Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polssatN Structured version   Unicode version

Theorem polssatN 30606
Description: The polarity of a set of atoms is a set of atoms. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polssat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
polssat.p  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
Assertion
Ref Expression
polssatN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  C_  A )

Proof of Theorem polssatN
StepHypRef Expression
1 polssat.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2 eqid 2435 . . 3  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
3 polssat.p . . 3  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
41, 2, 3polsubN 30605 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  e.  ( PSubSp `  K )
)
51, 2psubssat 30452 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  X )  e.  ( PSubSp `  K )
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  A
)
64, 5syldan 457 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  C_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   ` cfv 5446   Atomscatm 29962   HLchlt 30049   PSubSpcpsubsp 30194   _|_ PcpolN 30600
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  30616  polcon2N  30617  pclss2polN  30619  2pmaplubN  30624  paddunN  30625  ispsubcl2N  30645  poml5N  30652  osumcllem1N  30654  osumcllem2N  30655  osumcllem3N  30656  osumcllem9N  30662  osumcllem11N  30664  pexmidN  30667  pexmidlem2N  30669  pexmidlem3N  30670  pexmidlem7N  30674  pexmidlem8N  30675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14393  df-lub 14421  df-glb 14422  df-join 14423  df-meet 14424  df-p1 14459  df-lat 14465  df-clat 14527  df-oposet 29875  df-ol 29877  df-oml 29878  df-ats 29966  df-atl 29997  df-cvlat 30021  df-hlat 30050  df-psubsp 30201  df-pmap 30202  df-polarityN 30601
  Copyright terms: Public domain W3C validator