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Theorem pospropd 14254
Description: Posethood is determined only by structure components and only by the value of the relation within the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pospropd.kv  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
pospropd.lv  |-  ( ph  ->  L  e.  W )
pospropd.kb  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
pospropd.lb  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
pospropd.xy  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( le
`  K ) y  <-> 
x ( le `  L ) y ) )
Assertion
Ref Expression
pospropd  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Poset  <->  L  e.  Poset ) )
Distinct variable groups:    x, B, y    ph, x, y    x, K, y    x, L, y
Allowed substitution hints:    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem pospropd
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pospropd.xy . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( le
`  K ) y  <-> 
x ( le `  L ) y ) )
21ralrimivva 2648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x ( le
`  K ) y  <-> 
x ( le `  L ) y ) )
3 simp1 955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  a  e.  B )
43, 3jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  ( a  e.  B  /\  a  e.  B
) )
5 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
x ( le `  K ) y  <->  a ( le `  K ) y ) )
6 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
x ( le `  L ) y  <->  a ( le `  L ) y ) )
75, 6bibi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  a  ->  (
( x ( le
`  K ) y  <-> 
x ( le `  L ) y )  <-> 
( a ( le
`  K ) y  <-> 
a ( le `  L ) y ) ) )
8 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  a  ->  (
a ( le `  K ) y  <->  a ( le `  K ) a ) )
9 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  a  ->  (
a ( le `  L ) y  <->  a ( le `  L ) a ) )
108, 9bibi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  a  ->  (
( a ( le
`  K ) y  <-> 
a ( le `  L ) y )  <-> 
( a ( le
`  K ) a  <-> 
a ( le `  L ) a ) ) )
117, 10rspc2va 2904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  a  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
a ( le `  K ) a  <->  a ( le `  L ) a ) )
124, 11sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
a ( le `  K ) a  <->  a ( le `  L ) a ) )
13 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  (
a ( le `  K ) y  <->  a ( le `  K ) b ) )
14 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  (
a ( le `  L ) y  <->  a ( le `  L ) b ) )
1513, 14bibi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  (
( a ( le
`  K ) y  <-> 
a ( le `  L ) y )  <-> 
( a ( le
`  K ) b  <-> 
a ( le `  L ) b ) ) )
167, 15rspc2va 2904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
a ( le `  K ) b  <->  a ( le `  L ) b ) )
17163adantl3 1113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
a ( le `  K ) b  <->  a ( le `  L ) b ) )
18 3simpb 953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  B  /\  c  e.  B  /\  a  e.  B )  ->  ( b  e.  B  /\  a  e.  B
) )
19183comr 1159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  ( b  e.  B  /\  a  e.  B
) )
20 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  b  ->  (
x ( le `  K ) y  <->  b ( le `  K ) y ) )
21 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  b  ->  (
x ( le `  L ) y  <->  b ( le `  L ) y ) )
2220, 21bibi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  b  ->  (
( x ( le
`  K ) y  <-> 
x ( le `  L ) y )  <-> 
( b ( le
`  K ) y  <-> 
b ( le `  L ) y ) ) )
23 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  a  ->  (
b ( le `  K ) y  <->  b ( le `  K ) a ) )
24 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  a  ->  (
b ( le `  L ) y  <->  b ( le `  L ) a ) )
2523, 24bibi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  a  ->  (
( b ( le
`  K ) y  <-> 
b ( le `  L ) y )  <-> 
( b ( le
`  K ) a  <-> 
b ( le `  L ) a ) ) )
2622, 25rspc2va 2904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  B  /\  a  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
b ( le `  K ) a  <->  b ( le `  L ) a ) )
2719, 26sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
b ( le `  K ) a  <->  b ( le `  L ) a ) )
2817, 27anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
( a ( le
`  K ) b  /\  b ( le
`  K ) a )  <->  ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a ) ) )
2928imbi1d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  <->  ( (
a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b ) ) )
30 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  c  ->  (
