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Theorem ppiub 20949
Description: An upper bound on the Gauss prime  pi function, which counts the number of primes less than 
N. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiub  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  -> 
(π `  N )  <_ 
( ( N  / 
3 )  +  2 ) )

Proof of Theorem ppiub
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3re 10035 . . 3  |-  3  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  -> 
3  e.  RR )
3 simpl 444 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  ->  N  e.  RR )
4 ppicl 20875 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  (π `  N )  e.  NN0 )
54nn0red 10239 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  (π `  N )  e.  RR )
65adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
(π `  N )  e.  RR )
7 2re 10033 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
8 resubcl 9329 . . . . . 6  |-  ( ( (π `  N )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
(π `  N )  - 
2 )  e.  RR )
96, 7, 8sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  N )  - 
2 )  e.  RR )
10 fzfi 11274 . . . . . . . . 9  |-  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  e. 
Fin
11 ssrab2 3396 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }  C_  ( 4 ... ( |_ `  N ) )
12 ssfi 7296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }  C_  ( 4 ... ( |_ `  N ) ) )  ->  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } }  e.  Fin )
1310, 11, 12mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }  e.  Fin
14 hashcl 11602 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }  e.  Fin  ->  ( # `  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }
)  e.  NN0 )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )  e.  NN0
1615nn0rei 10196 . . . . . 6  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )  e.  RR
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } } )  e.  RR )
18 3nn 10098 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
19 nndivre 9999 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( N  /  3
)  e.  RR )
2018, 19mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  /  3 )  e.  RR )
2120adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  /  3
)  e.  RR )
22 ppifl 20904 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  (π `  ( |_ `  N
) )  =  (π `  N ) )
2322adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
(π `  ( |_ `  N ) )  =  (π `  N ) )
24 ppi3 20915 . . . . . . . . 9  |-  (π `  3
)  =  2
2524a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
(π `  3 )  =  2 )
2623, 25oveq12d 6066 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  ( |_ `  N ) )  -  (π `
 3 ) )  =  ( (π `  N
)  -  2 ) )
2718nnzi 10269 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ZZ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
3  e.  ZZ )
29 flcl 11167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  e.  ZZ )
3029adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ZZ )
31 flge 11177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  <_  N  <->  3  <_  ( |_ `  N ) ) )
3227, 31mpan2 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
3  <_  N  <->  3  <_  ( |_ `  N ) ) )
3332biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
3  <_  ( |_ `  N ) )
34 eluz2 10458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  ( |_
`  N )  e.  ZZ  /\  3  <_ 
( |_ `  N
) ) )
3528, 30, 33, 34syl3anbrc 1138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
36 ppidif 20907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (π `  ( |_ `  N
) )  -  (π `  3 ) )  =  ( # `  (
( ( 3  +  1 ) ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  ( |_ `  N ) )  -  (π `
 3 ) )  =  ( # `  (
( ( 3  +  1 ) ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime ) ) )
38 df-4 10024 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
3938oveq1i 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  =  ( ( 3  +  1 ) ... ( |_ `  N ) )
4039ineq1i 3506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  =  ( ( ( 3  +  1 ) ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime )
4140fveq2i 5698 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( ( 4 ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime ) )  =  ( # `  ( ( ( 3  +  1 ) ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime ) )
4237, 41syl6eqr 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  ( |_ `  N ) )  -  (π `
 3 ) )  =  ( # `  (
( 4 ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime ) ) )
4326, 42eqtr3d 2446 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  N )  - 
2 )  =  (
# `  ( (
4 ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime ) ) )
44 dfin5 3296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  =  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  k  e.  Prime }
45 elfzle1 11024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  4  <_  k )
46 ppiublem2 20948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  Prime  /\  4  <_  k )  ->  (
k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } )
4746expcom 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  <_  k  ->  (
