MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppttop Unicode version

Theorem ppttop 16744
Description: The particular point topology. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ppttop  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, P    x, V

Proof of Theorem ppttop
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab 3251 . . . . 5  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( y  C_  ~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )
2 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  y  C_  ~P A )
3 sspwuni 3987 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  ~P A  <->  U. y  C_  A )
42, 3sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  U. y  C_  A )
5 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
65uniex 4516 . . . . . . . . 9  |-  U. y  e.  _V
76elpw 3631 . . . . . . . 8  |-  ( U. y  e.  ~P A  <->  U. y  C_  A )
84, 7sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  U. y  e.  ~P A )
9 neq0 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  E. z  z  e.  U. y
)
10 eluni2 3831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U. y  <->  E. x  e.  y  z  e.  x )
11 r19.29 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  E. x  e.  y  z  e.  x )  ->  E. x  e.  y 
( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x ) )
12 n0i 3460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  x  ->  -.  x  =  (/) )
1312adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x )  ->  -.  x  =  (/) )
14 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x )  ->  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) )
1514ord 366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x )  ->  ( -.  P  e.  x  ->  x  =  (/) ) )
1613, 15mt3d 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x )  ->  P  e.  x )
1716adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x ) )  ->  P  e.  x )
18 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x ) )  ->  x  e.  y )
19 elunii 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  x  /\  x  e.  y )  ->  P  e.  U. y
)
2017, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x ) )  ->  P  e.  U. y
)
2120rexlimiva 2662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. x  e.  y  ( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  z  e.  x )  ->  P  e.  U. y
)
2211, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  /\  E. x  e.  y  z  e.  x )  ->  P  e.  U. y
)
2322ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  -> 
( E. x  e.  y  z  e.  x  ->  P  e.  U. y
) )
2423ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( E. x  e.  y  z  e.  x  ->  P  e. 
U. y ) )
2510, 24syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( z  e.  U. y  ->  P  e.  U. y ) )
2625exlimdv 1664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( E. z  z  e.  U. y  ->  P  e.  U. y
) )
279, 26syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  P  e.  U. y ) )
2827con1d 116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( -.  P  e.  U. y  ->  U. y  =  (/) ) )
2928orrd 367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  ( P  e.  U. y  \/  U. y  =  (/) ) )
30 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( P  e.  x  <->  P  e.  U. y ) )
31 eqeq1 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  =  (/)  <->  U. y  =  (/) ) )
3230, 31orbi12d 690 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  <->  ( P  e. 
U. y  \/  U. y  =  (/) ) ) )
3332elrab 2923 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( U. y  e. 
~P A  /\  ( P  e.  U. y  \/  U. y  =  (/) ) ) )
348, 29, 33sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( y  C_ 
~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) ) )  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
3534ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( y  C_  ~P A  /\  A. x  e.  y  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) )  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
361, 35syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
3736alrimiv 1617 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. y ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
38 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  y ) )
39 eqeq1 2289 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4038, 39orbi12d 690 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  <->  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) ) )
4140elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) ) )
42 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  z ) )
43 eqeq1 2289 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  (/)  <->  z  =  (/) ) )
4442, 43orbi12d 690 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  <->  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )
4544elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )
4641, 45anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )  <->  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )
47 inss1 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  z )  C_  y
48 simprll 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  y  e.  ~P A )
49 elpwi 3633 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
y  C_  A )
5048, 49syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  y  C_  A
)
5147, 50syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
525inex1 4155 . . . . . . . . 9  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
5352elpw 3631 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  <->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
5451, 53sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P A )
55 ianor 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( P  e.  y  /\  P  e.  z )  <->  ( -.  P  e.  y  \/  -.  P  e.  z )
)
56 elin 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ( y  i^i  z )  <->  ( P  e.  y  /\  P  e.  z ) )
5755, 56xchnxbir 300 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  P  e.  ( y  i^i  z )  <->  ( -.  P  e.  y  \/  -.  P  e.  z
) )
58 simprlr 739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )
5958ord 366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( -.  P  e.  y  ->  y  =  (/) ) )
60 simprrr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) )
6160ord 366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( -.  P  e.  z  ->  z  =  (/) ) )
6259, 61orim12d 811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( ( -.  P  e.  y  \/ 
-.  P  e.  z )  ->  ( y  =  (/)  \/  z  =  (/) ) ) )
6357, 62syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( -.  P  e.  ( y  i^i  z
)  ->  ( y  =  (/)  \/  z  =  (/) ) ) )
64 inss 3398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  (/)  \/  z  C_  (/) )  ->  ( y  i^i  z )  C_  (/) )
65 ss0b 3484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  (/)  <->  y  =  (/) )
66 ss0b 3484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z 
C_  (/)  <->  z  =  (/) )
6765, 66orbi12i 507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  (/)  \/  z  C_  (/) )  <->  ( y  =  (/)  \/  z  =  (/) ) )
68 ss0b 3484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  i^i  z ) 
C_  (/)  <->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
6964, 67, 683imtr3i 256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  (/)  \/  z  =  (/) )  ->  (
y  i^i  z )  =  (/) )
7063, 69syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( -.  P  e.  ( y  i^i  z
)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7170orrd 367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
72 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  ( y  i^i  z
) ) )
73 eqeq1 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7472, 73orbi12d 690 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  <->  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
7574elrab 2923 . . . . . . 7  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  ( P  e.  ( y  i^i  z
)  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
7654, 71, 75sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A
)  /\  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
7776ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( P  e.  y  \/  y  =  (/) ) )  /\  ( z  e. 
~P A  /\  ( P  e.  z  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
7846, 77syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( ( y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )  ->  ( y  i^i  z )  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
7978ralrimivv 2634 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  (
y  i^i  z )  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
80 pwexg 4194 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
8180adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ~P A  e.  _V )
82 rabexg 4164 . . . . 5  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V )
8381, 82syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V )
84 istopg 16641 . . . 4  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z
)  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8583, 84syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z
)  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8637, 79, 85mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top )
87 pwidg 3637 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
8887adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  e.  ~P A
)
89 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  P  e.  A )
9089orcd 381 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  ( P  e.  A  \/  A  =  (/) ) )
91 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( P  e.  x  <->  P  e.  A ) )
92 eqeq1 2289 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
9391, 92orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( P  e.  x  \/  x  =  (/) )  <->  ( P  e.  A  \/  A  =  (/) ) ) )
9493elrab 2923 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( A  e.  ~P A  /\  ( P  e.  A  \/  A  =  (/) ) ) )
9588, 90, 94sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  e.  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
96 elssuni 3855 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  ->  A  C_  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
9795, 96syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  C_  U. { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
98 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } 
C_  ~P A
99 sspwuni 3987 . . . . 5  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  C_  ~P A 
<-> 
U. { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } 
C_  A )
10098, 99mpbi 199 . . . 4  |-  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  C_  A
101100a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  U. { x  e. 
~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } 
C_  A )
10297, 101eqssd 3196 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } )
103 istopon 16663 . 2  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A )  <->  ( {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  /\  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) } ) )
10486, 102, 103sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  P  e.  A )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( P  e.  x  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Topctop 16631  TopOnctopon 16632
This theorem is referenced by:  pptbas  16745
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-top 16636  df-topon 16639
  Copyright terms: Public domain W3C validator