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Theorem ppiublem1 20441
Description: Lemma for ppiub 20443. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ppiublem1.1  |-  ( N  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( N ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
ppiublem1.2  |-  M  e. 
NN0
ppiublem1.3  |-  N  =  ( M  +  1 )
ppiublem1.4  |-  ( 2 
||  M  \/  3 
||  M  \/  M  e.  { 1 ,  5 } )
Assertion
Ref Expression
ppiublem1  |-  ( M  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( M ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )

Proof of Theorem ppiublem1
StepHypRef Expression
1 ppiublem1.1 . . . . . 6  |-  ( N  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( N ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
21simpli 444 . . . . 5  |-  N  <_ 
6
3 ppiublem1.3 . . . . 5  |-  N  =  ( M  +  1 )
4 df-6 9808 . . . . 5  |-  6  =  ( 5  +  1 )
52, 3, 43brtr3i 4050 . . . 4  |-  ( M  +  1 )  <_ 
( 5  +  1 )
6 ppiublem1.2 . . . . . 6  |-  M  e. 
NN0
76nn0rei 9976 . . . . 5  |-  M  e.  RR
8 5re 9821 . . . . 5  |-  5  e.  RR
9 1re 8837 . . . . 5  |-  1  e.  RR
107, 8, 9leadd1i 9328 . . . 4  |-  ( M  <_  5  <->  ( M  +  1 )  <_ 
( 5  +  1 ) )
115, 10mpbir 200 . . 3  |-  M  <_ 
5
12 6re 9822 . . . 4  |-  6  e.  RR
13 5lt6 9896 . . . 4  |-  5  <  6
148, 12, 13ltleii 8941 . . 3  |-  5  <_  6
157, 8, 12letri 8948 . . 3  |-  ( ( M  <_  5  /\  5  <_  6 )  ->  M  <_  6 )
1611, 14, 15mp2an 653 . 2  |-  M  <_ 
6
176nn0zi 10048 . . . . 5  |-  M  e.  ZZ
18 5nn 9880 . . . . . 6  |-  5  e.  NN
1918nnzi 10047 . . . . 5  |-  5  e.  ZZ
20 eluz2 10236 . . . . 5  |-  ( 5  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ  /\  M  <_ 
5 ) )
2117, 19, 11, 20mpbir3an 1134 . . . 4  |-  5  e.  ( ZZ>= `  M )
22 elfzp12 10861 . . . 4  |-  ( 5  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( M ... 5
)  <->  ( ( P  mod  6 )  =  M  \/  ( P  mod  6 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... 5
) ) ) )
2321, 22ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  ( M ... 5 )  <->  ( ( P  mod  6 )  =  M  \/  ( P  mod  6 )  e.  ( ( M  + 
1 ) ... 5
) ) )
24 ppiublem1.4 . . . . 5  |-  ( 2 
||  M  \/  3 
||  M  \/  M  e.  { 1 ,  5 } )
25 prmz 12762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
2625adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  P  e.  ZZ )
27 2nn 9877 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
28 6nn 9881 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  NN
29 3nn 9878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  NN
3029nnzi 10047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  ZZ
31 2z 10054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
32 dvdsmul2 12551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 3  x.  2 ) )
3330, 31, 32mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  ||  ( 3  x.  2 )
34 3t2e6 9872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
3533, 34breqtri 4046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  ||  6
36 dvdsmod 12585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  e.  NN  /\  6  e.  NN  /\  P  e.  ZZ )  /\  2  ||  6 )  ->  ( 2  ||  ( P  mod  6
)  <->  2  ||  P
) )
3735, 36mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  6  e.  NN  /\  P  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  ( P  mod  6 )  <->  2  ||  P ) )
3827, 28, 37mp3an12 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( P  mod  6 )  <->  2  ||  P ) )
3926, 38syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
2  ||  ( P  mod  6 )  <->  2  ||  P ) )
40 uzid 10242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
4131, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
42 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  P  e.  Prime )
43 dvdsprm 12778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  Prime )  ->  (
2  ||  P  <->  2  =  P ) )
4441, 42, 43sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
2  ||  P  <->  2  =  P ) )
4539, 44bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
2  ||  ( P  mod  6 )  <->  2  =  P ) )
46 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  4  <_  P )
47 breq2 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  =  P  ->  (
4  <_  2  <->  4  <_  P ) )
4846, 47syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
2  =  P  -> 
4  <_  2 ) )
49 2lt4 9890 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <  4
50 2re 9815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
51 4re 9819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  RR
5250, 51ltnlei 8939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  <  4  <->  -.  4  <_  2 )
5349, 52mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  4  <_  2
5453pm2.21i 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  <_  2  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
5548, 54syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
2  =  P  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
5645, 55sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
2  ||  ( P  mod  6 )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } ) )
57 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  (
2  ||  ( P  mod  6 )  <->  2  ||  M ) )
5857imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  (
