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Theorem prcnt 25654
Description: The projections are continuous. (Contributed by FL, 18-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
prcnt  |-  ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  ->  A. i  e.  I 
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( (  topX  `  F )  Cn  ( F `  i )
) )
Distinct variable groups:    A, i    i, F, x    i, I, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem prcnt
Dummy variables  o  u  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
21uniex 4532 . . . . . . 7  |-  U. ( F `  x )  e.  _V
32rgenw 2623 . . . . . 6  |-  A. x  e.  I  U. ( F `  x )  e.  _V
4 ixpexg 6856 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  U. ( F `  x )  e.  _V  ->  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  e.  _V )
53, 4ax-mp 8 . . . . 5  |-  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  e.  _V
6 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  ->  i  e.  I )
7 eqid 2296 . . . . . 6  |-  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)
8 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  ( F `  x )  =  ( F `  i ) )
98unieqd 3854 . . . . . 6  |-  ( x  =  i  ->  U. ( F `  x )  =  U. ( F `  i ) )
107, 9prmapcp2 25260 . . . . 5  |-  ( (
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  e.  _V  /\  i  e.  I )  ->  ( X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  pr  i ) : X_ x  e.  I  U. ( F `  x ) --> U. ( F `  i ) )
115, 6, 10sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  ->  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) :
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
) --> U. ( F `  i ) )
12 usptop 25653 . . . . . 6  |-  ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  ->  U. (  topX  `  F
)  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )
)
1312adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  ->  U. (  topX  `  F )  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
) )
1413feq2d 5396 . . . 4  |-  ( ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  ->  (
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i ) : U. (  topX  `  F ) --> U. ( F `  i )  <->  (
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i ) : X_ x  e.  I  U. ( F `
 x ) --> U. ( F `  i
) ) )
1511, 14mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  ->  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) : U. (  topX  `  F
) --> U. ( F `  i ) )
16 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i )
)  ->  ( i  e.  I  ->  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i )
) ) )
1716ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Top  /\  ( U. u  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `
 i ) ) ) )  ->  (
i  e.  I  -> 
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i ) ) ) )
1817com12 27 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  I  ->  (
( u  e.  Top  /\  ( U. u  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i )
) ) )  -> 
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i ) ) ) )
1918ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F :
I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  /\  o  e.  ( F `  i
) )  ->  (
( u  e.  Top  /\  ( U. u  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i )
) ) )  -> 
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i ) ) ) )
2019imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I
)  /\  o  e.  ( F `  i ) )  /\  ( u  e.  Top  /\  ( U. u  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  I 
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i ) ) ) ) )  ->  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `
 i ) ) )
21 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I
)  /\  o  e.  ( F `  i ) )  /\  ( u  e.  Top  /\  ( U. u  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  I 
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i ) ) ) ) )  ->  o  e.  ( F `  i ) )
2220, 21jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I
)  /\  o  e.  ( F `  i ) )  /\  ( u  e.  Top  /\  ( U. u  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  I 
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i ) ) ) ) )  ->  ( ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i )
)  /\  o  e.  ( F `  i ) ) )
2322ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F :
I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  /\  o  e.  ( F `  i
) )  ->  (
( u  e.  Top  /\  ( U. u  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i )
) ) )  -> 
( ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `
 i ) )  /\  o  e.  ( F `  i ) ) ) )
24 cnima 17010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `
 i ) )  /\  o  e.  ( F `  i ) )  ->  ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )
" o )  e.  u )
2523, 24syl6 29 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F :
I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  /\  o  e.  ( F `  i
) )  ->  (
( u  e.  Top  /\  ( U. u  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i )
) ) )  -> 
( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) "
o )  e.  u
) )
2625alrimiv 1621 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F :
I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  /\  o  e.  ( F `  i
) )  ->  A. u
( ( u  e. 
Top  /\  ( U. u  =  X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  /\  A. i  e.  I  (
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i ) ) ) )  -> 
( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) "
o )  e.  u
) )
27 istopx 25650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  ->  (  topX  `  F )  =  |^| { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `
 i ) ) ) } )
2827eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  ->  ( ( `' (
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )
" o )  e.  (  topX  `  F )  <-> 
( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) "
o )  e.  |^| { t  e.  Top  | 
( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) } ) )
2928ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F :
I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  /\  o  e.  ( F `  i
) )  ->  (
( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) "
o )  e.  ( 
topX  `  F )  <->  ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )
" o )  e. 
|^| { t  e.  Top  |  ( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) } ) )
30 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e. 
_V
3130a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F :
I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  /\  o  e.  ( F `  i
) )  ->  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e. 
_V )
32 cnvexg 5224 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  _V  ->  `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  _V )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F :
I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  /\  o  e.  ( F `  i
) )  ->  `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  _V )
34 imaexg 5042 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  pr  i )  e.  _V  ->  ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) "
o )  e.  _V )
3533, 34syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F :
I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  /\  o  e.  ( F `  i
) )  ->  ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) " o
)  e.  _V )
36 elintg 3886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) " o
)  e.  _V  ->  ( ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) "
o )  e.  |^| { t  e.  Top  | 
( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) }  <->  A. u  e.  { t  e.  Top  |  ( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) }  ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) " o
)  e.  u ) )
37 df-ral 2561 . . . . . . . . 9  |-  ( A. u  e.  { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  /\  A. i  e.  I  (
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i
) ) ) }  ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) "
o )  e.  u  <->  A. u ( u  e. 
