Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polsubclN Structured version   Unicode version

Theorem polsubclN 30823
Description: A polarity is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polsubcl.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
polsubcl.p  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
polsubcl.c  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
Assertion
Ref Expression
polsubclN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  e.  C )

Proof of Theorem polsubclN
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
3 polsubcl.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 eqid 2438 . . 3  |-  ( pmap `  K )  =  (
pmap `  K )
5 polsubcl.p . . 3  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
61, 2, 3, 4, 5polval2N 30777 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) ) ) )
7 hlop 30234 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
87adantr 453 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  ->  K  e.  OP )
9 hlclat 30230 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
10 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1110, 3atssbase 30162 . . . . . 6  |-  A  C_  ( Base `  K )
12 sstr 3358 . . . . . 6  |-  ( ( X  C_  A  /\  A  C_  ( Base `  K
) )  ->  X  C_  ( Base `  K
) )
1311, 12mpan2 654 . . . . 5  |-  ( X 
C_  A  ->  X  C_  ( Base `  K
) )
1410, 1clatlubcl 14545 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
) )
159, 13, 14syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
) )
1610, 2opoccl 30066 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( ( lub `  K
) `  X )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( oc `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  X ) )  e.  ( Base `  K
) )
178, 15, 16syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
)  e.  ( Base `  K ) )
18 polsubcl.c . . . 4  |-  C  =  ( PSubCl `  K )
1910, 4, 18pmapsubclN 30817 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( oc `  K ) `  (
( lub `  K
) `  X )
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) )  e.  C
)
2017, 19syldan 458 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( ( pmap `  K
) `  ( ( oc `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  X )
) )  e.  C
)
216, 20eqeltrd 2512 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  e.  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   ` cfv 5457   Basecbs 13474   occoc 13542   lubclub 14404   CLatccla 14541   OPcops 30044   Atomscatm 30135   HLchlt 30222   pmapcpmap 30368   _|_ PcpolN 30773   PSubClcpscN 30805
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  30835  pexmidN  30840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-p1 14474  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-pmap 30375  df-polarityN 30774  df-psubclN 30806
  Copyright terms: Public domain W3C validator