MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppinncl Structured version   Unicode version

Theorem ppinncl 20988
Description: Closure of the prime pi function in the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppinncl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  e.  NN )

Proof of Theorem ppinncl
StepHypRef Expression
1 ppicl 20945 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (π `  A )  e.  NN0 )
21adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  e. 
NN0 )
32nn0zd 10404 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  e.  ZZ )
4 ppi2 20984 . . 3  |-  (π `  2
)  =  1
5 2re 10100 . . . 4  |-  2  e.  RR
6 ppiwordi 20976 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  2  <_  A )  ->  (π `  2 )  <_  (π `  A ) )
75, 6mp3an1 1267 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  2 )  <_ 
(π `  A ) )
84, 7syl5eqbrr 4271 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
1  <_  (π `  A
) )
9 elnnz1 10338 . 2  |-  ( (π `  A )  e.  NN  <->  ( (π `  A )  e.  ZZ  /\  1  <_ 
(π `  A ) ) )
103, 8, 9sylanbrc 647 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  2  <_  A )  -> 
(π `  A )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1727   class class class wbr 4237   ` cfv 5483   RRcr 9020   1c1 9022    <_ cle 9152   NNcn 10031   2c2 10080   NN0cn0 10252   ZZcz 10313  πcppi 20907
This theorem is referenced by:  ppieq0  20990  chebbnd1lem3  21196  chebbnd1  21197  chtppilimlem1  21198  chtppilimlem2  21199  chtppilim  21200  chebbnd2  21202  chto1lb  21203  pnt  21339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fl 11233  df-hash 11650  df-dvds 12884  df-prm 13111  df-ppi 20913
  Copyright terms: Public domain W3C validator