{ t  e.  Top  |  ( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) }  ->  ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) " o
)  e.  u ) )
3836, 37syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) " o
)  e.  _V  ->  ( ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) "
o )  e.  |^| { t  e.  Top  | 
( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) }  <->  A. u
( u  e.  {
t  e.  Top  | 
( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) }  ->  ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) " o
)  e.  u ) ) )
3935, 38syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F :
I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  /\  o  e.  ( F `  i
) )  ->  (
( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) "
o )  e.  |^| { t  e.  Top  | 
( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) }  <->  A. u
( u  e.  {
t  e.  Top  | 
( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) }  ->  ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) " o
)  e.  u ) ) )
4029, 39bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F :
I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  /\  o  e.  ( F `  i
) )  ->  (
( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) "
o )  e.  ( 
topX  `  F )  <->  A. u
( u  e.  {
t  e.  Top  | 
( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) }  ->  ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) " o
)  e.  u ) ) )
41 unieq 3852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  u  ->  U. t  =  U. u )
4241eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  u  ->  ( U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  <->  U. u  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )
) )
43 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  u  ->  (
t  Cn  ( F `
 i ) )  =  ( u  Cn  ( F `  i ) ) )
4443eleq2d 2363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  u  ->  (
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i
) )  <->  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i )
) ) )
4544ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  u  ->  ( A. i  e.  I 
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i
) )  <->  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i )
) ) )
4642, 45anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  u  ->  (
( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) )  <->  ( U. u  =  X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  /\  A. i  e.  I  (
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i ) ) ) ) )
4746elrab 2936 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  { t  e. 
Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  /\  A. i  e.  I  (
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i
) ) ) }  <-> 
( u  e.  Top  /\  ( U. u  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i )
) ) ) )
4847imbi1i 315 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  { t  e.  Top  |  ( U. t  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `
 i ) ) ) }  ->  ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) " o
)  e.  u )  <-> 
( ( u  e. 
Top  /\  ( U. u  =  X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  /\  A. i  e.  I  (
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i ) ) ) )  -> 
( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) "
o )  e.  u
) )
4948albii 1556 . . . . . 6  |-  ( A. u ( u  e. 
{ t  e.  Top  |  ( U. t  = 
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  /\  A. i  e.  I  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( t  Cn  ( F `  i )
) ) }  ->  ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) " o
)  e.  u )  <->  A. u ( ( u  e.  Top  /\  ( U. u  =  X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  /\  A. i  e.  I 
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i ) ) ) )  -> 
( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) "
o )  e.  u
) )
5040, 49syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F :
I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  /\  o  e.  ( F `  i
) )  ->  (
( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) "
o )  e.  ( 
topX  `  F )  <->  A. u
( ( u  e. 
Top  /\  ( U. u  =  X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  /\  A. i  e.  I  (
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( u  Cn  ( F `  i ) ) ) )  -> 
( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) "
o )  e.  u
) ) )
5126, 50mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( ( F :
I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  /\  o  e.  ( F `  i
) )  ->  ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) " o
)  e.  (  topX  `  F ) )
5251ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  ->  A. o  e.  ( F `  i
) ( `' (
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )
" o )  e.  (  topX  `  F ) )
53 prtoptop 25652 . . . . 5  |-  ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  ->  (  topX  `  F )  e.  Top )
5453adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  ->  (  topX  `  F )  e. 
Top )
55 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( F : I --> Top  /\  i  e.  I )  ->  ( F `  i
)  e.  Top )
5655adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  ->  ( F `  i )  e.  Top )
57 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. (  topX  `  F )  = 
U. (  topX  `  F
)
58 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. ( F `  i )  =  U. ( F `  i )
5957, 58iscn2 16984 . . . . 5  |-  ( (
X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( (  topX  `  F )  Cn  ( F `  i )
)  <->  ( ( ( 
topX  `  F )  e. 
Top  /\  ( F `  i )  e.  Top )  /\  ( ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) : U. (  topX  `  F
) --> U. ( F `  i )  /\  A. o  e.  ( F `  i ) ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  pr  i ) " o
)  e.  (  topX  `  F ) ) ) )
6059baib 871 . . . 4  |-  ( ( (  topX  `  F )  e.  Top  /\  ( F `  i )  e.  Top )  ->  (
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( (  topX  `  F )  Cn  ( F `  i )
)  <->  ( ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) : U. (  topX  `  F
) --> U. ( F `  i )  /\  A. o  e.  ( F `  i ) ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  pr  i ) " o
)  e.  (  topX  `  F ) ) ) )
6154, 56, 60syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  ->  (
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( (  topX  `  F )  Cn  ( F `  i )
)  <->  ( ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i ) : U. (  topX  `  F
) --> U. ( F `  i )  /\  A. o  e.  ( F `  i ) ( `' ( X_ x  e.  I  U. ( F `
 x )  pr  i ) " o
)  e.  (  topX  `  F ) ) ) )
6215, 52, 61mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  /\  i  e.  I )  ->  ( X_ x  e.  I  U. ( F `  x )  pr  i )  e.  ( (  topX  `  F
)  Cn  ( F `
 i ) ) )
6362ralrimiva 2639 1  |-  ( ( F : I --> Top  /\  I  e.  A )  ->  A. i  e.  I 
( X_ x  e.  I  U. ( F `  x
)  pr  i )  e.  ( (  topX  `  F )  Cn  ( F `  i )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801   U.cuni 3843   |^|cint 3878   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   X_cixp 6833   Topctop 16647    Cn ccn 16970    pr cpro 25253    topX ctopx 25647
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-ixp 6834  df-top 16652  df-topon 16655  df-cn 16973  df-pro 25255  df-prtop 25648
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