MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Unicode version

Theorem ppiublem2 20442
Description: A prime greater than  3 does not divide  2 or  3, so its residue  mod  6 is  1 or  5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 12762 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  P  e.  ZZ )
3 6nn 9881 . . . 4  |-  6  e.  NN
4 zmodfz 10991 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  6  e.  NN )  ->  ( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... ( 6  -  1 ) ) )
52, 3, 4sylancl 643 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... (
6  -  1 ) ) )
6 df-6 9808 . . . . . 6  |-  6  =  ( 5  +  1 )
76oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( 6  -  1 )  =  ( ( 5  +  1 )  -  1 )
8 5nn 9880 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
98nncni 9756 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
10 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
11 pncan 9057 . . . . . 6  |-  ( ( 5  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5 )
129, 10, 11mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( 5  +  1 )  -  1 )  =  5
137, 12eqtri 2303 . . . 4  |-  ( 6  -  1 )  =  5
1413oveq2i 5869 . . 3  |-  ( 0 ... ( 6  -  1 ) )  =  ( 0 ... 5
)
155, 14syl6eleq 2373 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5
) )
16 6re 9822 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  RR
1716leidi 9307 . . . . . . . . . 10  |-  6  <_  6
18 noel 3459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  ( P  mod  6 )  e.  (/)
1918pm2.21i 123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  (/)  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } )
20 5lt6 9896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  <  6
213nnzi 10047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  e.  ZZ
228nnzi 10047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  ZZ
23 fzn 10810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) ) )
2421, 22, 23mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  <  6  <->  ( 6 ... 5 )  =  (/) )
2520, 24mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6 ... 5 )  =  (/)
2619, 25eleq2s 2375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
2726a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 6 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
2817, 27pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 6 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
29 5nn0 9985 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN0
308elexi 2797 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  _V
3130prid2 3735 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  { 1 ,  5 }
32313mix3i 1129 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 
||  5  \/  3 
||  5  \/  5  e.  { 1 ,  5 } )
3328, 29, 6, 32ppiublem1 20441 . . . . . . . 8  |-  ( 5  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 5 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
34 4nn0 9984 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
35 df-5 9807 . . . . . . . 8  |-  5  =  ( 4  +  1 )
36 2z 10054 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
37 dvdsmul1 12550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  2 ) )
3836, 36, 37mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  2  ||  ( 2  x.  2 )
39 2t2e4 9871 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
4038, 39breqtri 4046 . . . . . . . . 9  |-  2  ||  4
41403mix1i 1127 . . . . . . . 8  |-  ( 2 
||  4  \/  3 
||  4  \/  4  e.  { 1 ,  5 } )
4233, 34, 35, 41ppiublem1 20441 . . . . . . 7  |-  ( 4  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 4 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
43 3nn0 9983 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN0
44 df-4 9806 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
45 3nn 9878 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
4645nnzi 10047 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
47 iddvds 12542 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  3  ||  3 )
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  3  ||  3
49483mix2i 1128 . . . . . . 7  |-  ( 2 
||  3  \/  3 
||  3  \/  3  e.  { 1 ,  5 } )
5042, 43, 44, 49ppiublem1 20441 . . . . . 6  |-  ( 3  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 3 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
51 2nn0 9982 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
52 df-3 9805 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
53 iddvds 12542 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  2 )
5436, 53ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  2  ||  2
55543mix1i 1127 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  2  \/  3 
||  2  \/  2  e.  { 1 ,  5 } )
5650, 51, 52, 55ppiublem1 20441 . . . . 5  |-  ( 2  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 2 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
57 1nn0 9981 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
58 df-2 9804 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
59 1ex 8833 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
6059prid1 3734 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 ,  5 }
61603mix3i 1129 . . . . 5  |-  ( 2 
||  1  \/  3 
||  1  \/  1  e.  { 1 ,  5 } )
6256, 57, 58, 61ppiublem1 20441 . . . 4  |-  ( 1  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 1 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
63 0nn0 9980 . . . 4  |-  0  e.  NN0
64 1e0p1 10152 . . . 4  |-  1  =  ( 0  +  1 )
65 dvds0 12544 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
6636, 65ax-mp 8 . . . . 5  |-  2  ||  0
67663mix1i 1127 . . . 4  |-  ( 2 
||  0  \/  3 
||  0  \/  0  e.  { 1 ,  5 } )
6862, 63, 64, 67ppiublem1 20441 . . 3  |-  ( 0  <_  6  /\  (
( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( ( P  mod  6 )  e.  ( 0 ... 5 )  ->  ( P  mod  6 )  e.  {
1 ,  5 } ) ) )
6968simpri 448 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  (
( P  mod  6
)  e.  ( 0 ... 5 )  -> 
( P  mod  6
)  e.  { 1 ,  5 } ) )
7015, 69mpd 14 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  4  <_  P )  ->  ( P  mod  6 )  e. 
{ 1 ,  5 } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   (/)c0 3455   {cpr 3641   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   ZZcz 10024   ...cfz 10782    mod cmo 10973    || cdivides 12531   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  ppiub  20443
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-dvds 12532  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator