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Theorem prdnei 25573
Description: The product of two neighborhoods is a neighborhood. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
exopcopn.1  |-  T  =  ( R  tX  S
)
prdnei.2  |-  X  = 
U. R
prdnei.3  |-  Y  = 
U. S
Assertion
Ref Expression
prdnei  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  ( U  X.  V )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } ) )

Proof of Theorem prdnei
Dummy variables  o  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 979 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  R  e.  Top )
2 simp3l 983 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } ) )
3 prdnei.2 . . . . . 6  |-  X  = 
U. R
43neii1 16843 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  U  e.  ( ( nei `  R ) `  { A } ) )  ->  U  C_  X
)
51, 2, 4syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  U  C_  X
)
6 simp1r 980 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  S  e.  Top )
7 simp3r 984 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) )
8 prdnei.3 . . . . . 6  |-  Y  = 
U. S
98neii1 16843 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Top  /\  V  e.  ( ( nei `  S ) `  { B } ) )  ->  V  C_  Y
)
106, 7, 9syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  V  C_  Y
)
11 xpss12 4792 . . . 4  |-  ( ( U  C_  X  /\  V  C_  Y )  -> 
( U  X.  V
)  C_  ( X  X.  Y ) )
125, 10, 11syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  ( U  X.  V )  C_  ( X  X.  Y ) )
133, 8txuni 17287 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )
14133ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( R  tX  S ) )
15 exopcopn.1 . . . . 5  |-  T  =  ( R  tX  S
)
1615unieqi 3837 . . . 4  |-  U. T  =  U. ( R  tX  S )
1714, 16syl6eqr 2333 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  ( X  X.  Y )  =  U. T )
1812, 17sseqtrd 3214 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  ( U  X.  V )  C_  U. T
)
193isneip 16842 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  <->  ( U  C_  X  /\  E. p  e.  R  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) ) ) )
2019ad2ant2r 727 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( U  e.  ( ( nei `  R ) `  { A } )  <->  ( U  C_  X  /\  E. p  e.  R  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) ) ) )
218isneip 16842 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Top  /\  B  e.  Y )  ->  ( V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } )  <->  ( V  C_  Y  /\  E. q  e.  S  ( B  e.  q  /\  q  C_  V ) ) ) )
2221ad2ant2l 726 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )  ->  ( V  e.  ( ( nei `  S ) `  { B } )  <->  ( V  C_  Y  /\  E. q  e.  S  ( B  e.  q  /\  q  C_  V ) ) ) )
2320, 22anbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
) )  ->  (
( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) )  <->  ( ( U  C_  X  /\  E. p  e.  R  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  /\  ( V  C_  Y  /\  E. q  e.  S  ( B  e.  q  /\  q  C_  V ) ) ) ) )
2423biimp3a 1281 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  ( ( U 
C_  X  /\  E. p  e.  R  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  /\  ( V  C_  Y  /\  E. q  e.  S  ( B  e.  q  /\  q  C_  V ) ) ) )
25 simp31 991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y )  /\  p  e.  R  /\  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  /\  U  C_  X  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) ) )  ->  ( R  e.  Top  /\  S  e. 
Top ) )
26 simp12 986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y )  /\  p  e.  R  /\  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  /\  U  C_  X  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) ) )  ->  p  e.  R )
27 simp111 1084 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y )  /\  p  e.  R  /\  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  /\  U  C_  X  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) ) )  ->  q  e.  S )
28 txopn 17297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( p  e.  R  /\  q  e.  S
) )  ->  (
p  X.  q )  e.  ( R  tX  S ) )
2925, 26, 27, 28syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y )  /\  p  e.  R  /\  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  /\  U  C_  X  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) ) )  ->  ( p  X.  q )  e.  ( R  tX  S ) )
3029, 15syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y )  /\  p  e.  R  /\  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  /\  U  C_  X  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) ) )  ->  ( p  X.  q )  e.  T
)
31 simp13l 1070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y )  /\  p  e.  R  /\  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  /\  U  C_  X  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) ) )  ->  A  e.  p )
32 simp12l 1068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V
)  /\  V  C_  Y
)  /\  p  e.  R  /\  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  ->  B  e.  q )
33323ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y )  /\  p  e.  R  /\  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  /\  U  C_  X  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) ) )  ->  B  e.  q )
34 opelxpi 4721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  p  /\  B  e.  q )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( p  X.  q
) )
3531, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y )  /\  p  e.  R  /\  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  /\  U  C_  X  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) ) )  ->  <. A ,  B >.  e.  ( p  X.  q ) )
36 simp13r 1071 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y )  /\  p  e.  R  /\  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  /\  U  C_  X  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) ) )  ->  p  C_  U
)
37 simp12r 1069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V
)  /\  V  C_  Y
)  /\  p  e.  R  /\  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  -> 
q  C_  V )
