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Theorem poslubmo 14250
Description: Least upper bounds in a poset are unique if they exist. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
poslubmo.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
poslubmo.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
Assertion
Ref Expression
poslubmo  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  E* x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
Distinct variable groups:    x,  .<_ , y, z    x, B, y, z    x, K, y, z    x, S, y, z

Proof of Theorem poslubmo
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  w  e.  B
)
2 simprlr 739 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )
3 simprrl 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  y  .<_  w )
4 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
y  .<_  z  <->  y  .<_  w ) )
54ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  <->  A. y  e.  S  y  .<_  w ) )
6 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
x  .<_  z  <->  x  .<_  w ) )
75, 6imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) )
87rspcv 2880 . . . . . 6  |-  ( w  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) )
91, 2, 3, 8syl3c 57 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  x  .<_  w )
10 simplrl 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  x  e.  B
)
11 simprrr 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) )
12 simprll 738 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  A. y  e.  S  y  .<_  x )
13 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  (
y  .<_  z  <->  y  .<_  x ) )
1413ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  <->  A. y  e.  S  y  .<_  x ) )
15 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
w  .<_  z  <->  w  .<_  x ) )
1614, 15imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  ->  w  .<_  x ) ) )
1716rspcv 2880 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  ->  w  .<_  x ) ) )
1810, 11, 12, 17syl3c 57 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  w  .<_  x )
19 poslubmo.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
20 poslubmo.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
2119, 20posasymb 14086 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( x  .<_  w  /\  w  .<_  x )  <->  x  =  w ) )
22213expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
x  .<_  w  /\  w  .<_  x )  <->  x  =  w ) )
2322adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( x  .<_  w  /\  w  .<_  x )  <->  x  =  w ) )
2423adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  ( ( x 
.<_  w  /\  w  .<_  x )  <->  x  =  w
) )
259, 18, 24mpbi2and 887 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  S  C_  B
)  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )  ->  x  =  w )
2625ex 423 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  /\  ( x  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) )  ->  x  =  w )
)
2726ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  A. x  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) )  ->  x  =  w ) )
28 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
y  .<_  x  <->  y  .<_  w ) )
2928ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  <->  A. y  e.  S  y  .<_  w ) )
30 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( x  =  w  ->  (
x  .<_  z  <->  w  .<_  z ) )
3130imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) )
3231ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( x  =  w  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) )
3329, 32anbi12d 691 . . 3  |-  ( x  =  w  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) ) )
3433rmo4 2958 . 2  |-  ( E* x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  A. x  e.  B  A. w  e.  B  ( (
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  /\  ( A. y  e.  S  y  .<_  w  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  w  .<_  z ) ) )  ->  x  =  w ) )
3527, 34sylibr 203 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  S  C_  B )  ->  E* x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E*wrmo 2546    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   Posetcpo 14074
This theorem is referenced by:  poslubd  14251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-poset 14080
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