MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppinncl Unicode version

Theorem ppinncl 20914
Description: Closure of the prime pi function in the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppinncl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  e.  NN )

Proof of Theorem ppinncl
StepHypRef Expression
1 ppicl 20871 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (π `  A )  e.  NN0 )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  e. 
NN0 )
32nn0zd 10333 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  e.  ZZ )
4 ppi2 20910 . . 3  |-  (π `  2
)  =  1
5 2re 10029 . . . 4  |-  2  e.  RR
6 ppiwordi 20902 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  2  <_  A )  ->  (π `  2 )  <_  (π `  A ) )
75, 6mp3an1 1266 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  2 )  <_ 
(π `  A ) )
84, 7syl5eqbrr 4210 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
1  <_  (π `  A
) )
9 elnnz1 10267 . 2  |-  ( (π `  A )  e.  NN  <->  ( (π `  A )  e.  ZZ  /\  1  <_ 
(π `  A ) ) )
103, 8, 9sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   class class class wbr 4176   ` cfv 5417   RRcr 8949   1c1 8951    <_ cle 9081   NNcn 9960   2c2 10009   NN0cn0 10181   ZZcz 10242  πcppi 20833
This theorem is referenced by:  ppieq0  20916  chebbnd1lem3  21122  chebbnd1  21123  chtppilimlem1  21124  chtppilimlem2  21125  chtppilim  21126  chebbnd2  21128  chto1lb  21129  pnt  21265
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-card 7786  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fl 11161  df-hash 11578  df-dvds 12812  df-prm 13039  df-ppi 20839
  Copyright terms: Public domain W3C validator