38373ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y )  /\  p  e.  R  /\  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  /\  U  C_  X  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) ) )  ->  q  C_  V )
39 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  C_  U  /\  q  C_  V )  -> 
( p  X.  q
)  C_  ( U  X.  V ) )
4036, 38, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y )  /\  p  e.  R  /\  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  /\  U  C_  X  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) ) )  ->  ( p  X.  q )  C_  ( U  X.  V ) )
41 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  =  ( p  X.  q )  ->  ( <. A ,  B >.  e.  o  <->  <. A ,  B >.  e.  ( p  X.  q ) ) )
42 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( o  =  ( p  X.  q )  ->  (
o  C_  ( U  X.  V )  <->  ( p  X.  q )  C_  ( U  X.  V ) ) )
4341, 42anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( o  =  ( p  X.  q )  ->  (
( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V
) )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( p  X.  q )  /\  ( p  X.  q )  C_  ( U  X.  V ) ) ) )
4443rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p  X.  q
)  e.  T  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( p  X.  q )  /\  (
p  X.  q ) 
C_  ( U  X.  V ) ) )  ->  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V
) ) )
4530, 35, 40, 44syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y )  /\  p  e.  R  /\  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  /\  U  C_  X  /\  ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) ) )  ->  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V ) ) )
46453exp 1150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V
)  /\  V  C_  Y
)  /\  p  e.  R  /\  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  -> 
( U  C_  X  ->  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V
) ) ) ) )
47463exp 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y
)  ->  ( p  e.  R  ->  ( ( A  e.  p  /\  p  C_  U )  -> 
( U  C_  X  ->  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V
) ) ) ) ) ) )
4847com4l 78 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  R  ->  (
( A  e.  p  /\  p  C_  U )  ->  ( U  C_  X  ->  ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y )  -> 
( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V
) ) ) ) ) ) )
4948rexlimiv 2661 . . . . . . . . 9  |-  ( E. p  e.  R  ( A  e.  p  /\  p  C_  U )  -> 
( U  C_  X  ->  ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y )  ->  (
( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V
) ) ) ) ) )
5049impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  C_  X  /\  E. p  e.  R  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  ->  ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y )  -> 
( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V
) ) ) ) )
5150com12 27 . . . . . . 7  |-  ( ( q  e.  S  /\  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  /\  V  C_  Y
)  ->  ( ( U  C_  X  /\  E. p  e.  R  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  ->  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V
) ) ) ) )
52513exp 1150 . . . . . 6  |-  ( q  e.  S  ->  (
( B  e.  q  /\  q  C_  V
)  ->  ( V  C_  Y  ->  ( ( U  C_  X  /\  E. p  e.  R  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  ->  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V
) ) ) ) ) ) )
5352rexlimiv 2661 . . . . 5  |-  ( E. q  e.  S  ( B  e.  q  /\  q  C_  V )  -> 
( V  C_  Y  ->  ( ( U  C_  X  /\  E. p  e.  R  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  -> 
( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V
) ) ) ) ) )
5453impcom 419 . . . 4  |-  ( ( V  C_  Y  /\  E. q  e.  S  ( B  e.  q  /\  q  C_  V ) )  ->  ( ( U 
C_  X  /\  E. p  e.  R  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  ->  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V
) ) ) ) )
5554impcom 419 . . 3  |-  ( ( ( U  C_  X  /\  E. p  e.  R  ( A  e.  p  /\  p  C_  U ) )  /\  ( V 
C_  Y  /\  E. q  e.  S  ( B  e.  q  /\  q  C_  V ) ) )  ->  ( (
( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V
) ) ) )
5624, 55mpcom 32 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V
) ) )
57 txtop 17264 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  tX  S
)  e.  Top )
58573ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  ( R  tX  S )  e.  Top )
5915, 58syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  T  e.  Top )
60 opelxpi 4721 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  Y )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( X  X.  Y
) )
61603ad2ant2 977 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  <. A ,  B >.  e.  ( X  X.  Y ) )
6261, 17eleqtrd 2359 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
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) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  <. A ,  B >.  e.  U. T )
63 eqid 2283 . . . 4  |-  U. T  =  U. T
6463isneip 16842 . . 3  |-  ( ( T  e.  Top  /\  <. A ,  B >.  e. 
U. T )  -> 
( ( U  X.  V )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } )  <->  ( ( U  X.  V )  C_  U. T  /\  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V ) ) ) ) )
6559, 62, 64syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
) `  { B } ) ) )  ->  ( ( U  X.  V )  e.  ( ( nei `  T
) `  { <. A ,  B >. } )  <->  ( ( U  X.  V )  C_  U. T  /\  E. o  e.  T  ( <. A ,  B >.  e.  o  /\  o  C_  ( U  X.  V ) ) ) ) )
6618, 56, 65mpbir2and 888 1  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  Y
)  /\  ( U  e.  ( ( nei `  R
) `  { A } )  /\  V  e.  ( ( nei `  S
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) `  { <. A ,  B >. } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    C_ wss 3152   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827    X. cxp 4687   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631   neicnei 16834    tX ctx 17255
This theorem is referenced by:  limptlimpr2lem1  25574
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-nei 16835  df-tx 17257
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