k  e.  Prime  ->  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } ) )
4845, 47syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  (
k  e.  Prime  ->  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } ) )
4948ss2rabi 3393 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  k  e.  Prime }  C_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }
5044, 49eqsstri 3346 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  C_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }
51 ssdomg 7120 . . . . . . . 8  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }  e.  Fin  ->  ( (
( 4 ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime )  C_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }  ->  ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime )  ~<_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } } ) )
5213, 50, 51mp2 9 . . . . . . 7  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  ~<_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }
53 inss1 3529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  C_  (
4 ... ( |_ `  N ) )
54 ssfi 7296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  e.  Fin  /\  (
( 4 ... ( |_ `  N ) )  i^i  Prime )  C_  (
4 ... ( |_ `  N ) ) )  ->  ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
5510, 53, 54mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime )  e.  Fin
56 hashdom 11616 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 4 ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }  e.  Fin )  ->  (
( # `  ( ( 4 ... ( |_
`  N ) )  i^i  Prime ) )  <_ 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } } )  <-> 
( ( 4 ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime )  ~<_  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } ) )
5755, 13, 56mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  ( (
4 ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime ) )  <_  ( # `
 { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )  <->  ( (
4 ... ( |_ `  N ) )  i^i 
Prime )  ~<_  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )
5852, 57mpbir 201 . . . . . 6  |-  ( # `  ( ( 4 ... ( |_ `  N
) )  i^i  Prime ) )  <_  ( # `  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } }
)
5943, 58syl6eqbr 4217 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  N )  - 
2 )  <_  ( # `
 { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } ) )
60 reflcl 11168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  e.  RR )
6160adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  RR )
62 peano2rem 9331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  N )  e.  RR  ->  (
( |_ `  N
)  -  1 )  e.  RR )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  N )  -  1 )  e.  RR )
64 6nn 10101 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  NN
65 nndivre 9999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
)  e.  RR )
6663, 64, 65sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
)  e.  RR )
67 reflcl 11168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) )  e.  RR )
6866, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 ) )  e.  RR )
69 5re 10039 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  RR
70 resubcl 9329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  N
)  e.  RR  /\  5  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  N )  -  5 )  e.  RR )
7161, 69, 70sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  N )  -  5 )  e.  RR )
72 nndivre 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
)  e.  RR )
7371, 64, 72sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
)  e.  RR )
74 reflcl 11168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  e.  RR )
7573, 74syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  e.  RR )
76 peano2re 9203 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  ( ( ( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  +  1 )  e.  RR )
7775, 76syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  +  1 )  e.  RR )
78 peano2rem 9331 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
7978adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  RR )
80 nndivre 9999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
1 )  /  6
)  e.  RR )
8179, 64, 80sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  6
)  e.  RR )
82 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  ->  N  e.  RR )
83 resubcl 9329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  5  e.  RR )  ->  ( N  -  5 )  e.  RR )
8482, 69, 83sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  -  5 )  e.  RR )
85 nndivre 9999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  5 )  e.  RR  /\  6  e.  NN )  ->  ( ( N  - 
5 )  /  6
)  e.  RR )
8684, 64, 85sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  - 
5 )  /  6
)  e.  RR )
87 peano2re 9203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  -  5 )  /  6 )  e.  RR  ->  (
( ( N  - 
5 )  /  6
)  +  1 )  e.  RR )
8886, 87syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( N  -  5 )  / 
6 )  +  1 )  e.  RR )
89 flle 11171 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) )  <_ 
( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )
