MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppieq0 Structured version   Unicode version

Theorem ppieq0 20951
Description: The prime pi function is zero iff its argument is less than  2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppieq0  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(π `  A )  =  0  <->  A  <  2
) )

Proof of Theorem ppieq0
StepHypRef Expression
1 2re 10061 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 lenlt 9146 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  <_  A  <->  -.  A  <  2 ) )
31, 2mpan 652 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  <_  A  <->  -.  A  <  2 ) )
4 ppinncl 20949 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  e.  NN )
54nnne0d 10036 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  =/=  0 )
65ex 424 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  <_  A  ->  (π `  A )  =/=  0
) )
73, 6sylbird 227 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -.  A  <  2  ->  (π `  A )  =/=  0 ) )
87necon4bd 2660 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(π `  A )  =  0  ->  A  <  2 ) )
9 reflcl 11197 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
109adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  e.  RR )
11 1re 9082 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
1  e.  RR )
13 2z 10304 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
14 fllt 11207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( A  <  2  <->  ( |_ `  A )  <  2 ) )
1513, 14mpan2 653 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  2  <->  ( |_ `  A )  <  2
) )
1615biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  <  2 )
17 df-2 10050 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1816, 17syl6breq 4243 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  <  ( 1  +  1 ) )
19 flcl 11196 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
2019adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  e.  ZZ )
21 1z 10303 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
22 zleltp1 10318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <  ( 1  +  1 ) ) )
2320, 21, 22sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( ( |_ `  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <  ( 1  +  1 ) ) )
2418, 23mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  <_  1 )
25 ppiwordi 20937 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  <_ 
1 )  ->  (π `  ( |_ `  A
) )  <_  (π `  1 ) )
2610, 12, 24, 25syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  ( |_ `  A ) )  <_ 
(π `  1 ) )
27 ppifl 20935 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (π `  ( |_ `  A
) )  =  (π `  A ) )
2827adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  ( |_ `  A ) )  =  (π `  A ) )
29 ppi1 20939 . . . . . 6  |-  (π `  1
)  =  0
3029a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  1 )  =  0 )
3126, 28, 303brtr3d 4233 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  A )  <_ 
0 )
32 ppicl 20906 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (π `  A )  e.  NN0 )
3332adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  A )  e. 
NN0 )
34 nn0le0eq0 10242 . . . . 5  |-  ( (π `  A )  e.  NN0  ->  ( (π `  A )  <_ 
0  <->  (π `  A )  =  0 ) )
3533, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( (π `  A )  <_ 
0  <->  (π `  A )  =  0 ) )
3631, 35mpbid 202 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  A )  =  0 )
3736ex 424 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  2  ->  (π `  A )  =  0 ) )
388, 37impbid 184 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(π `  A )  =  0  <->  A  <  2
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    < clt 9112    <_ cle 9113   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   |_cfl 11193  πcppi 20868
This theorem is referenced by:  ppiltx  20952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fl 11194  df-hash 11611  df-dvds 12845  df-prm 13072  df-ppi 20874
  Copyright terms: Public domain W3C validator