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Theorem poslubd 14574
Description: Properties which determine the least upper bound in a poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubd.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
poslubd.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
poslubd.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
poslubd.k  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
poslubd.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
poslubd.t  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
poslubd.ub  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  .<_  T )
poslubd.le  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x  .<_  y )  ->  T  .<_  y )
Assertion
Ref Expression
poslubd  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  T )
Distinct variable groups:    x,  .<_ , y   
x, B, y    x, K, y    x, S, y   
x, U, y    x, T, y    ph, x, y

Proof of Theorem poslubd
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poslubd.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  Poset )
2 poslubd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
3 poslubd.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 poslubd.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 poslubd.u . . . 4  |-  U  =  ( lub `  K
)
63, 4, 5lubval 14436 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  ( U `  S )  =  ( iota_ z  e.  B ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) ) )
71, 2, 6syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  ( iota_ z  e.  B ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) ) )
8 poslubd.ub . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  .<_  T )
98ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  x  .<_  T )
10 poslubd.le . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B  /\  A. x  e.  S  x  .<_  y )  ->  T  .<_  y )
11103expia 1155 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) )
1211ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) )
139, 12jca 519 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  S  x  .<_  T  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) ) )
14 poslubd.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
15 breq2 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  T  ->  (
x  .<_  z  <->  x  .<_  T ) )
1615ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  T  ->  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  <->  A. x  e.  S  x  .<_  T ) )
17 breq1 4215 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  T  ->  (
z  .<_  y  <->  T  .<_  y ) )
1817imbi2d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  T  ->  (
( A. x  e.  S  x  .<_  y  -> 
z  .<_  y )  <->  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) ) )
1918ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  T  ->  ( A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y )  <->  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) ) )
2016, 19anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( z  =  T  ->  (
( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) )  <->  ( A. x  e.  S  x  .<_  T  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) ) ) )
2120rspcev 3052 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  B  /\  ( A. x  e.  S  x  .<_  T  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) ) )  ->  E. z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )
2214, 13, 21syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )
234, 3poslubmo 14573 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  E* z  e.  B ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )
241, 2, 23syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E* z  e.  B
( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )
25 reu5 2921 . . . . 5  |-  ( E! z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) )  <->  ( E. z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) )  /\  E* z  e.  B
( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) ) )
2622, 24, 25sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  E! z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )
2720riota2 6572 . . . 4  |-  ( ( T  e.  B  /\  E! z  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )  ->  ( ( A. x  e.  S  x  .<_  T  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) )  <->  ( iota_ z  e.  B ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )  =  T ) )
2814, 26, 27syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A. x  e.  S  x  .<_  T  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  T  .<_  y ) )  <->  ( iota_ z  e.  B ( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )  =  T ) )
2913, 28mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota_ z  e.  B
( A. x  e.  S  x  .<_  z  /\  A. y  e.  B  ( A. x  e.  S  x  .<_  y  ->  z  .<_  y ) ) )  =  T )
307, 29eqtrd 2468 1  |-  ( ph  ->  ( U `  S
)  =  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   E!wreu 2707   E*wrmo 2708    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   iota_crio 6542   Basecbs 13469   lecple 13536   Posetcpo 14397   lubclub 14399
This theorem is referenced by:  poslubdg  14575
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-riota 6549  df-poset 14403  df-lub 14431
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