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Theorem posi 14100
Description: Lemma for poset properties. (Contributed by NM, 11-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
posi.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
posi.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
Assertion
Ref Expression
posi  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  ->  X  =  Y )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) )

Proof of Theorem posi
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 posi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 posi.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
31, 2ispos 14097 . . 3  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
43simprbi 450 . 2  |-  ( K  e.  Poset  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
5 breq1 4042 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  x  <->  X  .<_  x ) )
6 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( X  .<_  x  <->  X  .<_  X ) )
75, 6bitrd 244 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  x  <->  X  .<_  X ) )
8 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  y  <->  X  .<_  y ) )
9 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
y  .<_  x  <->  y  .<_  X ) )
108, 9anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  <->  ( X  .<_  y  /\  y  .<_  X ) ) )
11 eqeq1 2302 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  =  y  <->  X  =  y ) )
1210, 11imbi12d 311 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  <->  ( ( X 
.<_  y  /\  y  .<_  X )  ->  X  =  y ) ) )
138anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  <->  ( X  .<_  y  /\  y  .<_  z ) ) )
14 breq1 4042 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  z  <->  X  .<_  z ) )
1513, 14imbi12d 311 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z )  <-> 
( ( X  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  X  .<_  z ) ) )
167, 12, 153anbi123d 1252 . . 3  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<_  x  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <-> 
( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  y  /\  y  .<_  X )  ->  X  =  y )  /\  ( ( X  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  X  .<_  z ) ) ) )
17 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .<_  y  <->  X  .<_  Y ) )
18 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .<_  X  <->  Y  .<_  X ) )
1917, 18anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<_  y  /\  y  .<_  X )  <->  ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X ) ) )
20 eqeq2 2305 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  =  y  <->  X  =  Y ) )
2119, 20imbi12d 311 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .<_  y  /\  y  .<_  X )  ->  X  =  y )  <->  ( ( X 
.<_  Y  /\  Y  .<_  X )  ->  X  =  Y ) ) )
22 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .<_  z  <->  Y  .<_  z ) )
2317, 22anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<_  y  /\  y  .<_  z )  <->  ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  z ) ) )
2423imbi1d 308 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  X  .<_  z )  <-> 
( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  z )  ->  X  .<_  z ) ) )
2521, 243anbi23d 1255 . . 3  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  y  /\  y  .<_  X )  ->  X  =  y )  /\  ( ( X  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  X  .<_  z ) )  <-> 
( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  ->  X  =  Y )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  z )  ->  X  .<_  z ) ) ) )
26 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  .<_  z  <->  Y  .<_  Z ) )
2726anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  z )  <->  ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z ) ) )
28 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( z  =  Z  ->  ( X  .<_  z  <->  X  .<_  Z ) )
2927, 28imbi12d 311 . . . 4  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  z )  ->  X  .<_  z )  <-> 
( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) )
30293anbi3d 1258 . . 3  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  ->  X  =  Y )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  z )  ->  X  .<_  z ) )  <-> 
( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  ->  X  =  Y )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) ) )
3116, 25, 30rspc3v 2906 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( x  .<_  x  /\  ( ( x 
.<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y )  /\  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  ->  ( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  ->  X  =  Y )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) ) )
324, 31mpan9 455 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( X  .<_  X  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  X )  ->  X  =  Y )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090
This theorem is referenced by:  posref  14101  posasymb  14102  postr  14103
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-poset 14096
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