MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Structured version   Unicode version

Theorem ppiublem2 20992
Description: A prime greater than  3 does not divide  2 or  3, so its residue  mod  6 is  1 or  5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 13088 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
21adantr 453 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  P  e.  ZZ )
3 6nn 10142 . . . 4  |-  6  e.  NN
4 zmodfz 11273 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  6  e.  NN )  ->  ( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... ( 6  -  1 ) ) )
52, 3, 4sylancl 645 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... (
6  -  1 ) ) )
6 df-6 10067 . . . . . 6  |-  6  =  ( 5  +  1 )
76oveq1i 6094 . . . . 5  |-  ( 6  -  1 )  =  ( ( 5  +  1 )  -  1 )
8 5nn 10141 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
98nncni 10015 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
10 ax-1cn 9053 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
11 pncan 9316 . . . . . 6  |-  ( ( 5  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5 )
129, 10, 11mp2an 655 . . . . 5  |-  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5
137, 12eqtri 2458 . . . 4  |-  ( 6  -  1 )  =  5
1413oveq2i 6095 . . 3  |-  ( 0 ... ( 6  -  1 ) )  =  ( 0 ... 5
)
155, 14syl6eleq 2528 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5
) )
16 6re 10081 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  RR
1716leidi 9566 . . . . . . . . . 10  |-  6  <_  6
18 noel 3634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  ( P  mod  6 )  e.  (/)
1918pm2.21i 126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  (/)  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } )
20 5lt6 10157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  <  6
213nnzi 10310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  e.  ZZ
228nnzi 10310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  ZZ
23 fzn 11076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) ) )
2421, 22, 23mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) )
2520, 24mpbi 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6 ... 5 )  =  (/)
2619, 25eleq2s 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 6 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
2817, 27pm3.2i 443 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
29 5nn0 10246 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN0
308elexi 2967 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  _V
3130prid2 3915 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  { 1 ,  5 }
32313mix3i 1132 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  5  \/  3 
||  5  \/  5  e.  { 1 ,  5 } )
3328, 29, 6, 32ppiublem1 20991 . . . . . . . 8  |-  ( 5  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 5 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
34 4nn0 10245 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
35 df-5 10066 . . . . . . . 8  |-  5  =  ( 4  +  1 )
36 2z 10317 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
37 dvdsmul1 12876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  2 ) )
3836, 36, 37mp2an 655 . . . . . . . . . 10  |-  2  ||  ( 2  x.  2 )
39 2t2e4 10132 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
4038, 39breqtri 4238 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  4
41403mix1i 1130 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  4  \/  3 
||  4  \/  4  e.  { 1 ,  5 } )
4233, 34, 35, 41ppiublem1 20991 . . . . . . 7  |-  ( 4  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 4 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
43 3nn0 10244 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN0
44 df-4 10065 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
45 3nn 10139 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
4645nnzi 10310 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
47 iddvds 12868 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  3  ||  3 )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  3  ||  3
49483mix2i 1131 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  3  \/  3 
||  3  \/  3  e.  { 1 ,  5 } )
5042, 43, 44, 49ppiublem1 20991 . . . . . 6  |-  ( 3  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 3 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
51 2nn0 10243 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
52 df-3 10064 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
53 iddvds 12868 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
5436, 53ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  2  ||  2
55543mix1i 1130 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  2  \/  3 
||  2  \/  2  e.  { 1 ,  5 } )
5650, 51, 52, 55ppiublem1 20991 . . . . 5  |-  ( 2  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 2 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
57 1nn0 10242 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
58 df-2 10063 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
59 1ex 9091 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
6059prid1 3914 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 ,  5 }
61603mix3i 1132 . . . . 5  |-  ( 2 
||  1  \/  3 
||  1  \/  1  e.  { 1 ,  5 } )
6256, 57, 58, 61ppiublem1 20991 . . . 4  |-  ( 1  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 1 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
63 0nn0 10241 . . . 4  |-  0  e.  NN0
64 1e0p1 10415 . . . 4  |-  1  =  ( 0  +  1 )
65 dvds0 12870 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
6636, 65ax-mp 5 . . . . 5  |-  2  ||  0
67663mix1i 1130 . . . 4  |-  ( 2 
||  0  \/  3 
||  0  \/  0  e.  { 1 ,  5 } )
6862, 63, 64, 67ppiublem1 20991 . . 3  |-  ( 0  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
6968simpri 450 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
7015, 69mpd 15 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   (/)c0 3630   {cpr 3817   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   CCcc 8993   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   NNcn 10005   2c2 10054   3c3 10055   4c4 10056   5c5 10057   6c6 10058   ZZcz 10287   ...cfz 11048    mod cmo 11255    || cdivides 12857   Primecprime 13084
This theorem is referenced by:  ppiub  20993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fl 11207  df-mod 11256  df-dvds 12858  df-prm 13085
  Copyright terms: Public domain W3C validator