MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppi1 Unicode version

Theorem ppi1 20814
Description: The prime pi function at  1. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppi1  |-  (π `  1
)  =  0

Proof of Theorem ppi1
StepHypRef Expression
1 1z 10243 . . 3  |-  1  e.  ZZ
2 ppival2 20778 . . 3  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (π `  1 )  =  (
# `  ( (
2 ... 1 )  i^i 
Prime ) ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  (π `  1
)  =  ( # `  ( ( 2 ... 1 )  i^i  Prime ) )
4 1lt2 10074 . . . . . 6  |-  1  <  2
5 2z 10244 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
6 fzn 11003 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  2  <->  ( 2 ... 1 )  =  (/) ) )
75, 1, 6mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( 1  <  2  <->  ( 2 ... 1 )  =  (/) )
84, 7mpbi 200 . . . . 5  |-  ( 2 ... 1 )  =  (/)
98ineq1i 3481 . . . 4  |-  ( ( 2 ... 1 )  i^i  Prime )  =  (
(/)  i^i  Prime )
10 incom 3476 . . . 4  |-  ( (/)  i^i 
Prime )  =  ( Prime  i^i  (/) )
11 in0 3596 . . . 4  |-  ( Prime  i^i  (/) )  =  (/)
129, 10, 113eqtri 2411 . . 3  |-  ( ( 2 ... 1 )  i^i  Prime )  =  (/)
1312fveq2i 5671 . 2  |-  ( # `  ( ( 2 ... 1 )  i^i  Prime ) )  =  ( # `  (/) )
14 hash0 11573 . 2  |-  ( # `  (/) )  =  0
153, 13, 143eqtri 2411 1  |-  (π `  1
)  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717    i^i cin 3262   (/)c0 3571   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   0cc0 8923   1c1 8924    < clt 9053   2c2 9981   ZZcz 10214   ...cfz 10975   #chash 11545   Primecprime 13006  πcppi 20743
This theorem is referenced by:  ppi2  20820  ppieq0  20826  bposlem5  20939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fl 11129  df-hash 11546  df-dvds 12780  df-prm 13007  df-ppi 20749
  Copyright terms: Public domain W3C validator