MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posglbd Unicode version

Theorem posglbd 14253
Description: Properties which determine a greatest lower bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
posglbd.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
posglbd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
posglbd.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( glb `  K ) )
posglbd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
posglbd.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
posglbd.t  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
posglbd.lb  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  T  .<_  x )
posglbd.gt  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  y  .<_  x )  ->  y  .<_  T )
Assertion
Ref Expression
posglbd  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  T )
Distinct variable groups:    x,  .<_ , y   
x, B, y    x, K, y    x, S, y   
x, G, y    x, T, y    ph, x, y

Proof of Theorem posglbd
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  (ODual `  K )  =  (ODual `  K )
2 posglbd.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
31, 2oduleval 14235 . 2  |-  `'  .<_  =  ( le `  (ODual `  K ) )
4 posglbd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
5 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
61, 5odubas 14237 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  (ODual `  K
) )
74, 6syl6eq 2331 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (ODual `  K )
) )
8 posglbd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( glb `  K ) )
9 posglbd.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
10 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
111, 10odulub 14245 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( glb `  K )  =  ( lub `  (ODual `  K ) ) )
129, 11syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( glb `  K
)  =  ( lub `  (ODual `  K )
) )
138, 12eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( lub `  (ODual `  K )
) )
141odupos 14239 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  (ODual `  K
)  e.  Poset )
159, 14syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  (ODual `  K )  e.  Poset )
16 posglbd.s . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
17 posglbd.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
18 posglbd.lb . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  T  .<_  x )
19 vex 2791 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
20 brcnvg 4862 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  T  e.  B )  ->  ( x `'  .<_  T  <-> 
T  .<_  x ) )
2119, 17, 20sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x `'  .<_  T  <-> 
T  .<_  x ) )
2221adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x `'  .<_  T  <->  T  .<_  x ) )
2318, 22mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x `'  .<_  T )
24 vex 2791 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2519, 24brcnv 4864 . . . . 5  |-  ( x `'  .<_  y  <->  y  .<_  x )
2625ralbii 2567 . . . 4  |-  ( A. x  e.  S  x `'  .<_  y  <->  A. x  e.  S  y  .<_  x )
27 posglbd.gt . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  y  .<_  x )  ->  y  .<_  T )
2826, 27syl3an3b 1220 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x `'  .<_  y )  ->  y  .<_  T )
29 brcnvg 4862 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  B  /\  y  e.  _V )  ->  ( T `'  .<_  y  <-> 
y  .<_  T ) )
3017, 24, 29sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `'  .<_  y  <-> 
y  .<_  T ) )
31303ad2ant1 976 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x `'  .<_  y )  ->  ( T `'  .<_  y  <->  y  .<_  T ) )
3228, 31mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x `'  .<_  y )  ->  T `'  .<_  y )
333, 7, 13, 15, 16, 17, 23, 32poslubdg 14252 1  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   Posetcpo 14074   lubclub 14076   glbcglb 14077  ODualcodu 14232
This theorem is referenced by:  mrelatglb  14287  mrelatglb0  14288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ple 13228  df-poset 14080  df-lub 14108  df-glb 14109  df-odu 14233
  Copyright terms: Public domain W3C validator