9066, 89syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 ) )  <_  ( (
( |_ `  N
)  -  1 )  /  6 ) )
91 1re 9054 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
1  e.  RR )
93 flle 11171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  <_  N )
9493adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  N
)  <_  N )
9561, 82, 92, 94lesub1dd 9606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  N )  -  1 )  <_  ( N  -  1 ) )
96 6re 10040 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  RR
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
6  e.  RR )
98 6pos 10052 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  6
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
0  <  6 )
100 lediv1 9839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  RR  /\  ( 6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( (
( |_ `  N
)  -  1 )  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( (
( |_ `  N
)  -  1 )  /  6 )  <_ 
( ( N  - 
1 )  /  6
) ) )
10163, 79, 97, 99, 100syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  <_  ( N  -  1 )  <-> 
( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
)  <_  ( ( N  -  1 )  /  6 ) ) )
10295, 101mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
)  <_  ( ( N  -  1 )  /  6 ) )
10368, 66, 81, 90, 102letrd 9191 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 ) )  <_  ( ( N  -  1 )  /  6 ) )
104 flle 11171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  <_ 
( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )
10573, 104syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  <_  ( (
( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 ) )
10669a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
5  e.  RR )
10761, 82, 106, 94lesub1dd 9606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  N )  -  5 )  <_  ( N  -  5 ) )
108 lediv1 9839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  e.  RR  /\  ( N  -  5
)  e.  RR  /\  ( 6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( (
( |_ `  N
)  -  5 )  <_  ( N  - 
5 )  <->  ( (
( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 )  <_ 
( ( N  - 
5 )  /  6
) ) )
10971, 84, 97, 99, 108syl112anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  <_  ( N  -  5 )  <-> 
( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
)  <_  ( ( N  -  5 )  /  6 ) ) )
110107, 109mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
)  <_  ( ( N  -  5 )  /  6 ) )
11175, 73, 86, 105, 110letrd 9191 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  <_  ( ( N  -  5 )  /  6 ) )
11275, 86, 92, 111leadd1dd 9604 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  +  1 )  <_  ( (
( N  -  5 )  /  6 )  +  1 ) )
11368, 77, 81, 88, 103, 112le2addd 9608 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )  +  ( ( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  +  1 ) )  <_  ( (
( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( ( N  -  5 )  /  6 )  +  1 ) ) )
114 ovex 6073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  mod  6 )  e. 
_V
115114elpr 3800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 }  <->  ( (
k  mod  6 )  =  1  \/  (
k  mod  6 )  =  5 ) )
116115a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  (
( k  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 }  <->  ( (
k  mod  6 )  =  1  \/  (
k  mod  6 )  =  5 ) ) )
117116rabbiia 2914 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }  =  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( ( k  mod  6 )  =  1  \/  ( k  mod  6 )  =  5 ) }
118 unrab 3580 . . . . . . . . . 10  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 }  u.  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( ( k  mod  6 )  =  1  \/  ( k  mod  6 )  =  5 ) }
119117, 118eqtr4i 2435 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } }  =  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  u.  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )
120119fveq2i 5698 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )  =  (
# `  ( {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 }  u.  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) )
121 ssrab2 3396 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  C_  ( 4 ... ( |_ `  N ) )
122 ssfi 7296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 } 
C_  ( 4 ... ( |_ `  N
) ) )  ->  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  e.  Fin )
12310, 121, 122mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  e.  Fin
124 ssrab2 3396 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 }  C_  ( 4 ... ( |_ `  N ) )
125 ssfi 7296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 4 ... ( |_ `  N ) )  e.  Fin  /\  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  5 } 
C_  ( 4 ... ( |_ `  N
) ) )  ->  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 }  e.  Fin )
12610, 124, 125mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 }  e.  Fin
127 inrab 3581 . . . . . . . . . 10  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 }  i^i  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( ( k  mod  6 )  =  1  /\  ( k  mod  6 )  =  5 ) }