b ( le `  K ) y  <->  b ( le `  K ) c ) )
31 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  c  ->  (
b ( le `  L ) y  <->  b ( le `  L ) c ) )
3230, 31bibi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  c  ->  (
( b ( le
`  K ) y  <-> 
b ( le `  L ) y )  <-> 
( b ( le
`  K ) c  <-> 
b ( le `  L ) c ) ) )
3322, 32rspc2va 2904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
b ( le `  K ) c  <->  b ( le `  L ) c ) )
34333adantl1 1111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
b ( le `  K ) c  <->  b ( le `  L ) c ) )
3517, 34anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
( a ( le
`  K ) b  /\  b ( le
`  K ) c )  <->  ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c ) ) )
36 3simpb 953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B )  ->  ( a  e.  B  /\  c  e.  B
) )
37 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  c  ->  (
a ( le `  K ) y  <->  a ( le `  K ) c ) )
38 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  c  ->  (
a ( le `  L ) y  <->  a ( le `  L ) c ) )
3937, 38bibi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  c  ->  (
( a ( le
`  K ) y  <-> 
a ( le `  L ) y )  <-> 
( a ( le
`  K ) c  <-> 
a ( le `  L ) c ) ) )
407, 39rspc2va 2904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
a ( le `  K ) c  <->  a ( le `  L ) c ) )
4136, 40sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
a ( le `  K ) c  <->  a ( le `  L ) c ) )
4235, 41imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a
( le `  K
) c )  <->  ( (
a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) )
4312, 29, 423anbi123d 1252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x
( le `  K
) y  <->  x ( le `  L ) y ) )  ->  (
( a ( le
`  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K
) b  /\  b
( le `  K
) a )  -> 
a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K
) b  /\  b
( le `  K
) c )  -> 
a ( le `  K ) c ) )  <->  ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) ) )
442, 43sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B
)  /\  ph )  -> 
( ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  ( a
( le `  L
) a  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) c )  ->  a ( le `  L ) c ) ) ) )
4544ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B  /\  c  e.  B ) )  -> 
( ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  ( a
( le `  L
) a  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) c )  ->  a ( le `  L ) c ) ) ) )
46453exp2 1169 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( a  e.  B  ->  ( b  e.  B  ->  ( c  e.  B  ->  ( ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  ( a
( le `  L
) a  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) c )  ->  a ( le `  L ) c ) ) ) ) ) ) )
4746imp42 577 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )
)  /\  c  e.  B )  ->  (
( a ( le
`  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K
) b  /\  b
( le `  K
) a )  -> 
a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K
) b  /\  b
( le `  K
) c )  -> 
a ( le `  K ) c ) )  <->  ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) ) )
4847ralbidva 2572 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B ) )  -> 
( A. c  e.  B  ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  A. c  e.  B  ( a
( le `  L
) a  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) c )  ->  a ( le `  L ) c ) ) ) )
49482ralbidva 2596 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a
( le `  L
) a  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) c )  ->  a ( le `  L ) c ) ) ) )
50 pospropd.kb . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
51 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( Base `  K
)  ->  ( A. c  e.  B  (
a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a
( le `  K
) c ) )  <->  A. c  e.  ( Base `  K ) ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a
( le `  K
) c ) ) ) )
5251raleqbi1dv 2757 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( Base `  K
)  ->  ( A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a
( le `  K
) c ) )  <->  A. b  e.  ( Base `  K ) A. c  e.  ( Base `  K ) ( a ( le `  K
) a  /\  (
( a ( le
`  K ) b  /\  b ( le
`  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  K ) b  /\  b ( le
`  K ) c )  ->  a ( le `  K ) c ) ) ) )
5352raleqbi1dv 2757 . . . . 5  |-  ( B  =  ( Base `  K
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a
( le `  K
) c ) )  <->  A. a  e.  ( Base `  K ) A. b  e.  ( Base `  K ) A. c  e.  ( Base `  K
) ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) ) ) )
