MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppieq0 Unicode version

Theorem ppieq0 20819
Description: The prime pi function is zero iff its argument is less than  2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppieq0  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(π `  A )  =  0  <->  A  <  2
) )

Proof of Theorem ppieq0
StepHypRef Expression
1 2re 9994 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 lenlt 9080 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  <_  A  <->  -.  A  <  2 ) )
31, 2mpan 652 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  <_  A  <->  -.  A  <  2 ) )
4 ppinncl 20817 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  e.  NN )
54nnne0d 9969 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  =/=  0 )
65ex 424 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  <_  A  ->  (π `  A )  =/=  0
) )
73, 6sylbird 227 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -.  A  <  2  ->  (π `  A )  =/=  0 ) )
87necon4bd 2605 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(π `  A )  =  0  ->  A  <  2 ) )
9 reflcl 11125 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
109adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  e.  RR )
11 1re 9016 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
1  e.  RR )
13 2z 10237 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
14 fllt 11135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( A  <  2  <->  ( |_ `  A )  <  2 ) )
1513, 14mpan2 653 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  2  <->  ( |_ `  A )  <  2
) )
1615biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  <  2 )
17 df-2 9983 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1816, 17syl6breq 4185 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  <  ( 1  +  1 ) )
19 flcl 11124 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
2019adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  e.  ZZ )
21 1z 10236 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
22 zleltp1 10251 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <  ( 1  +  1 ) ) )
2320, 21, 22sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( ( |_ `  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <  ( 1  +  1 ) ) )
2418, 23mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  <_  1 )
25 ppiwordi 20805 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  <_ 
1 )  ->  (π `  ( |_ `  A
) )  <_  (π `  1 ) )
2610, 12, 24, 25syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  ( |_ `  A ) )  <_ 
(π `  1 ) )
27 ppifl 20803 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (π `  ( |_ `  A
) )  =  (π `  A ) )
2827adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  ( |_ `  A ) )  =  (π `  A ) )
29 ppi1 20807 . . . . . 6  |-  (π `  1
)  =  0
3029a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  1 )  =  0 )
3126, 28, 303brtr3d 4175 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  A )  <_ 
0 )
32 ppicl 20774 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (π `  A )  e.  NN0 )
3332adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  A )  e. 
NN0 )
34 nn0le0eq0 10175 . . . . 5  |-  ( (π `  A )  e.  NN0  ->  ( (π `  A )  <_ 
0  <->  (π `  A )  =  0 ) )
3533, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( (π `  A )  <_ 
0  <->  (π `  A )  =  0 ) )
3631, 35mpbid 202 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  A )  =  0 )
3736ex 424 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  2  ->  (π `  A )  =  0 ) )
388, 37impbid 184 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(π `  A )  =  0  <->  A  <  2
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    < clt 9046    <_ cle 9047   2c2 9974   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   |_cfl 11121  πcppi 20736
This theorem is referenced by:  ppiltx  20820
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fl 11122  df-hash 11539  df-dvds 12773  df-prm 13000  df-ppi 20742
  Copyright terms: Public domain W3C validator