128 rabeq0 3617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( ( k  mod  6 )  =  1  /\  ( k  mod  6 )  =  5 ) }  =  (/)  <->  A. k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  -.  ( ( k  mod  6 )  =  1  /\  ( k  mod  6 )  =  5 ) )
129 1lt5 10115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  5
13091, 129ltneii 9150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =/=  5
131 eqtr2 2430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  mod  6
)  =  1  /\  ( k  mod  6
)  =  5 )  ->  1  =  5 )
132131necon3ai 2615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  =/=  5  ->  -.  ( ( k  mod  6 )  =  1  /\  ( k  mod  6 )  =  5 ) )
133130, 132ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (
( k  mod  6
)  =  1  /\  ( k  mod  6
)  =  5 )
134133a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  -.  ( ( k  mod  6 )  =  1  /\  ( k  mod  6 )  =  5 ) )
135128, 134mprgbir 2744 . . . . . . . . . 10  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( ( k  mod  6
)  =  1  /\  ( k  mod  6
)  =  5 ) }  =  (/)
136127, 135eqtri 2432 . . . . . . . . 9  |-  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 }  i^i  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  (/)
137 hashun 11619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  e.  Fin  /\  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  5 }  e.  Fin  /\  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  i^i  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  (/) )  ->  ( # `
 ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  u.  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  5 } ) )  =  ( ( # `  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 } )  +  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) ) )
138123, 126, 136, 137mp3an 1279 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  u.  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) )  =  ( (
# `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 } )  +  (
# `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) )
139120, 138eqtri 2432 . . . . . . 7  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } } )  =  ( ( # `  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 } )  +  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) )
140 elfzelz 11023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  k  e.  ZZ )
141 nnrp 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 6  e.  NN  ->  6  e.  RR+ )
14264, 141ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  e.  RR+
143 0le1 9515 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  1
144 1lt6 10120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  6
145 modid 11233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  6  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  1  /\  1  <  6
) )  ->  (
1  mod  6 )  =  1 )
14691, 142, 143, 144, 145mp4an 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  mod  6 )  =  1
147146eqeq2i 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  mod  6 )  =  ( 1  mod  6 )  <->  ( k  mod  6 )  =  1 )
148 1z 10275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
149 moddvds 12822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 6  e.  NN  /\  k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  (
( k  mod  6
)  =  ( 1  mod  6 )  <->  6  ||  ( k  -  1 ) ) )
15064, 148, 149mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  mod  6
)  =  ( 1  mod  6 )  <->  6  ||  ( k  -  1 ) ) )
151147, 150syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  mod  6
)  =  1  <->  6 
||  ( k  - 
1 ) ) )
152140, 151syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  (
( k  mod  6
)  =  1  <->  6 
||  ( k  - 
1 ) ) )
153152rabbiia 2914 . . . . . . . . . . 11  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 }  =  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  6  ||  (
k  -  1 ) }
154153fveq2i 5698 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 } )  =  (
# `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  6  ||  (
k  -  1 ) } )
15564a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
6  e.  NN )
156 4nn 10099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  NN
157156nnzi 10269 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  ZZ
158157a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
4  e.  ZZ )
15938oveq1i 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 4  -  1 )  =  ( ( 3  +  1 )  -  1 )
160 3cn 10036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  CC
161 ax-1cn 9012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
162 pncan 9275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  1 )  -  1 )  =  3 )
163160, 161, 162mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  +  1 )  -  1 )  =  3
164159, 163eqtri 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 4  -  1 )  =  3
165164fveq2i 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  ( 4  -  1 ) )  =  (
ZZ>= `  3 )
16635, 165syl6eleqr 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ( ZZ>= `  ( 4  -  1 ) ) )
167148a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
1  e.  ZZ )
168155, 158, 166, 167hashdvds 13127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  6 
