MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppifi Unicode version

Theorem ppifi 20749
Description: The set of primes less than  A is a finite set. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppifi  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  e. 
Fin )

Proof of Theorem ppifi
StepHypRef Expression
1 ppisval 20747 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  =  ( ( 2 ... ( |_ `  A
) )  i^i  Prime ) )
2 fzfi 11232 . . 3  |-  ( 2 ... ( |_ `  A ) )  e. 
Fin
3 inss1 3498 . . 3  |-  ( ( 2 ... ( |_
`  A ) )  i^i  Prime )  C_  (
2 ... ( |_ `  A ) )
4 ssfi 7259 . . 3  |-  ( ( ( 2 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin  /\  (
( 2 ... ( |_ `  A ) )  i^i  Prime )  C_  (
2 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( 2 ... ( |_ `  A ) )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
52, 3, 4mp2an 654 . 2  |-  ( ( 2 ... ( |_
`  A ) )  i^i  Prime )  e.  Fin
61, 5syl6eqel 2469 1  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0 [,] A
)  i^i  Prime )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717    i^i cin 3256    C_ wss 3257   ` cfv 5388  (class class class)co 6014   Fincfn 7039   RRcr 8916   0cc0 8917   2c2 9975   [,]cicc 10845   ...cfz 10969   |_cfl 11122   Primecprime 13000
This theorem is referenced by:  chtf  20752  efchtcl  20755  chtge0  20756  ppif  20774  chtwordi  20800  ppiwordi  20806  chtleppi  20855  fsumvma2  20859  chpchtsum  20864  chpub  20865  rpvmasumlem  21042
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994  ax-pre-sup 8995
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-2o 6655  df-oadd 6658  df-er 6835  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-sup 7375  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-nn 9927  df-2 9984  df-n0 10148  df-z 10209  df-uz 10415  df-icc 10849  df-fz 10970  df-fl 11123  df-dvds 12774  df-prm 13001
  Copyright terms: Public domain W3C validator