MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posglbd Structured version   Unicode version

Theorem posglbd 14568
Description: Properties which determine the greatest lower bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
posglbd.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
posglbd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
posglbd.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( glb `  K ) )
posglbd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
posglbd.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
posglbd.t  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
posglbd.lb  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  T  .<_  x )
posglbd.gt  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  y  .<_  x )  ->  y  .<_  T )
Assertion
Ref Expression
posglbd  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  T )
Distinct variable groups:    x,  .<_ , y   
x, B, y    x, K, y    x, S, y   
x, G, y    x, T, y    ph, x, y

Proof of Theorem posglbd
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3  |-  (ODual `  K )  =  (ODual `  K )
2 posglbd.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
31, 2oduleval 14550 . 2  |-  `'  .<_  =  ( le `  (ODual `  K ) )
4 posglbd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
5 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
61, 5odubas 14552 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  (ODual `  K
) )
74, 6syl6eq 2483 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (ODual `  K )
) )
8 posglbd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( glb `  K ) )
9 posglbd.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
10 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
111, 10odulub 14560 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( glb `  K )  =  ( lub `  (ODual `  K ) ) )
129, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( glb `  K
)  =  ( lub `  (ODual `  K )
) )
138, 12eqtrd 2467 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( lub `  (ODual `  K )
) )
141odupos 14554 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  (ODual `  K
)  e.  Poset )
159, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (ODual `  K )  e.  Poset )
16 posglbd.s . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
17 posglbd.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
18 posglbd.lb . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  T  .<_  x )
19 vex 2951 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
20 brcnvg 5045 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  T  e.  B )  ->  ( x `'  .<_  T  <-> 
T  .<_  x ) )
2119, 17, 20sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x `'  .<_  T  <-> 
T  .<_  x ) )
2221adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x `'  .<_  T  <->  T  .<_  x ) )
2318, 22mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x `'  .<_  T )
24 vex 2951 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2519, 24brcnv 5047 . . . . 5  |-  ( x `'  .<_  y  <->  y  .<_  x )
2625ralbii 2721 . . . 4  |-  ( A. x  e.  S  x `'  .<_  y  <->  A. x  e.  S  y  .<_  x )
27 posglbd.gt . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  y  .<_  x )  ->  y  .<_  T )
2826, 27syl3an3b 1222 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x `'  .<_  y )  ->  y  .<_  T )
29 brcnvg 5045 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  B  /\  y  e.  _V )  ->  ( T `'  .<_  y  <-> 
y  .<_  T ) )
3017, 24, 29sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `'  .<_  y  <-> 
y  .<_  T ) )
31303ad2ant1 978 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x `'  .<_  y )  ->  ( T `'  .<_  y  <->  y  .<_  T ) )
3228, 31mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x `'  .<_  y )  ->  T `'  .<_  y )
333, 7, 13, 15, 16, 17, 23, 32poslubdg 14567 1  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   ` cfv 5446   Basecbs 13461   lecple 13528   Posetcpo 14389   lubclub 14391   glbcglb 14392  ODualcodu 14547
This theorem is referenced by:  mrelatglb  14602  mrelatglb0  14603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ple 13541  df-poset 14395  df-lub 14423  df-glb 14424  df-odu 14548
  Copyright terms: Public domain W3C validator