||  ( k  - 
1 ) } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  /  6 ) ) ) )
169154, 168syl5eq 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  /  6 ) ) ) )
170 df-3 10023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  =  ( 2  +  1 )
171164, 170eqtri 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  -  1 )  =  ( 2  +  1 )
172171oveq1i 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 4  -  1 )  -  1 )  =  ( ( 2  +  1 )  -  1 )
173 2cn 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
174 pncan 9275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2 )
175173, 161, 174mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2
176172, 175eqtri 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 4  -  1 )  -  1 )  =  2
177176oveq1i 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  /  6 )  =  ( 2  /  6
)
178177fveq2i 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |_
`  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  / 
6 ) )  =  ( |_ `  (
2  /  6 ) )
179 0re 9055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
18064nnne0i 9998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  6  =/=  0
1817, 96, 180redivcli 9745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  /  6 )  e.  RR
182 2nn 10097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN
183182nngt0i 9997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
1847, 96, 183, 98divgt0ii 9892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  ( 2  /  6
)
185179, 181, 184ltleii 9160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  ( 2  /  6
)
186 2lt6 10119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  <  6
18764nncni 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  CC
188187mulid1i 9056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 6  x.  1 )  =  6
189186, 188breqtrri 4205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <  ( 6  x.  1 )
19096, 98pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 6  e.  RR  /\  0  <  6 )
191 ltdivmul 9846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
6  e.  RR  /\  0  <  6 ) )  ->  ( ( 2  /  6 )  <  1  <->  2  <  (
6  x.  1 ) ) )
1927, 91, 190, 191mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  /  6 )  <  1  <->  2  <  ( 6  x.  1 ) )
193189, 192mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  /  6 )  <  1
194 1e0p1 10374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =  ( 0  +  1 )
195193, 194breqtri 4203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  /  6 )  < 
( 0  +  1 )
196 0z 10257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
197 flbi 11186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  /  6
)  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( 2  /  6
) )  =  0  <-> 
( 0  <_  (
2  /  6 )  /\  ( 2  / 
6 )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
198181, 196, 197mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  ( 2  /  6 ) )  =  0  <->  ( 0  <_  ( 2  / 
6 )  /\  (
2  /  6 )  <  ( 0  +  1 ) ) )
199185, 195, 198mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |_
`  ( 2  / 
6 ) )  =  0
200178, 199eqtri 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |_
`  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  / 
6 ) )  =  0
201200oveq2i 6059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  ( ( ( |_ `  N
)  -  1 )  /  6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  - 
1 )  /  6
) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )  -  0 )
20266flcld 11170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 ) )  e.  ZZ )
203202zcnd 10340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  1 )  /  6 ) )  e.  CC )
204203subid1d 9364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )  -  0 )  =  ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) ) )
205201, 204syl5eq 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  1 )  / 
6 ) ) )  =  ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) ) )
206169, 205eqtrd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  1 } )  =  ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) ) )
207 5nn 10100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  5  e.  NN
208207nngt0i 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  5
209179, 69, 208ltleii 9160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  5
210 5lt6 10116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  5  <  6
211 modid 11233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 5  e.  RR  /\  6  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  5  /\  5  <  6
) )  ->  (
5  mod  6 )  =  5 )
21269, 142, 209, 210, 211mp4an 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 5  mod  6 )  =  5
213212eqeq2i 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  mod  6 )  =  ( 5  mod  6 )  <->  ( k  mod  6 )  =  5 )
214207nnzi 10269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  ZZ
215 moddvds 12822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 6  e.  NN  /\  k  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  (
( k  mod  6
)  =  ( 5  mod  6 )  <->  6  ||  ( k  -  5 ) ) )
21664, 214, 215mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  mod  6
