Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polssatN Unicode version

Theorem polssatN 30024
Description: The polarity of a set of atoms is a set of atoms. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polssat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
polssat.p  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
Assertion
Ref Expression
polssatN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  C_  A )

Proof of Theorem polssatN
StepHypRef Expression
1 polssat.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2 eqid 2389 . . 3  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
3 polssat.p . . 3  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
41, 2, 3polsubN 30023 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  e.  ( PSubSp `  K )
)
51, 2psubssat 29870 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  X )  e.  ( PSubSp `  K )
)  ->  (  ._|_  `  X )  C_  A
)
64, 5syldan 457 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  C_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3265   ` cfv 5396   Atomscatm 29380   HLchlt 29467   PSubSpcpsubsp 29612   _|_ PcpolN 30018
This theorem is referenced by:  2polcon4bN  30034  polcon2N  30035  pclss2polN  30037  2pmaplubN  30042  paddunN  30043  ispsubcl2N  30063  poml5N  30070  osumcllem1N  30072  osumcllem2N  30073  osumcllem3N  30074  osumcllem9N  30080  osumcllem11N  30082  pexmidN  30085  pexmidlem2N  30087  pexmidlem3N  30088  pexmidlem7N  30092  pexmidlem8N  30093
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-undef 6481  df-riota 6487  df-poset 14332  df-lub 14360  df-glb 14361  df-join 14362  df-meet 14363  df-p1 14398  df-lat 14404  df-clat 14466  df-oposet 29293  df-ol 29295  df-oml 29296  df-ats 29384  df-atl 29415  df-cvlat 29439  df-hlat 29468  df-psubsp 29619  df-pmap 29620  df-polarityN 30019
  Copyright terms: Public domain W3C validator