Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poml5N Structured version   Unicode version

Theorem poml5N 30751
Description: Orthomodular law for projective lattices. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
poml4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
poml4.p  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
Assertion
Ref Expression
poml5N  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )

Proof of Theorem poml5N
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )
3 poml4.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 poml4.p . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
53, 4polssatN 30705 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  Y )  C_  A )
653adant3 977 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  A
)
72, 6sstrd 3358 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  X  C_  A
)
81, 7, 63jca 1134 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  (  ._|_  `  Y
)  C_  A )
)
93, 43polN 30713 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( 
._|_  `  Y ) )
1093adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  (  ._|_  `  Y
) )
112, 10jca 519 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  ( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  (  ._|_  `  Y ) ) )
123, 4poml4N 30750 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  A )  ->  (
( X  C_  (  ._|_  `  Y )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( 
._|_  `  Y ) )  ->  ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  i^i  (  ._|_  `  Y
) )  =  ( 
._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) ) )
138, 11, 12sylc 58 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  X  C_  (  ._|_  `  Y ) )  ->  ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  i^i  (  ._|_  `  Y ) ) )  i^i  (  ._|_  `  Y ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ` cfv 5454   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   _|_ PcpolN 30699
This theorem is referenced by:  osumcllem3N  30755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-polarityN 30700
  Copyright terms: Public domain W3C validator