)  =  ( 5  mod  6 )  <->  6  ||  ( k  -  5 ) ) )
217213, 216syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
( k  mod  6
)  =  5  <->  6 
||  ( k  - 
5 ) ) )
218140, 217syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  ->  (
( k  mod  6
)  =  5  <->  6 
||  ( k  - 
5 ) ) )
219218rabbiia 2914 . . . . . . . . . . 11  |-  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 }  =  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  6  ||  (
k  -  5 ) }
220219fveq2i 5698 . . . . . . . . . 10  |-  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  (
# `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  6  ||  (
k  -  5 ) } )
221214a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
5  e.  ZZ )
222155, 158, 166, 221hashdvds 13127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  6 
||  ( k  - 
5 ) } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  /  6 ) ) ) )
223220, 222syl5eq 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  /  6 ) ) ) )
224164oveq1i 6058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  -  1 )  -  5 )  =  ( 3  -  5 )
225207nncni 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  5  e.  CC
226225, 160negsubdi2i 9350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u (
5  -  3 )  =  ( 3  -  5 )
227 3p2e5 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  +  2 )  =  5
228227oveq1i 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  +  2 )  -  3 )  =  ( 5  -  3 )
229 pncan2 9276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  2 )  -  3 )  =  2 )
230160, 173, 229mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  +  2 )  -  3 )  =  2
231228, 230eqtr3i 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 5  -  3 )  =  2
232231negeqi 9263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u (
5  -  3 )  =  -u 2
233224, 226, 2323eqtr2i 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 4  -  1 )  -  5 )  = 
-u 2
234233oveq1i 6058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  /  6 )  =  ( -u 2  / 
6 )
235 divneg 9673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )  ->  -u (
2  /  6 )  =  ( -u 2  /  6 ) )
236173, 187, 180, 235mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
2  /  6 )  =  ( -u 2  /  6 )
237234, 236eqtr4i 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  /  6 )  = 
-u ( 2  / 
6 )
238237fveq2i 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |_
`  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  / 
6 ) )  =  ( |_ `  -u (
2  /  6 ) )
239181, 91, 193ltleii 9160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  /  6 )  <_ 
1
240181, 91lenegi 9536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  /  6 )  <_  1  <->  -u 1  <_  -u ( 2  /  6
) )
241239, 240mpbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  <_ 
-u ( 2  / 
6 )
242179, 181ltnegi 9535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  <  ( 2  / 
6 )  <->  -u ( 2  /  6 )  <  -u 0 )
243184, 242mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
2  /  6 )  <  -u 0
244 neg0 9311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 0  =  0
245161negidi 9333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  -u 1 )  =  0
246244, 245eqtr4i 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 0  =  ( 1  + 
-u 1 )
247 neg1cn 10031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  CC
248247, 161addcomi 9221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1  +  1 )  =  ( 1  + 
-u 1 )
249246, 248eqtr4i 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 0  =  ( -u 1  +  1 )
250243, 249breqtri 4203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
2  /  6 )  <  ( -u 1  +  1 )
251181renegcli 9326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
2  /  6 )  e.  RR
252 znegcl 10277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
253148, 252ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u 1  e.  ZZ
254 flbi 11186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u ( 2  / 
6 )  e.  RR  /\  -u 1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  -u ( 2  / 
6 ) )  = 
-u 1  <->  ( -u 1  <_ 
-u ( 2  / 
6 )  /\  -u (
2  /  6 )  <  ( -u 1  +  1 ) ) ) )
255251, 253, 254mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  -u (
2  /  6 ) )  =  -u 1  <->  (
-u 1  <_  -u (
2  /  6 )  /\  -u ( 2  / 
6 )  <  ( -u 1  +  1 ) ) )
256241, 250, 255mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |_
`  -u ( 2  / 
6 ) )  = 
-u 1
257238, 256eqtri 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |_
`  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  / 
6 ) )  = 
-u 1
258257oveq2i 6059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  ( ( ( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 ) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  - 
5 )  /  6
) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  -  -u 1
)
25973flcld 11170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  e.  ZZ )
260259zcnd 10340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  e.  CC )
261 subneg 9314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  -  -u 1
)  =  ( ( |_ `  ( ( ( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 ) )  +  1 ) )
