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Theorem pospo 14432
Description: Write a poset structure in terms of the proper-class poset predicate (strict less than version). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pospo.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pospo.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pospo.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
Assertion
Ref Expression
pospo  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e.  Poset  <->  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  ) ) )

Proof of Theorem pospo
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pospo.s . . . . 5  |-  .<  =  ( lt `  K )
21pltirr 14422 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  .<  x )
3 pospo.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
43, 1plttr 14429 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .<  y  /\  y  .<  z )  ->  x  .<  z ) )
52, 4ispod 4513 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  .<  Po  B
)
6 relres 5176 . . . . 5  |-  Rel  (  _I  |`  B )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  Rel  (  _I  |`  B ) )
8 opabresid 5196 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) }  =  (  _I  |`  B )
98eleq2i 2502 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) }  <->  <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  B ) )
10 opabid 4463 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) }  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) )
119, 10bitr3i 244 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  (  _I  |`  B )  <-> 
( x  e.  B  /\  y  =  x
) )
12 pospo.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
133, 12posref 14410 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B )  ->  x  .<_  x )
14 df-br 4215 . . . . . . . 8  |-  ( x 
.<_  y  <->  <. x ,  y
>.  e.  .<_  )
15 breq2 4218 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
x  .<_  y  <->  x  .<_  x ) )
1614, 15syl5bbr 252 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( <. x ,  y >.  e.  .<_ 
<->  x  .<_  x )
)
1713, 16syl5ibrcom 215 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B )  ->  (
y  =  x  ->  <. x ,  y >.  e.  .<_  ) )
1817expimpd 588 . . . . 5  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( (
x  e.  B  /\  y  =  x )  -> 
<. x ,  y >.  e.  .<_  ) )
1911, 18syl5bi 210 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( <. x ,  y >.  e.  (  _I  |`  B )  -> 
<. x ,  y >.  e.  .<_  ) )
207, 19relssdv 4970 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )
215, 20jca 520 . 2  |-  ( K  e.  Poset  ->  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  ) )
22 elex 2966 . . . . 5  |-  ( K  e.  V  ->  K  e.  _V )
2322adantr 453 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  ->  K  e.  _V )
243a1i 11 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2512a1i 11 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  ->  .<_  =  ( le `  K ) )
26 equid 1689 . . . . . 6  |-  x  =  x
27 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
28 resieq 5158 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( x (  _I  |`  B ) x  <->  x  =  x ) )
2927, 27, 28syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( x (  _I  |`  B ) x  <->  x  =  x ) )
3026, 29mpbiri 226 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B )  ->  x (  _I  |`  B ) x )
31 simplrr 739 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B )  ->  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  )
3231ssbrd 4255 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( x (  _I  |`  B ) x  ->  x  .<_  x ) )
3330, 32mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  .<_  x )
343, 12, 1pleval2i 14423 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .<_  y  -> 
( x  .<  y  \/  x  =  y
) ) )
35343adant1 976 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x  .<_  y  -> 
( x  .<  y  \/  x  =  y
) ) )
363, 12, 1pleval2i 14423 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( y  .<_  x  -> 
( y  .<  x  \/  y  =  x
) ) )
3736ancoms 441 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( y  .<_  x  -> 
( y  .<  x  \/  y  =  x
) ) )
38373adant1 976 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( y  .<_  x  -> 
( y  .<  x  \/  y  =  x
) ) )
39 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  ->  .<  Po  B )
40 po2nr 4518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
.<  Po  B  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  -.  (
x  .<  y  /\  y  .<  x ) )
41403impb 1150 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.<  Po  B  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  -.  ( x  .<  y  /\  y  .<  x ) )
4239, 41syl3an1 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  -.  ( x  .<  y  /\  y  .<  x
) )
4342pm2.21d 101 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .<  y  /\  y  .<  x
)  ->  x  =  y ) )
44 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  y  .<  x )  ->  x  =  y )
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  =  y  /\  y  .<  x )  ->  x  =  y ) )
46 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  .<  y  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
4746eqcomd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .<  y  /\  y  =  x )  ->  x  =  y )
4847a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .<  y  /\  y  =  x )  ->  x  =  y ) )
49 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  y  =  x )  ->  x  =  y )
5049a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  =  y  /\  y  =  x )  ->  x  =  y ) )
5143, 45, 48, 50ccased 915 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( ( x 
.<  y  \/  x  =  y )  /\  ( y  .<  x  \/  y  =  x
) )  ->  x  =  y ) )
5235, 38, 51syl2and 471 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .<_  y  /\  y  .<_  x )  ->  x  =  y ) )
53 simpr1 964 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  x  e.  B )
54 simpr2 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  y  e.  B )
5553, 54, 34syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  .<_  y  ->  (
x  .<  y  \/  x  =  y ) ) )
56 simpr3 966 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  z  e.  B )
573, 12, 1pleval2i 14423 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y  .<_  z  -> 
( y  .<  z  \/  y  =  z
) ) )
5854, 56, 57syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
y  .<_  z  ->  (
y  .<  z  \/  y  =  z ) ) )
59 potr 4517 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.<  Po  B  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
x  .<  y  /\  y  .<  z )  ->  x  .<  z ) )
6039, 59sylan 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .<  y  /\  y  .<  z )  ->  x  .<  z
) )
61 simpll 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  K  e.  V )
6212, 1pltle 14420 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  V  /\  x  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( x  .<  z  ->  x  .<_  z )
)
6361, 53, 56, 62syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
x  .<  z  ->  x  .<_  z ) )
6460, 63syld 43 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .<  y  /\  y  .<  z )  ->  x  .<_  z ) )
65 breq1 4217 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .<  z  <->  y  .<  z ) )
6665biimpar 473 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  y  .<  z )  ->  x  .<  z )
6766, 63syl5 31 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  =  y  /\  y  .<  z
)  ->  x  .<_  z ) )
68 breq2 4218 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
x  .<  y  <->  x  .<  z ) )
6968biimpac 474 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .<  y  /\  y  =  z )  ->  x  .<  z )
7069, 63syl5 31 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .<  y  /\  y  =  z
)  ->  x  .<_  z ) )
7153, 33syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  x  .<_  x )
72 eqtr 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  y  /\  y  =  z )  ->  x  =  z )
7372breq2d 4226 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  /\  y  =  z )  ->  ( x  .<_  x  <->  x  .<_  z ) )
7471, 73syl5ibcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  =  y  /\  y  =  z )  ->  x  .<_  z ) )
7564, 67, 70, 74ccased 915 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( ( x  .<  y  \/  x  =  y )  /\  ( y 
.<  z  \/  y  =  z ) )  ->  x  .<_  z ) )
7655, 58, 75syl2and 471 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( x  .<_  y  /\  y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )
7723, 24, 25, 33, 52, 76isposd 14414 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )  ->  K  e.  Poset )
7877ex 425 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  (
(  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  )  ->  K  e.  Poset ) )
7921, 78impbid2 197 1  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e.  Poset  <->  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   <.cop 3819   class class class wbr 4214   {copab 4267    _I cid 4495    Po wpo 4503    |` cres 4882   Rel wrel 4885   ` cfv 5456   Basecbs 13471   lecple 13538   Posetcpo 14399   ltcplt 14400
This theorem is referenced by:  tosso  14467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-res 4892  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-poset 14405  df-plt 14417
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