MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  posglbd Unicode version

Theorem posglbd 14505
Description: Properties which determine the greatest lower bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
posglbd.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
posglbd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
posglbd.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( glb `  K ) )
posglbd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
posglbd.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
posglbd.t  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
posglbd.lb  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  T  .<_  x )
posglbd.gt  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  y  .<_  x )  ->  y  .<_  T )
Assertion
Ref Expression
posglbd  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  T )
Distinct variable groups:    x,  .<_ , y   
x, B, y    x, K, y    x, S, y   
x, G, y    x, T, y    ph, x, y

Proof of Theorem posglbd
StepHypRef Expression
1 eqid 2389 . . 3  |-  (ODual `  K )  =  (ODual `  K )
2 posglbd.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
31, 2oduleval 14487 . 2  |-  `'  .<_  =  ( le `  (ODual `  K ) )
4 posglbd.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
5 eqid 2389 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
61, 5odubas 14489 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  (ODual `  K
) )
74, 6syl6eq 2437 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  (ODual `  K )
) )
8 posglbd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( glb `  K ) )
9 posglbd.k . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
10 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( glb `  K )  =  ( glb `  K )
111, 10odulub 14497 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( glb `  K )  =  ( lub `  (ODual `  K ) ) )
129, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( glb `  K
)  =  ( lub `  (ODual `  K )
) )
138, 12eqtrd 2421 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( lub `  (ODual `  K )
) )
141odupos 14491 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  (ODual `  K
)  e.  Poset )
159, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (ODual `  K )  e.  Poset )
16 posglbd.s . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
17 posglbd.t . 2  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
18 posglbd.lb . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  T  .<_  x )
19 vex 2904 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
20 brcnvg 4995 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  T  e.  B )  ->  ( x `'  .<_  T  <-> 
T  .<_  x ) )
2119, 17, 20sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x `'  .<_  T  <-> 
T  .<_  x ) )
2221adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x `'  .<_  T  <->  T  .<_  x ) )
2318, 22mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x `'  .<_  T )
24 vex 2904 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
2519, 24brcnv 4997 . . . . 5  |-  ( x `'  .<_  y  <->  y  .<_  x )
2625ralbii 2675 . . . 4  |-  ( A. x  e.  S  x `'  .<_  y  <->  A. x  e.  S  y  .<_  x )
27 posglbd.gt . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  y  .<_  x )  ->  y  .<_  T )
2826, 27syl3an3b 1222 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x `'  .<_  y )  ->  y  .<_  T )
29 brcnvg 4995 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  B  /\  y  e.  _V )  ->  ( T `'  .<_  y  <-> 
y  .<_  T ) )
3017, 24, 29sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `'  .<_  y  <-> 
y  .<_  T ) )
31303ad2ant1 978 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x `'  .<_  y )  ->  ( T `'  .<_  y  <->  y  .<_  T ) )
3228, 31mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x `'  .<_  y )  ->  T `'  .<_  y )
333, 7, 13, 15, 16, 17, 23, 32poslubdg 14504 1  |-  ( ph  ->  ( G `  S
)  =  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   _Vcvv 2901    C_ wss 3265   class class class wbr 4155   `'ccnv 4819   ` cfv 5396   Basecbs 13398   lecple 13465   Posetcpo 14326   lubclub 14328   glbcglb 14329  ODualcodu 14484
This theorem is referenced by:  mrelatglb  14539  mrelatglb0  14540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ple 13478  df-poset 14332  df-lub 14360  df-glb 14361  df-odu 14485
  Copyright terms: Public domain W3C validator