ( N  -  1 )  /  Q ) )  - 
1 )  gcd  N
) ) )
14746, 145, 60, 146syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  ||  ( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  /\  P  ||  N )  ->  P  ||  ( ( ( C ^ ( ( N  -  1 )  /  Q ) )  - 
1 )  gcd  N
) ) )
14851, 147mpan2d 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  -  1 )  ->  P  ||  (
( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  gcd  N ) ) )
149 odzdvds 13181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  NN  /\  C  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  P )  =  1 )  /\  ( ( N  - 
1 )  /  Q
)  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  (
( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  -  1 )  <-> 
( ( od Z `  P ) `  C
)  ||  ( ( N  -  1 )  /  Q ) ) )
15044, 45, 96, 141, 149syl31anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  -  1 )  <-> 
( ( od Z `  P ) `  C
)  ||  ( ( N  -  1 )  /  Q ) ) )
15120nncnd 10016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
15221nnzd 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  e.  ZZ )
153151, 129, 152expm1d 11533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) )  =  ( ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  /  Q ) )
154153oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ ( ( Q 
pCnt  A )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  /  Q ) ) )
155134, 23nndivred 10048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  RR )
156155recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  CC )
157156, 118, 151, 129divassd 9825 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  1 )  /  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) ) )  x.  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  /  Q )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) ) )  x.  ( ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  /  Q
) ) )
158119oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  -  1 )  /  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) ) )  x.  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  /  Q )  =  ( ( N  -  1 )  /  Q ) )
159154, 157, 1583eqtr2d 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ ( ( Q 
pCnt  A )  -  1 ) ) )  =  ( ( N  - 
1 )  /  Q
) )
160159breq2d 4224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( od
Z `  P ) `  C )  ||  (
( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) ) )  <->  ( ( od Z `  P ) `
 C )  ||  ( ( N  - 
1 )  /  Q
) ) )
161150, 160bitr4d 248 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( C ^ (
( N  -  1 )  /  Q ) )  -  1 )  <-> 
( ( od Z `  P ) `  C
)  ||  ( (
( N  -  1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) ) ) ) )
162 pockthlem.11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ ( ( N  -  1 )  /  Q ) )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1 )
163162breq2d 4224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( ( C ^
( ( N  - 
1 )  /  Q
) )  -  1 )  gcd  N )  <-> 
P  ||  1 ) )
164148, 161, 1633imtr3d 259 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( od
Z `  P ) `  C )  ||  (
( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) ) )  ->  P  ||  1 ) )
165122, 164mtod 170 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( ( od
Z `  P ) `  C )  ||  (
( ( N  - 
1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) ) ) )
166 prmpwdvds 13272 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( od Z `  P ) `  C
)  e.  ZZ )  /\  ( Q  e. 
Prime  /\  ( Q  pCnt  A )  e.  NN )  /\  ( ( ( od Z `  P
) `  C )  ||  ( ( ( N  -  1 )  / 
( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  /\  -.  ( ( od Z `  P ) `  C
)  ||  ( (
( N  -  1 )  /  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) )  x.  ( Q ^ (
( Q  pCnt  A
)  -  1 ) ) ) ) )  ->  ( Q ^
( Q  pCnt  A
) )  ||  (
( od Z `  P ) `  C
) )
16741, 99, 1, 21, 120, 165, 166syl222anc 1200 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) 
||  ( ( od
Z `  P ) `  C ) )
168 odzphi 13182 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  NN  /\  C  e.  ZZ  /\  ( C  gcd  P )  =  1 )  ->  (
( od Z `  P ) `  C
)  ||  ( phi `  P ) )
16944, 45, 96, 168syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( od Z `  P ) `  C
)  ||  ( phi `  P ) )
170 phiprm 13166 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( phi `  P )  =  ( P  -  1 ) )
17142, 170syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( phi `  P
)  =  ( P  -  1 ) )
172169, 171breqtrd 4236 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( od Z `  P ) `  C
)  ||  ( P  -  1 ) )
173 prmuz2 13097 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
17442, 173syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
175174, 55syl6eleq 2526 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )
176 eluzp1m1 10509 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  P  e.  ( ZZ>= `  ( 1  +  1 ) ) )  -> 
( P  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
17725, 175, 176sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
178177, 26syl6eleqr 2527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
179178nnzd 10374 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  -  1 )  e.  ZZ )
180 dvdstr 12883 . . . 4  |-  ( ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  e.  ZZ  /\  (
( od Z `  P ) `  C
)  e.  ZZ  /\  ( P  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( Q ^ ( Q 
pCnt  A ) )  ||  ( ( od Z `  P ) `  C
)  /\  ( ( od Z `  P ) `
 C )  ||  ( P  -  1
) )  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( P  -  1 ) ) )
18124, 99, 179, 180syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  (
( od Z `  P ) `  C
)  /\  ( ( od Z `  P ) `
 C )  ||  ( P  -  1
) )  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( P  -  1 ) ) )
182167, 172, 181mp2and 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) ) 
||  ( P  - 
1 ) )
183 pcdvdsb 13242 . . 3  |-  ( ( Q  e.  Prime  /\  ( P  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( Q  pCnt  A )  e. 
NN0 )  ->  (
( Q  pCnt  A
)  <_  ( Q  pCnt  ( P  -  1 ) )  <->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( P  -  1 ) ) )
1841, 179, 22, 183syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  pCnt  A )  <_  ( Q  pCnt  ( P  -  1 ) )  <->  ( Q ^ ( Q  pCnt  A ) )  ||  ( P  -  1 ) ) )
185182, 184mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( Q  pCnt  A
)  <_  ( Q  pCnt  ( P  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488    mod cmo 11250   ^cexp 11382    || cdivides 12852    gcd cgcd 13006   Primecprime 13079   od Zcodz 13152   phicphi 13153    pCnt cpc 13210
This theorem is referenced by:  pockthg  13274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-odz 13154  df-phi 13155  df-pc 13211
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