Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  polid2i Unicode version

Theorem polid2i 21736
 Description: Generalized polarization identity. Generalization of Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polid2.1
polid2.2
polid2.3
polid2.4
Assertion
Ref Expression
polid2i

Proof of Theorem polid2i
StepHypRef Expression
1 polid2.1 . . . 4
2 polid2.2 . . . 4
31, 2hicli 21660 . . 3
4 4cn 9820 . . 3
5 4re 9819 . . . 4
6 4pos 9832 . . . 4
75, 6gt0ne0ii 9309 . . 3
83, 4, 7divcan3i 9506 . 2
9 2cn 9816 . . . . 5
10 polid2.3 . . . . . . 7
11 polid2.4 . . . . . . 7
1210, 11hicli 21660 . . . . . 6
133, 12addcli 8841 . . . . 5
143, 12subcli 9122 . . . . 5
159, 13, 14adddii 8847 . . . 4
16 ppncan 9089 . . . . . . . 8
173, 12, 3, 16mp3an 1277 . . . . . . 7
1832timesi 9845 . . . . . . 7
1917, 18eqtr4i 2306 . . . . . 6
2019oveq2i 5869 . . . . 5
219, 9, 3mulassi 8846 . . . . 5
22 2t2e4 9871 . . . . . 6
2322oveq1i 5868 . . . . 5
2420, 21, 233eqtr2ri 2310 . . . 4
251, 11hicli 21660 . . . . . . . 8
2610, 2hicli 21660 . . . . . . . 8
2725, 26addcli 8841 . . . . . . 7
2827, 13, 13pnncani 9141 . . . . . 6
291, 10, 11, 2normlem8 21696 . . . . . . 7
301, 10, 11, 2normlem9 21697 . . . . . . 7
3129, 30oveq12i 5870 . . . . . 6
32132timesi 9845 . . . . . 6
3328, 31, 323eqtr4i 2313 . . . . 5
34 ax-icn 8796 . . . . . . . . . . 11
3534, 10hvmulcli 21594 . . . . . . . . . 10
3634, 2hvmulcli 21594 . . . . . . . . . 10
371, 35, 11, 36normlem8 21696 . . . . . . . . 9
381, 35, 11, 36normlem9 21697 . . . . . . . . 9
3937, 38oveq12i 5870 . . . . . . . 8
4035, 36hicli 21660 . . . . . . . . . 10
4125, 40addcli 8841 . . . . . . . . 9
421, 36hicli 21660 . . . . . . . . . 10
4335, 11hicli 21660 . . . . . . . . . 10
4442, 43addcli 8841 . . . . . . . . 9
4541, 44, 44pnncani 9141 . . . . . . . 8
46442timesi 9845 . . . . . . . . 9
47 his5 21665 . . . . . . . . . . . . 13
4834, 1, 2, 47mp3an 1277 . . . . . . . . . . . 12
49 cji 11644 . . . . . . . . . . . . 13
5049oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . 12
5148, 50eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11
52 ax-his3 21663 . . . . . . . . . . . 12
5334, 10, 11, 52mp3an 1277 . . . . . . . . . . 11
5451, 53oveq12i 5870 . . . . . . . . . 10
5554oveq2i 5869 . . . . . . . . 9
5646, 55eqtr3i 2305 . . . . . . . 8
5739, 45, 563eqtri 2307 . . . . . . 7
5857oveq2i 5869 . . . . . 6
5934negcli 9114 . . . . . . . . 9
6059, 3mulcli 8842 . . . . . . . 8
6134, 12mulcli 8842 . . . . . . . 8
6260, 61addcli 8841 . . . . . . 7
639, 34, 62mul12i 9007 . . . . . 6
6434, 60, 61adddii 8847 . . . . . . . 8
6534, 34mulneg2i 9226 . . . . . . . . . . . 12
66 ixi 9397 . . . . . . . . . . . . 13
6766negeqi 9045 . . . . . . . . . . . 12
68 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . 13
6968negnegi 9116 . . . . . . . . . . . 12
7065, 67, 693eqtri 2307 . . . . . . . . . . 11
7170oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10
7234, 59, 3mulassi 8846 . . . . . . . . . 10
733mulid2i 8840 . . . . . . . . . 10
7471, 72, 733eqtr3i 2311 . . . . . . . . 9
7566oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10
7634, 34, 12mulassi 8846 . . . . . . . . . 10
7712mulm1i 9224 . . . . . . . . . 10
7875, 76, 773eqtr3i 2311 . . . . . . . . 9
7974, 78oveq12i 5870 . . . . . . . 8
803, 12negsubi 9124 . . . . . . . 8
8164, 79, 803eqtri 2307 . . . . . . 7
8281oveq2i 5869 . . . . . 6
8358, 63, 823eqtr2i 2309 . . . . 5
8433, 83oveq12i 5870 . . . 4
8515, 24, 843eqtr4i 2313 . . 3
8685oveq1i 5868 . 2
878, 86eqtr3i 2305 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wceq 1623   wcel 1684  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  c1 8738  ci 8739   caddc 8740   cmul 8742   cmin 9037  cneg 9038   cdiv 9423  c2 9795  c4 9797  ccj 11581  chil 21499   cva 21500   csm 21501   csp 21502   cmv 21505 This theorem is referenced by:  polidi  21737  lnopeq0lem1  22585  lnophmlem2  22597 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-hfvadd 21580  ax-hfvmul 21585  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-hvsub 21551
 Copyright terms: Public domain W3C validator