MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppttop Structured version   Unicode version

Theorem ppttop 17063
Description: The particular point topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ppttop  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, P    x, V

Proof of Theorem ppttop
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab 3413 . . . . 5  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( y  C_  ~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )
2 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  y  C_  ~P A )
3 sspwuni 4168 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  ~P A  <->  U. y  C_  A )
42, 3sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  U. y  C_  A )
5 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
65uniex 4697 . . . . . . . . 9  |-  U. y  e.  _V
76elpw 3797 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  ~P A  <->  U. y  C_  A )
84, 7sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  U. y  e.  ~P A )
9 neq0 3630 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  E. z  z  e.  U. y
)
10 eluni2 4011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U. y  <->  E. x  e.  y  z  e.  x )
11 r19.29 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  E. x  e.  y  z  e.  x )  ->  E. x  e.  y 
( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x ) )
12 n0i 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  x  ->  -.  x  =  (/) )
1312adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x )  ->  -.  x  =  (/) )
14 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x )  ->  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) )
1514ord 367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x )  ->  ( -.  P  e.  x  ->  x  =  (/) ) )
1613, 15mt3d 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x )  ->  P  e.  x )
1716adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x ) )  ->  P  e.  x )
18 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x ) )  ->  x  e.  y )
19 elunii 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  x  /\  x  e.  y )  ->  P  e.  U. y
)
2017, 18, 19syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x ) )  ->  P  e.  U. y
)
2120rexlimiva 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. x  e.  y  ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x )  ->  P  e.  U. y
)
2211, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  E. x  e.  y  z  e.  x )  ->  P  e.  U. y
)
2322ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  -> 
( E. x  e.  y  z  e.  x  ->  P  e.  U. y
) )
2423ad2antll 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( E. x  e.  y  z  e.  x  ->  P  e. 
U. y ) )
2510, 24syl5bi 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( z  e.  U. y  ->  P  e.  U. y ) )
2625exlimdv 1646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( E. z  z  e.  U. y  ->  P  e.  U. y
) )
279, 26syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  P  e.  U. y ) )
2827con1d 118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( -.  P  e.  U. y  ->  U. y  =  (/) ) )
2928orrd 368 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( P  e.  U. y  \/  U. y  =  (/) ) )
30 eleq2 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( P  e.  x  <->  P  e.  U. y ) )
31 eqeq1 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  =  (/)  <->  U. y  =  (/) ) )
3230, 31orbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  <->  ( P  e. 
U. y  \/  U. y  =  (/) ) ) )
3332elrab 3084 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( U. y  e. 
~P A  /\  ( P  e.  U. y  \/  U. y  =  (/) ) ) )
348, 29, 33sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
3534ex 424 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( y  C_  ~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) )  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
361, 35syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
3736alrimiv 1641 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. y ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
38 eleq2 2496 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  y ) )
39 eqeq1 2441 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4038, 39orbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  <->  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) ) )
4140elrab 3084 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) ) )
42 eleq2 2496 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  z ) )
43 eqeq1 2441 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  (/)  <->  z  =  (/) ) )
4442, 43orbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  <->  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )
4544elrab 3084 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )
4641, 45anbi12i 679 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )  <->  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )
47 inss1 3553 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  z )  C_  y
48 simprll 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  y  e.  ~P A )
4948elpwid 3800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  y  C_  A
)
5047, 49syl5ss 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
515inex1 4336 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
5251elpw 3797 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  <->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
5350, 52sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P A )
54 ianor 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( P  e.  y  /\  P  e.  z )  <->  ( -.  P  e.  y  \/  -.  P  e.  z )
)
55 elin 3522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( y  i^i  z )  <->  ( P  e.  y  /\  P  e.  z ) )
5654, 55xchnxbir 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  P  e.  ( y  i^i  z )  <->  ( -.  P  e.  y  \/  -.  P  e.  z
) )
57 simprlr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )
5857ord 367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( -.  P  e.  y  ->  y  =  (/) ) )
59 simprrr 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) )
6059ord 367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( -.  P  e.  z  ->  z  =  (/) ) )
6158, 60orim12d 812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( ( -.  P  e.  y  \/ 
-.  P  e.  z )  ->  ( y  =  (/)  \/  z  =  (/) ) ) )
6256, 61syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( -.  P  e.  ( y  i^i  z
)  ->  ( y  =  (/)  \/  z  =  (/) ) ) )
63 inss 3562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  (/)  \/  z  C_  (/) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  (/) )
64 ss0b 3649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  (/)  <->  y  =  (/) )
65 ss0b 3649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  (/)  <->  z  =  (/) )
6664, 65orbi12i 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  (/)  \/  z  C_  (/) )  <->  ( y  =  (/)  \/  z  =  (/) ) )
67 ss0b 3649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  i^i  z ) 
C_  (/)  <->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
6863, 66, 673imtr3i 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  (/)  \/  z  =  (/) )  ->  (
y  i^i  z )  =  (/) )
6962, 68syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( -.  P  e.  ( y  i^i  z
)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7069orrd 368 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
71 eleq2 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  ( y  i^i  z
) ) )
72 eqeq1 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7371, 72orbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  <->  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
7473elrab 3084 . . . . . . 7  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
7553, 70, 74sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
7675ex 424 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  ( z  e. 
~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
7746, 76syl5bi 209 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )  ->  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
7877ralrimivv 2789 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
79 pwexg 4375 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
8079adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ~P A  e.  _V )
81 rabexg 4345 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V )
8280, 81syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V )
83 istopg 16960 . . . 4  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z
)  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8482, 83syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z
)  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8537, 78, 84mpbir2and 889 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top )
86 pwidg 3803 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
8786adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  e.  ~P A
)
88 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  P  e.  A )
8988orcd 382 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( P  e.  A  \/  A  =  (/) ) )
90 eleq2 2496 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  A ) )
91 eqeq1 2441 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
9290, 91orbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  <->  ( P  e.  A  \/  A  =  (/) ) ) )
9392elrab 3084 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( A  e.  ~P A  /\  ( P  e.  A  \/  A  =  (/) ) ) )
9487, 89, 93sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
95 elssuni 4035 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ->  A  C_  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
9694, 95syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  C_  U. { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
97 ssrab2 3420 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } 
C_  ~P A
98 sspwuni 4168 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  C_  ~P A 
<-> 
U. { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } 
C_  A )
9997, 98mpbi 200 . . . 4  |-  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  C_  A
10099a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  U. { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } 
C_  A )
10196, 100eqssd 3357 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
102 istopon 16982 . 2  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A )  <->  ( {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  /\  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
10385, 101, 102sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   {crab 2701   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   ` cfv 5446   Topctop 16950  TopOnctopon 16951
This theorem is referenced by:  pptbas  17064
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-top 16955  df-topon 16958
  Copyright terms: Public domain W3C validator