MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posdif Unicode version

Theorem posdif 9454
Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
posdif  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )

Proof of Theorem posdif
StepHypRef Expression
1 resubcl 9298 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
21ancoms 440 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
3 simpl 444 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
4 ltaddpos 9451 . . 3  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( B  -  A )  <->  A  <  ( A  +  ( B  -  A
) ) ) )
52, 3, 4syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( B  -  A )  <->  A  <  ( A  +  ( B  -  A
) ) ) )
6 recn 9014 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
7 recn 9014 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
8 pncan3 9246 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
96, 7, 8syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
109breq2d 4166 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  ( A  +  ( B  -  A ) )  <->  A  <  B ) )
115, 10bitr2d 246 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4154  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924    + caddc 8927    < clt 9054    - cmin 9224
This theorem is referenced by:  posdifi  9510  posdifd  9546  nnsub  9971  nn0sub  10203  znnsub  10255  rpnnen1lem5  10537  difrp  10578  qbtwnre  10718  expnbnd  11436  expmulnbnd  11439  eflt  12646  cos01gt0  12720  ndvdsadd  12856  nn0seqcvgd  12989  dvcvx  19772  abelthlem7  20222  sinq12gt0  20283  cosq14gt0  20286  cosne0  20300  tanregt0  20309  logdivlti  20383  logcnlem4  20404  scvxcvx  20692  perfectlem2  20882  rplogsumlem2  21047  dchrisum0flblem1  21070  geomcau  26157  bfp  26225
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-ltxr 9059  df-sub 9226  df-neg 9227
  Copyright terms: Public domain W3C validator