262260, 161, 261sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  -  -u 1
)  =  ( ( |_ `  ( ( ( |_ `  N
)  -  5 )  /  6 ) )  +  1 ) )
263258, 262syl5eq 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  -  ( |_ `  ( ( ( 4  -  1 )  -  5 )  / 
6 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  +  1 ) )
264223, 263eqtrd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  5 )  / 
6 ) )  +  1 ) )
265206, 264oveq12d 6066 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( # `  {
k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N ) )  |  ( k  mod  6
)  =  1 } )  +  ( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_
`  N ) )  |  ( k  mod  6 )  =  5 } ) )  =  ( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
1 )  /  6
) )  +  ( ( |_ `  (
( ( |_ `  N )  -  5 )  /  6 ) )  +  1 ) ) )
266139, 265syl5eq 2456 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } } )  =  ( ( |_
`  ( ( ( |_ `  N )  -  1 )  / 
6 ) )  +  ( ( |_ `  ( ( ( |_
`  N )  - 
5 )  /  6
) )  +  1 ) ) )
26782recnd 9078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  ->  N  e.  CC )
2682672timesd 10174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( 2  x.  N
)  =  ( N  +  N ) )
269 df-6 10026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  =  ( 5  +  1 )
270225, 161addcomi 9221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  +  1 )  =  ( 1  +  5 )
271269, 270eqtri 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  =  ( 1  +  5 )
272271a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
6  =  ( 1  +  5 ) )
273268, 272oveq12d 6066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  6 )  =  ( ( N  +  N )  -  ( 1  +  5 ) ) )
274 addsub4 9308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  CC  /\  N  e.  CC )  /\  ( 1  e.  CC  /\  5  e.  CC ) )  -> 
( ( N  +  N )  -  (
1  +  5 ) )  =  ( ( N  -  1 )  +  ( N  - 
5 ) ) )
275161, 225, 274mpanr12 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( N  +  N )  -  (
1  +  5 ) )  =  ( ( N  -  1 )  +  ( N  - 
5 ) ) )
276267, 267, 275syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  +  N )  -  (
1  +  5 ) )  =  ( ( N  -  1 )  +  ( N  - 
5 ) ) )
277273, 276eqtrd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  6 )  =  ( ( N  -  1 )  +  ( N  - 
5 ) ) )
278277oveq1d 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
6 )  /  6
)  =  ( ( ( N  -  1 )  +  ( N  -  5 ) )  /  6 ) )
279 mulcl 9038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
280173, 267, 279sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  CC )
281187, 180pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 )
282 divsubdir 9674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  6  e.  CC  /\  (
6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  -  6 )  / 
6 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  /  6
)  -  ( 6  /  6 ) ) )
283187, 281, 282mp3an23 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  N )  -  6 )  /  6 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  /  6 )  -  ( 6  /  6
) ) )
284280, 283syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
6 )  /  6
)  =  ( ( ( 2  x.  N
)  /  6 )  -  ( 6  / 
6 ) ) )
285 3t2e6 10092 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
286160, 173mulcomi 9060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  2 )  =  ( 2  x.  3 )
287285, 286eqtr3i 2434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  =  ( 2  x.  3 )
288287oveq2i 6059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  /  6 )  =  ( ( 2  x.  N )  /  (
2  x.  3 ) )
289 3ne0 10049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  =/=  0
290160, 289pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
291182nnne0i 9998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
292173, 291pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
293 divcan5 9680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  (
2  x.  3 ) )  =  ( N  /  3 ) )
294290, 292, 293mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( 2  x.  N
)  /  ( 2  x.  3 ) )  =  ( N  / 
3 ) )
295267, 294syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  (
2  x.  3 ) )  =  ( N  /  3 ) )
296288, 295syl5eq 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  6
)  =  ( N  /  3 ) )
297187, 180dividi 9711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  /  6 )  =  1
298297a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( 6  /  6
)  =  1 )
299296, 298oveq12d 6066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  / 
6 )  -  (
6  /  6 ) )  =  ( ( N  /  3 )  -  1 ) )
300284, 299eqtrd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  - 
6 )  /  6
)  =  ( ( N  /  3 )  -  1 ) )
30179recnd 9078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  -  1 )  e.  CC )
30284recnd 9078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  -  5 )  e.  CC )
303 divdir 9665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( N  -  5
)  e.  CC  /\  ( 6  e.  CC  /\  6  =/=  0 ) )  ->  ( (
( N  -  1 )  +  ( N  -  5 ) )  /  6 )  =  ( ( ( N  -  1 )  / 
6 )  +  ( ( N  -  5 )  /  6 ) ) )
304281, 303mp3an3 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  -  1 )  e.  CC  /\  ( N  -  5
)  e.  CC )  ->  ( ( ( N  -  1 )  +  ( N  - 