( 2  ||  ( P  mod  6 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } )  <-> 
( 2  ||  M  ->  ( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) ) )
5956, 58syl5ibcom 211 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  =  M  -> 
( 2  ||  M  ->  ( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) ) )
6059com3r 73 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  M  ->  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
61 dvdsmul1 12550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  3  ||  ( 3  x.  2 ) )
6230, 31, 61mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  ||  ( 3  x.  2 )
6362, 34breqtri 4046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  ||  6
64 dvdsmod 12585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 3  e.  NN  /\  6  e.  NN  /\  P  e.  ZZ )  /\  3  ||  6 )  ->  ( 3  ||  ( P  mod  6
)  <->  3  ||  P
) )
6563, 64mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  6  e.  NN  /\  P  e.  ZZ )  ->  (
3  ||  ( P  mod  6 )  <->  3  ||  P ) )
6629, 28, 65mp3an12 1267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  (
3  ||  ( P  mod  6 )  <->  3  ||  P ) )
6726, 66syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
3  ||  ( P  mod  6 )  <->  3  ||  P ) )
68 df-3 9805 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =  ( 2  +  1 )
69 peano2uz 10272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
7041, 69ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
7168, 70eqeltri 2353 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
72 dvdsprm 12778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 3  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  Prime )  ->  (
3  ||  P  <->  3  =  P ) )
7371, 42, 72sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
3  ||  P  <->  3  =  P ) )
7467, 73bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
3  ||  ( P  mod  6 )  <->  3  =  P ) )
75 breq2 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  =  P  ->  (
4  <_  3  <->  4  <_  P ) )
7646, 75syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
3  =  P  -> 
4  <_  3 ) )
77 3lt4 9889 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <  4
78 3re 9817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
7978, 51ltnlei 8939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  <  4  <->  -.  4  <_  3 )
8077, 79mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  4  <_  3
8180pm2.21i 123 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  <_  3  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
8276, 81syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
3  =  P  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
8374, 82sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
3  ||  ( P  mod  6 )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } ) )
84 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  (
3  ||  ( P  mod  6 )  <->  3  ||  M ) )
8584imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  (
( 3  ||  ( P  mod  6 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } )  <-> 
( 3  ||  M  ->  ( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) ) )
8683, 85syl5ibcom 211 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  =  M  -> 
( 3  ||  M  ->  ( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) ) )
8786com3r 73 . . . . . 6  |-  ( 3 
||  M  ->  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
88 eleq1a 2352 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  { 1 ,  5 }  ->  (
( P  mod  6
)  =  M  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
8988a1d 22 . . . . . 6  |-  ( M  e.  { 1 ,  5 }  ->  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
9060, 87, 893jaoi 1245 . . . . 5  |-  ( ( 2  ||  M  \/  3  ||  M  \/  M  e.  { 1 ,  5 } )  ->  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  =  M  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
9124, 90ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  =  M  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
923oveq1i 5868 . . . . . 6  |-  ( N ... 5 )  =  ( ( M  + 
1 ) ... 5
)
9392eleq2i 2347 . . . . 5  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  ( N ... 5 )  <->  ( P  mod  6 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... 5 ) )
941simpri 448 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( N ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
9593, 94syl5bir 209 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( ( M  +  1 ) ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
9691, 95jaod 369 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( ( P  mod  6 )  =  M  \/  ( P  mod  6 )  e.  ( ( M  +  1 ) ... 5 ) )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) )
9723, 96syl5bi 208 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( M ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
9816, 97pm3.2i 441 1  |-  ( M  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( M ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cpr 3641   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    mod cmo 10973    || cdivides 12531   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  ppiublem2  20442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-dvds 12532  df-prm 12759
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