MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Unicode version

Theorem ppiublem2 20458
Description: A prime greater than  3 does not divide  2 or  3, so its residue  mod  6 is  1 or  5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 12778 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  P  e.  ZZ )
3 6nn 9897 . . . 4  |-  6  e.  NN
4 zmodfz 11007 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  6  e.  NN )  ->  ( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... ( 6  -  1 ) ) )
52, 3, 4sylancl 643 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... (
6  -  1 ) ) )
6 df-6 9824 . . . . . 6  |-  6  =  ( 5  +  1 )
76oveq1i 5884 . . . . 5  |-  ( 6  -  1 )  =  ( ( 5  +  1 )  -  1 )
8 5nn 9896 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
98nncni 9772 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
10 ax-1cn 8811 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
11 pncan 9073 . . . . . 6  |-  ( ( 5  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5 )
129, 10, 11mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5
137, 12eqtri 2316 . . . 4  |-  ( 6  -  1 )  =  5
1413oveq2i 5885 . . 3  |-  ( 0 ... ( 6  -  1 ) )  =  ( 0 ... 5
)
155, 14syl6eleq 2386 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5
) )
16 6re 9838 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  RR
1716leidi 9323 . . . . . . . . . 10  |-  6  <_  6
18 noel 3472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  ( P  mod  6 )  e.  (/)
1918pm2.21i 123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  (/)  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } )
20 5lt6 9912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  <  6
213nnzi 10063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  e.  ZZ
228nnzi 10063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  ZZ
23 fzn 10826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) ) )
2421, 22, 23mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) )
2520, 24mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6 ... 5 )  =  (/)
2619, 25eleq2s 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
2726a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 6 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
2817, 27pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
29 5nn0 10001 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN0
308elexi 2810 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  _V
3130prid2 3748 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  { 1 ,  5 }
32313mix3i 1129 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  5  \/  3 
||  5  \/  5  e.  { 1 ,  5 } )
3328, 29, 6, 32ppiublem1 20457 . . . . . . . 8  |-  ( 5  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 5 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
34 4nn0 10000 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
35 df-5 9823 . . . . . . . 8  |-  5  =  ( 4  +  1 )
36 2z 10070 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
37 dvdsmul1 12566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  2 ) )
3836, 36, 37mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  2  ||  ( 2  x.  2 )
39 2t2e4 9887 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
4038, 39breqtri 4062 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  4
41403mix1i 1127 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  4  \/  3 
||  4  \/  4  e.  { 1 ,  5 } )
4233, 34, 35, 41ppiublem1 20457 . . . . . . 7  |-  ( 4  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 4 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
43 3nn0 9999 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN0
44 df-4 9822 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
45 3nn 9894 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
4645nnzi 10063 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
47 iddvds 12558 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  3  ||  3 )
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  3  ||  3
49483mix2i 1128 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  3  \/  3 
||  3  \/  3  e.  { 1 ,  5 } )
5042, 43, 44, 49ppiublem1 20457 . . . . . 6  |-  ( 3  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 3 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
51 2nn0 9998 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
52 df-3 9821 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
53 iddvds 12558 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
5436, 53ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  2  ||  2
55543mix1i 1127 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  2  \/  3 
||  2  \/  2  e.  { 1 ,  5 } )
5650, 51, 52, 55ppiublem1 20457 . . . . 5  |-  ( 2  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 2 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
57 1nn0 9997 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
58 df-2 9820 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
59 1ex 8849 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
6059prid1 3747 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 ,  5 }
61603mix3i 1129 . . . . 5  |-  ( 2 
||  1  \/  3 
||  1  \/  1  e.  { 1 ,  5 } )
6256, 57, 58, 61ppiublem1 20457 . . . 4  |-  ( 1  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 1 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
63 0nn0 9996 . . . 4  |-  0  e.  NN0
64 1e0p1 10168 . . . 4  |-  1  =  ( 0  +  1 )
65 dvds0 12560 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
6636, 65ax-mp 8 . . . . 5  |-  2  ||  0
67663mix1i 1127 . . . 4  |-  ( 2 
||  0  \/  3 
||  0  \/  0  e.  { 1 ,  5 } )
6862, 63, 64, 67ppiublem1 20457 . . 3  |-  ( 0  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
6968simpri 448 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
7015, 69mpd 14 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   (/)c0 3468   {cpr 3654   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   5c5 9814   6c6 9815   ZZcz 10040   ...cfz 10798    mod cmo 10989    || cdivides 12547   Primecprime 12774
This theorem is referenced by:  ppiub  20459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-dvds 12548  df-prm 12775
  Copyright terms: Public domain W3C validator