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Theorem posn 4948
Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by NM, 27-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
posn  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  Po  { A }  <->  -.  A R A ) )

Proof of Theorem posn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-po 4505 . . 3  |-  ( R  Po  { A }  <->  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A } A. z  e. 
{ A }  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
2 breq2 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  A  ->  (
y R z  <->  y R A ) )
32anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  (
( x R y  /\  y R z )  <->  ( x R y  /\  y R A ) ) )
4 breq2 4218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  (
x R z  <->  x R A ) )
53, 4imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  A  ->  (
( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  <->  ( (
x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) ) )
65anbi2d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  A  ->  (
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <-> 
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) ) ) )
76ralsng 3848 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. z  e.  { A }  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) ) ) )
87ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A } A. z  e.  { A }  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  A. y  e.  { A }  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) ) ) )
9 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x R y  /\  y R A )  ->  x R y )
10 breq2 4218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
x R y  <->  x R A ) )
119, 10syl5ib 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) )
1211biantrud 495 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  x R x  <->  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) ) ) )
1312bicomd 194 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) )  <->  -.  x R x ) )
1413ralsng 3848 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A }  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R A )  ->  x R A ) )  <->  -.  x R x ) )
158, 14bitrd 246 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. y  e.  { A } A. z  e.  { A }  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  <->  -.  x R x ) )
1615ralbidv 2727 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { A } A. y  e.  { A } A. z  e. 
{ A }  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. x  e.  { A }  -.  x R x ) )
17 breq12 4219 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  x  =  A )  ->  ( x R x  <-> 
A R A ) )
1817anidms 628 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x R x  <->  A R A ) )
1918notbid 287 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  x R x  <->  -.  A R A ) )
2019ralsng 3848 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { A }  -.  x R x  <->  -.  A R A ) )
2116, 20bitrd 246 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { A } A. y  e.  { A } A. z  e. 
{ A }  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  -.  A R A ) )
2221adantl 454 . . 3  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( A. x  e.  { A } A. y  e.  { A } A. z  e. 
{ A }  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  -.  A R A ) )
231, 22syl5bb 250 . 2  |-  ( ( Rel  R  /\  A  e.  _V )  ->  ( R  Po  { A } 
<->  -.  A R A ) )
24 po0 4520 . . . . 5  |-  R  Po  (/)
25 snprc 3873 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
26 poeq2 4509 . . . . . 6  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( R  Po  { A }  <->  R  Po  (/) ) )
2725, 26sylbi 189 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( R  Po  { A } 
<->  R  Po  (/) ) )
2824, 27mpbiri 226 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  R  Po  { A }
)
2928adantl 454 . . 3  |-  ( ( Rel  R  /\  -.  A  e.  _V )  ->  R  Po  { A } )
30 brrelex 4918 . . . . 5  |-  ( ( Rel  R  /\  A R A )  ->  A  e.  _V )
3130ex 425 . . . 4  |-  ( Rel 
R  ->  ( A R A  ->  A  e. 
_V ) )
3231con3and 430 . . 3  |-  ( ( Rel  R  /\  -.  A  e.  _V )  ->  -.  A R A )
3329, 322thd 233 . 2  |-  ( ( Rel  R  /\  -.  A  e.  _V )  ->  ( R  Po  { A }  <->  -.  A R A ) )
3423, 33pm2.61dan 768 1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  Po  { A }  <->  -.  A R A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   {csn 3816   class class class wbr 4214    Po wpo 4503   Rel wrel 4885
This theorem is referenced by:  sosn  4949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-br 4215  df-opab 4269  df-po 4505  df-xp 4886  df-rel 4887
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