5 ) )  / 
6 )  =  ( ( ( N  - 
1 )  /  6
)  +  ( ( N  -  5 )  /  6 ) ) )
305301, 302, 304syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( N  -  1 )  +  ( N  -  5 ) )  /  6
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( N  -  5 )  / 
6 ) ) )
306278, 300, 3053eqtr3d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  / 
3 )  -  1 )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( N  -  5 )  / 
6 ) ) )
307306oveq1d 6063 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( N  /  3 )  - 
1 )  +  1 )  =  ( ( ( ( N  - 
1 )  /  6
)  +  ( ( N  -  5 )  /  6 ) )  +  1 ) )
30821recnd 9078 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  /  3
)  e.  CC )
309 npcan 9278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  /  3
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( N  /  3 )  - 
1 )  +  1 )  =  ( N  /  3 ) )
310308, 161, 309sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( N  /  3 )  - 
1 )  +  1 )  =  ( N  /  3 ) )
31181recnd 9078 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  - 
1 )  /  6
)  e.  CC )
31286recnd 9078 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( N  - 
5 )  /  6
)  e.  CC )
313161a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
1  e.  CC )
314311, 312, 313addassd 9074 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( ( ( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( N  - 
5 )  /  6
) )  +  1 )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( ( N  -  5 )  /  6 )  +  1 ) ) )
315307, 310, 3143eqtr3d 2452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( N  /  3
)  =  ( ( ( N  -  1 )  /  6 )  +  ( ( ( N  -  5 )  /  6 )  +  1 ) ) )
316113, 266, 3153brtr4d 4210 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( # `  { k  e.  ( 4 ... ( |_ `  N
) )  |  ( k  mod  6 )  e.  { 1 ,  5 } } )  <_  ( N  / 
3 ) )
3179, 17, 21, 59, 316letrd 9191 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( (π `  N )  - 
2 )  <_  ( N  /  3 ) )
3187a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
2  e.  RR )
3196, 318, 21lesubaddd 9587 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
( ( (π `  N
)  -  2 )  <_  ( N  / 
3 )  <->  (π `  N
)  <_  ( ( N  /  3 )  +  2 ) ) )
320317, 319mpbid 202 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  <_  N )  -> 
(π `  N )  <_ 
( ( N  / 
3 )  +  2 ) )
321320adantlr 696 . 2  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  3  <_  N )  ->  (π `  N )  <_ 
( ( N  / 
3 )  +  2 ) )
3225ad2antrr 707 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  (π `  N )  e.  RR )
3237a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  2  e.  RR )
32420ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  ( N  / 
3 )  e.  RR )
325 readdcl 9037 . . . 4  |-  ( ( ( N  /  3
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( N  / 
3 )  +  2 )  e.  RR )
326324, 7, 325sylancl 644 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  ( ( N  /  3 )  +  2 )  e.  RR )
327 ppiwordi 20906 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  N  <_  3 )  ->  (π `  N )  <_  (π `  3 ) )
3281, 327mp3an2 1267 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  N  <_  3 )  -> 
(π `  N )  <_ 
(π `  3 ) )
329328adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  (π `  N )  <_ 
(π `  3 ) )
330329, 24syl6breq 4219 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  (π `  N )  <_ 
2 )
331 3pos 10048 . . . . . 6  |-  0  <  3
332 divge0 9843 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  0  <_  ( N  /  3 ) )
3331, 331, 332mpanr12 667 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  -> 
0  <_  ( N  /  3 ) )
334333adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  0  <_  ( N  /  3 ) )
335 addge02 9503 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( N  /  3
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( N  /  3
)  <->  2  <_  (
( N  /  3
)  +  2 ) ) )
3367, 324, 335sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  ( 0  <_ 
( N  /  3
)  <->  2  <_  (
( N  /  3
)  +  2 ) ) )
337334, 336mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  2  <_  (
( N  /  3
)  +  2 ) )
338322, 323, 326, 330, 337letrd 9191 . 2  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  /\  N  <_  3 )  ->  (π `  N )  <_ 
( ( N  / 
3 )  +  2 ) )
3392, 3, 321, 338lecasei 9143 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  <_  N )  -> 
(π `  N )  <_ 
( ( N  / 
3 )  +  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   {crab 2678    u. cun 3286    i^i cin 3287    C_ wss 3288   (/)c0 3596   {cpr 3783   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    ~<_ cdom 7074   Fincfn 7076   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255   -ucneg 9256    / cdiv 9641   NNcn 9964   2c2 10013   3c3 10014   4c4 10015   5c5 10016   6c6 10017   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   RR+crp 10576   ...cfz 11007   |_cfl 11164    mod cmo 11213   #chash 11581    || cdivides 12815   Primecprime 13042  πcppi 20837
This theorem is referenced by:  bposlem5  21033
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-dvds 12816  df-prm 13043  df-ppi 20843
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