Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pprodss4v Structured version   Unicode version

Theorem pprodss4v 25729
 Description: The parallel product is a subclass of . (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pprodss4v pprod

Proof of Theorem pprodss4v
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pprod 25699 . 2 pprod
2 txprel 25724 . . 3
3 txpss3v 25723 . . . . . . 7
43sseli 3344 . . . . . 6
5 opelxp2 4912 . . . . . 6
64, 5syl 16 . . . . 5
7 elvv 4936 . . . . . 6
8 opeq2 3985 . . . . . . . . 9
98eleq1d 2502 . . . . . . . 8
10 df-br 4213 . . . . . . . . 9
11 vex 2959 . . . . . . . . . . 11
12 vex 2959 . . . . . . . . . . 11
13 vex 2959 . . . . . . . . . . 11
1411, 12, 13brtxp 25725 . . . . . . . . . 10
1511, 12brco 5043 . . . . . . . . . . . 12
16 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1716brres 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14
1918adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
2019exlimiv 1644 . . . . . . . . . . . 12
2115, 20sylbi 188 . . . . . . . . . . 11
2221adantr 452 . . . . . . . . . 10
2314, 22sylbi 188 . . . . . . . . 9
2410, 23sylbir 205 . . . . . . . 8
259, 24syl6bi 220 . . . . . . 7
2625exlimivv 1645 . . . . . 6
277, 26sylbi 188 . . . . 5
286, 27mpcom 34 . . . 4
29 opelxp 4908 . . . 4
3028, 6, 29sylanbrc 646 . . 3
312, 30relssi 4967 . 2
321, 31eqsstri 3378 1 pprod
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   wss 3320  cop 3817   class class class wbr 4212   cxp 4876   cres 4880   ccom 4882  c1st 6347  c2nd 6348   ctxp 25674  pprodcpprod 25675 This theorem is referenced by:  brpprod3a  25731 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fo 5460  df-fv 5462  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-txp 25698  df-pprod 25699
 Copyright terms: Public domain W3C validator