MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Structured version   Unicode version

Theorem ppiublem2 20979
Description: A prime greater than  3 does not divide  2 or  3, so its residue  mod  6 is  1 or  5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 13075 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  P  e.  ZZ )
3 6nn 10129 . . . 4  |-  6  e.  NN
4 zmodfz 11260 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  6  e.  NN )  ->  ( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... ( 6  -  1 ) ) )
52, 3, 4sylancl 644 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... (
6  -  1 ) ) )
6 df-6 10054 . . . . . 6  |-  6  =  ( 5  +  1 )
76oveq1i 6083 . . . . 5  |-  ( 6  -  1 )  =  ( ( 5  +  1 )  -  1 )
8 5nn 10128 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
98nncni 10002 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
10 ax-1cn 9040 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
11 pncan 9303 . . . . . 6  |-  ( ( 5  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5 )
129, 10, 11mp2an 654 . . . . 5  |-  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5
137, 12eqtri 2455 . . . 4  |-  ( 6  -  1 )  =  5
1413oveq2i 6084 . . 3  |-  ( 0 ... ( 6  -  1 ) )  =  ( 0 ... 5
)
155, 14syl6eleq 2525 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5
) )
16 6re 10068 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  RR
1716leidi 9553 . . . . . . . . . 10  |-  6  <_  6
18 noel 3624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  ( P  mod  6 )  e.  (/)
1918pm2.21i 125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  (/)  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } )
20 5lt6 10144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  <  6
213nnzi 10297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  e.  ZZ
228nnzi 10297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  ZZ
23 fzn 11063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) ) )
2421, 22, 23mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) )
2520, 24mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6 ... 5 )  =  (/)
2619, 25eleq2s 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 6 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
2817, 27pm3.2i 442 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
29 5nn0 10233 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN0
308elexi 2957 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  _V
3130prid2 3905 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  { 1 ,  5 }
32313mix3i 1131 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  5  \/  3 
||  5  \/  5  e.  { 1 ,  5 } )
3328, 29, 6, 32ppiublem1 20978 . . . . . . . 8  |-  ( 5  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 5 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
34 4nn0 10232 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
35 df-5 10053 . . . . . . . 8  |-  5  =  ( 4  +  1 )
36 2z 10304 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
37 dvdsmul1 12863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  2 ) )
3836, 36, 37mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  2  ||  ( 2  x.  2 )
39 2t2e4 10119 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
4038, 39breqtri 4227 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  4
41403mix1i 1129 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  4  \/  3 
||  4  \/  4  e.  { 1 ,  5 } )
4233, 34, 35, 41ppiublem1 20978 . . . . . . 7  |-  ( 4  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 4 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
43 3nn0 10231 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN0
44 df-4 10052 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
45 3nn 10126 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
4645nnzi 10297 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
47 iddvds 12855 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  3  ||  3 )
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  3  ||  3
49483mix2i 1130 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  3  \/  3 
||  3  \/  3  e.  { 1 ,  5 } )
5042, 43, 44, 49ppiublem1 20978 . . . . . 6  |-  ( 3  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 3 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
51 2nn0 10230 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
52 df-3 10051 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
53 iddvds 12855 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
5436, 53ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  2  ||  2
55543mix1i 1129 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  2  \/  3 
||  2  \/  2  e.  { 1 ,  5 } )
5650, 51, 52, 55ppiublem1 20978 . . . . 5  |-  ( 2  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 2 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
57 1nn0 10229 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
58 df-2 10050 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
59 1ex 9078 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
6059prid1 3904 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 ,  5 }
61603mix3i 1131 . . . . 5  |-  ( 2 
||  1  \/  3 
||  1  \/  1  e.  { 1 ,  5 } )
6256, 57, 58, 61ppiublem1 20978 . . . 4  |-  ( 1  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 1 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
63 0nn0 10228 . . . 4  |-  0  e.  NN0
64 1e0p1 10402 . . . 4  |-  1  =  ( 0  +  1 )
65 dvds0 12857 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
6636, 65ax-mp 8 . . . . 5  |-  2  ||  0
67663mix1i 1129 . . . 4  |-  ( 2 
||  0  \/  3 
||  0  \/  0  e.  { 1 ,  5 } )
6862, 63, 64, 67ppiublem1 20978 . . 3  |-  ( 0  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
6968simpri 449 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
7015, 69mpd 15 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3620   {cpr 3807   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   NNcn 9992   2c2 10041   3c3 10042   4c4 10043   5c5 10044   6c6 10045   ZZcz 10274   ...cfz 11035    mod cmo 11242    || cdivides 12844   Primecprime 13071
This theorem is referenced by:  ppiub  20980
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fl 11194  df-mod 11243  df-dvds 12845  df-prm 13072
  Copyright terms: Public domain W3C validator