MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posdif Structured version   Unicode version

Theorem posdif 9513
Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
posdif  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )

Proof of Theorem posdif
StepHypRef Expression
1 resubcl 9357 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
21ancoms 440 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
3 simpl 444 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
4 ltaddpos 9510 . . 3  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( B  -  A )  <->  A  <  ( A  +  ( B  -  A
) ) ) )
52, 3, 4syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( B  -  A )  <->  A  <  ( A  +  ( B  -  A
) ) ) )
6 recn 9072 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
7 recn 9072 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
8 pncan3 9305 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
96, 7, 8syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
109breq2d 4216 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  ( A  +  ( B  -  A ) )  <->  A  <  B ) )
115, 10bitr2d 246 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    + caddc 8985    < clt 9112    - cmin 9283
This theorem is referenced by:  posdifi  9569  posdifd  9605  nnsub  10030  nn0sub  10262  znnsub  10314  rpnnen1lem5  10596  difrp  10637  qbtwnre  10777  expnbnd  11500  expmulnbnd  11503  eflt  12710  cos01gt0  12784  ndvdsadd  12920  nn0seqcvgd  13053  dvcvx  19896  abelthlem7  20346  sinq12gt0  20407  cosq14gt0  20410  cosne0  20424  tanregt0  20433  logdivlti  20507  logcnlem4  20528  scvxcvx  20816  perfectlem2  21006  rplogsumlem2  21171  dchrisum0flblem1  21194  mblfinlem2  26235  mblfinlem3  26236  geomcau  26456  bfp  26524  swrdccatin12lem4  28179  cshwidx0  28210  cshwssizelem4a  28246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-ltxr 9117  df-sub 9285  df-neg 9286
  Copyright terms: Public domain W3C validator