5450, 53syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  A. a  e.  ( Base `  K
) A. b  e.  ( Base `  K
) A. c  e.  ( Base `  K
) ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) ) ) )
55 pospropd.lb . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
56 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( Base `  L
)  ->  ( A. c  e.  B  (
a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a
( le `  L
) c ) )  <->  A. c  e.  ( Base `  L ) ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a
( le `  L
) c ) ) ) )
5756raleqbi1dv 2757 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( Base `  L
)  ->  ( A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a
( le `  L
) c ) )  <->  A. b  e.  ( Base `  L ) A. c  e.  ( Base `  L ) ( a ( le `  L
) a  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) c )  ->  a ( le `  L ) c ) ) ) )
5857raleqbi1dv 2757 . . . . 5  |-  ( B  =  ( Base `  L
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  (
a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a
( le `  L
) c ) )  <->  A. a  e.  ( Base `  L ) A. b  e.  ( Base `  L ) A. c  e.  ( Base `  L
) ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) ) )
5955, 58syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  A. c  e.  B  ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) )  <->  A. a  e.  ( Base `  L
) A. b  e.  ( Base `  L
) A. c  e.  ( Base `  L
) ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) ) )
6049, 54, 593bitr3d 274 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  ( Base `  K
) A. b  e.  ( Base `  K
) A. c  e.  ( Base `  K
) ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  A. a  e.  ( Base `  L
) A. b  e.  ( Base `  L
) A. c  e.  ( Base `  L
) ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) ) )
61 pospropd.kv . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  V )
62 elex 2809 . . . . 5  |-  ( K  e.  V  ->  K  e.  _V )
6361, 62syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
6463biantrurd 494 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  ( Base `  K
) A. b  e.  ( Base `  K
) A. c  e.  ( Base `  K
) ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) )  <->  ( K  e.  _V  /\  A. a  e.  ( Base `  K
) A. b  e.  ( Base `  K
) A. c  e.  ( Base `  K
) ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) ) ) ) )
65 pospropd.lv . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  W )
66 elex 2809 . . . . 5  |-  ( L  e.  W  ->  L  e.  _V )
6765, 66syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  _V )
6867biantrurd 494 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  ( Base `  L
) A. b  e.  ( Base `  L
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`  L ) c ) )  <->  ( L  e.  _V  /\  A. a  e.  ( Base `  L
) A. b  e.  ( Base `  L
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) ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) ) ) )
6960, 64, 683bitr3d 274 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
_V  /\  A. a  e.  ( Base `  K
) A. b  e.  ( Base `  K
) A. c  e.  ( Base `  K
) ( a ( le `  K ) a  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  K ) b  /\  b ( le `  K ) c )  ->  a ( le
`  K ) c ) ) )  <->  ( L  e.  _V  /\  A. a  e.  ( Base `  L
) A. b  e.  ( Base `  L
) A. c  e.  ( Base `  L
) ( a ( le `  L ) a  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  ( ( a ( le `  L ) b  /\  b ( le `  L ) c )  ->  a ( le
`  L ) c ) ) ) ) )
70 eqid 2296 . . 3  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
71 eqid 2296 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
7270, 71ispos 14097 . 2  |-  ( K  e.  Poset 
<->  ( K  e.  _V  /\ 
A. a  e.  (
Base `  K ) A. b  e.  ( Base `  K ) A. c  e.  ( Base `  K ) ( a ( le `  K
) a  /\  (
( a ( le
`  K ) b  /\  b ( le
`  K ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  K ) b  /\  b ( le
`  K ) c )  ->  a ( le `  K ) c ) ) ) )
73 eqid 2296 . . 3  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
74 eqid 2296 . . 3  |-  ( le
`  L )  =  ( le `  L
)
7573, 74ispos 14097 . 2  |-  ( L  e.  Poset 
<->  ( L  e.  _V  /\ 
A. a  e.  (
Base `  L ) A. b  e.  ( Base `  L ) A. c  e.  ( Base `  L ) ( a ( le `  L
) a  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) a )  ->  a  =  b )  /\  (
( a ( le
`  L ) b  /\  b ( le
`  L ) c )  ->  a ( le `  L ) c ) ) ) )
7669, 72, 753bitr4g 279 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Poset  <->  L  e.  Poset ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090
This theorem is referenced by:  oduposb  14256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-poset 14096
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