MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posglbd Unicode version

Theorem posglbd 14269
Description: Properties which determine the greatest lower bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
posglbd.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
posglbd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
posglbd.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( glb `  K ) )
posglbd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
posglbd.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
posglbd.t  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
posglbd.lb  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  T  .<_  x )
posglbd.gt  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  y  .<_  x )  ->  y  .<_  T )
Assertion
Ref Expression
posglbd  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  T )
Distinct variable groups:    x,  .<_ , y   
x, B, y    x, K, y    x, S, y   
x, G, y    x, T, y    ph, x, y

Proof of Theorem posglbd
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  (ODual `  K )  =  (ODual `  K )
2 posglbd.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
31, 2oduleval 14251 . 2  |-  `'  .<_  =  ( le `  (ODual `  K ) )
4 posglbd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
5 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
61, 5odubas 14253 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  (ODual `  K
) )
74, 6syl6eq 2344 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (ODual `  K )
) )
8 posglbd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( glb `  K ) )
9 posglbd.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
10 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
111, 10odulub 14261 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( glb `  K )  =  ( lub `  (ODual `  K ) ) )
129, 11syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( glb `  K
)  =  ( lub `  (ODual `  K )
) )
138, 12eqtrd 2328 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( lub `  (ODual `  K )
) )
141odupos 14255 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  (ODual `  K
)  e.  Poset )
159, 14syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  (ODual `  K )  e.  Poset )
16 posglbd.s . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
17 posglbd.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
18 posglbd.lb . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  T  .<_  x )
19 vex 2804 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
20 brcnvg 4878 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  T  e.  B )  ->  ( x `'  .<_  T  <-> 
T  .<_  x ) )
2119, 17, 20sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x `'  .<_  T  <-> 
T  .<_  x ) )
2221adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x `'  .<_  T  <->  T  .<_  x ) )
2318, 22mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x `'  .<_  T )
24 vex 2804 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2519, 24brcnv 4880 . . . . 5  |-  ( x `'  .<_  y  <->  y  .<_  x )
2625ralbii 2580 . . . 4  |-  ( A. x  e.  S  x `'  .<_  y  <->  A. x  e.  S  y  .<_  x )
27 posglbd.gt . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  y  .<_  x )  ->  y  .<_  T )
2826, 27syl3an3b 1220 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x `'  .<_  y )  ->  y  .<_  T )
29 brcnvg 4878 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  B  /\  y  e.  _V )  ->  ( T `'  .<_  y  <-> 
y  .<_  T ) )
3017, 24, 29sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `'  .<_  y  <-> 
y  .<_  T ) )
31303ad2ant1 976 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x `'  .<_  y )  ->  ( T `'  .<_  y  <->  y  .<_  T ) )
3228, 31mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x `'  .<_  y )  ->  T `'  .<_  y )
333, 7, 13, 15, 16, 17, 23, 32poslubdg 14268 1  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090   lubclub 14092   glbcglb 14093  ODualcodu 14248
This theorem is referenced by:  mrelatglb  14303  mrelatglb0  14304
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ple 13244  df-poset 14096  df-lub 14124  df-glb 14125  df-odu 14249
  Copyright terms: Public domain W3C validator