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Theorem pptbas 17072
Description: The particular point topology is generated by a basis consisting of pairs  { x ,  P } for each  x  e.  A. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
pptbas  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  =  ( topGen `  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, P    x, V

Proof of Theorem pptbas
Dummy variables  w  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ppttop 17071 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
2 topontop 16991 . . . 4  |-  ( { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A )  ->  { y  e.  ~P A  | 
( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  e.  Top )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  e.  Top )
4 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
5 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  P  e.  A )
6 prssi 3954 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  P  e.  A )  ->  { x ,  P }  C_  A )
74, 5, 6syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  { x ,  P }  C_  A
)
8 prex 4406 . . . . . . . 8  |-  { x ,  P }  e.  _V
98elpw 3805 . . . . . . 7  |-  ( { x ,  P }  e.  ~P A  <->  { x ,  P }  C_  A
)
107, 9sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  { x ,  P }  e.  ~P A )
11 prid2g 3911 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  { x ,  P } )
1211ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  P  e.  { x ,  P } )
1312orcd 382 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  ( P  e.  { x ,  P }  \/  {
x ,  P }  =  (/) ) )
14 eleq2 2497 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { x ,  P }  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  { x ,  P }
) )
15 eqeq1 2442 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { x ,  P }  ->  (
y  =  (/)  <->  { x ,  P }  =  (/) ) )
1614, 15orbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { x ,  P }  ->  (
( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) 
<->  ( P  e.  {
x ,  P }  \/  { x ,  P }  =  (/) ) ) )
1716elrab 3092 . . . . . 6  |-  ( { x ,  P }  e.  { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  <->  ( {
x ,  P }  e.  ~P A  /\  ( P  e.  { x ,  P }  \/  {
x ,  P }  =  (/) ) ) )
1810, 13, 17sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  x  e.  A )  ->  { x ,  P }  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } )
19 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } )  =  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } )
2018, 19fmptd 5893 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) : A --> { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } )
21 frn 5597 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  { x ,  P }
) : A --> { y  e.  ~P A  | 
( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  ->  ran  (
x  e.  A  |->  { x ,  P }
)  C_  { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } )  C_  { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } )
23 eleq2 2497 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  z ) )
24 eqeq1 2442 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  (/)  <->  z  =  (/) ) )
2523, 24orbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) 
<->  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )
2625elrab 3092 . . . . 5  |-  ( z  e.  { y  e. 
~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  <-> 
( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )
27 elpwi 3807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~P A  -> 
z  C_  A )
2827ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  z  C_  A )
2928sselda 3348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  w  e.  A )
30 prid1g 3910 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  z  ->  w  e.  { w ,  P } )
3130adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  w  e.  { w ,  P } )
32 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  w  e.  z )
33 n0i 3633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  z  ->  -.  z  =  (/) )
3433adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  -.  z  =  (/) )
35 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) )
3635ord 367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  ( -.  P  e.  z  ->  z  =  (/) ) )
3734, 36mt3d 119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  P  e.  z )
38 prssi 3954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  z  /\  P  e.  z )  ->  { w ,  P }  C_  z )
3932, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  { w ,  P }  C_  z )
40 preq1 3883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  { x ,  P }  =  {
w ,  P }
)
4140eleq2d 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
w  e.  { x ,  P }  <->  w  e.  { w ,  P }
) )
4240sseq1d 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( { x ,  P }  C_  z  <->  { w ,  P }  C_  z
) )
4341, 42anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
( w  e.  {
x ,  P }  /\  { x ,  P }  C_  z )  <->  ( w  e.  { w ,  P }  /\  { w ,  P }  C_  z
) ) )
4443rspcev 3052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  A  /\  ( w  e.  { w ,  P }  /\  {
w ,  P }  C_  z ) )  ->  E. x  e.  A  ( w  e.  { x ,  P }  /\  {
x ,  P }  C_  z ) )
4529, 31, 39, 44syl12anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  E. x  e.  A  ( w  e.  { x ,  P }  /\  {
x ,  P }  C_  z ) )
468rgenw 2773 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  A  { x ,  P }  e.  _V
47 eleq2 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  { x ,  P }  ->  (
w  e.  v  <->  w  e.  { x ,  P }
) )
48 sseq1 3369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  { x ,  P }  ->  (
v  C_  z  <->  { x ,  P }  C_  z
) )
4947, 48anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  { x ,  P }  ->  (
( w  e.  v  /\  v  C_  z
)  <->  ( w  e. 
{ x ,  P }  /\  { x ,  P }  C_  z
) ) )
5019, 49rexrnmpt 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  {
x ,  P }  e.  _V  ->  ( E. v  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ( w  e.  v  /\  v  C_  z )  <->  E. x  e.  A  ( w  e.  { x ,  P }  /\  { x ,  P }  C_  z
) ) )
5146, 50ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( E. v  e.  ran  (
x  e.  A  |->  { x ,  P }
) ( w  e.  v  /\  v  C_  z )  <->  E. x  e.  A  ( w  e.  { x ,  P }  /\  { x ,  P }  C_  z
) )
5245, 51sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  /\  w  e.  z )  ->  E. v  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ( w  e.  v  /\  v  C_  z ) )
5352ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  A. w  e.  z  E. v  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ( w  e.  v  /\  v  C_  z ) )
5453ex 424 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( z  e. 
~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) )  ->  A. w  e.  z  E. v  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ( w  e.  v  /\  v  C_  z ) ) )
5526, 54syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( z  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  ->  A. w  e.  z  E. v  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ( w  e.  v  /\  v  C_  z ) ) )
5655ralrimiv 2788 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. z  e.  {
y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } A. w  e.  z  E. v  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ( w  e.  v  /\  v  C_  z ) )
57 basgen2 17054 . . 3  |-  ( ( { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  e.  Top  /\  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } )  C_  { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  /\  A. z  e.  { y  e.  ~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } A. w  e.  z  E. v  e.  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ( w  e.  v  /\  v  C_  z ) )  -> 
( topGen `  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) )  =  { y  e. 
~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } )
583, 22, 56, 57syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( topGen `  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) )  =  { y  e. 
~P A  |  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) } )
59 eleq2 2497 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( P  e.  y  <->  P  e.  x ) )
60 eqeq1 2442 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  (/)  <->  x  =  (/) ) )
6159, 60orbi12d 691 . . 3  |-  ( y  =  x  ->  (
( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) 
<->  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )
6261cbvrabv 2955 . 2  |-  { y  e.  ~P A  | 
( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) }  =  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }
6358, 62syl6req 2485 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  =  ( topGen `  ran  ( x  e.  A  |->  { x ,  P } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {cpr 3815    e. cmpt 4266   ran crn 4879   -->wf 5450   ` cfv 5454   topGenctg 13665   Topctop 16958  TopOnctopon 16959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-topgen 13667  df-top 16963  df-topon 16966
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