MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppieq0 Unicode version

Theorem ppieq0 20430
Description: The prime pi function is zero iff its argument is less than  2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppieq0  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(π `  A )  =  0  <->  A  <  2
) )

Proof of Theorem ppieq0
StepHypRef Expression
1 2re 9831 . . . . 5  |-  2  e.  RR
2 lenlt 8917 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  <_  A  <->  -.  A  <  2 ) )
31, 2mpan 651 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  <_  A  <->  -.  A  <  2 ) )
4 ppinncl 20428 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  e.  NN )
54nnne0d 9806 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  =/=  0 )
65ex 423 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
2  <_  A  ->  (π `  A )  =/=  0
) )
73, 6sylbird 226 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -.  A  <  2  ->  (π `  A )  =/=  0 ) )
87necon4bd 2521 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(π `  A )  =  0  ->  A  <  2 ) )
9 reflcl 10944 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
109adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  e.  RR )
11 1re 8853 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
1211a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
1  e.  RR )
13 2z 10070 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
14 fllt 10954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( A  <  2  <->  ( |_ `  A )  <  2 ) )
1513, 14mpan2 652 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  2  <->  ( |_ `  A )  <  2
) )
1615biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  <  2 )
17 df-2 9820 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1816, 17syl6breq 4078 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  <  ( 1  +  1 ) )
19 flcl 10943 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
2019adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  e.  ZZ )
21 1z 10069 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
22 zleltp1 10084 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <  ( 1  +  1 ) ) )
2320, 21, 22sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( ( |_ `  A )  <_  1  <->  ( |_ `  A )  <  ( 1  +  1 ) ) )
2418, 23mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( |_ `  A
)  <_  1 )
25 ppiwordi 20416 . . . . . 6  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  <_ 
1 )  ->  (π `  ( |_ `  A
) )  <_  (π `  1 ) )
2610, 12, 24, 25syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  ( |_ `  A ) )  <_ 
(π `  1 ) )
27 ppifl 20414 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (π `  ( |_ `  A
) )  =  (π `  A ) )
2827adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  ( |_ `  A ) )  =  (π `  A ) )
29 ppi1 20418 . . . . . 6  |-  (π `  1
)  =  0
3029a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  1 )  =  0 )
3126, 28, 303brtr3d 4068 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  A )  <_ 
0 )
32 ppicl 20385 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (π `  A )  e.  NN0 )
3332adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  A )  e. 
NN0 )
34 nn0le0eq0 10010 . . . . 5  |-  ( (π `  A )  e.  NN0  ->  ( (π `  A )  <_ 
0  <->  (π `  A )  =  0 ) )
3533, 34syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
( (π `  A )  <_ 
0  <->  (π `  A )  =  0 ) )
3631, 35mpbid 201 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  2 )  -> 
(π `  A )  =  0 )
3736ex 423 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  2  ->  (π `  A )  =  0 ) )
388, 37impbid 183 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (
(π `  A )  =  0  <->  A  <  2
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   |_cfl 10940  πcppi 20347
This theorem is referenced by:  ppiltx  20431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fl 10941  df-hash 11354  df-dvds 12548  df-prm 12775  df-ppi 20353
  Copyright terms: Public domain W3C validator