MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdom2 Unicode version

Theorem prdom2 7636
Description: An unordered pair has at most two elements. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
prdom2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A ,  B }  ~<_  2o )

Proof of Theorem prdom2
StepHypRef Expression
1 dfsn2 3654 . . . . . 6  |-  { A }  =  { A ,  A }
2 ensn1g 6926 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~~  1o )
3 endom 6888 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  ~~  1o  ->  { A }  ~<_  1o )
4 1sdom2 7061 . . . . . . . 8  |-  1o  ~<  2o
5 domsdomtr 6996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A }  ~<_  1o  /\  1o  ~<  2o )  ->  { A }  ~<  2o )
6 sdomdom 6889 . . . . . . . . 9  |-  ( { A }  ~<  2o  ->  { A }  ~<_  2o )
75, 6syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  ~<_  1o  /\  1o  ~<  2o )  ->  { A }  ~<_  2o )
83, 4, 7sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( { A }  ~~  1o  ->  { A }  ~<_  2o )
92, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~<_  2o )
101, 9syl5eqbrr 4057 . . . . 5  |-  ( A  e.  C  ->  { A ,  A }  ~<_  2o )
11 preq2 3707 . . . . . 6  |-  ( B  =  A  ->  { A ,  B }  =  { A ,  A }
)
1211breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( B  =  A  ->  ( { A ,  B }  ~<_  2o 
<->  { A ,  A }  ~<_  2o ) )
1310, 12syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( B  =  A  ->  ( A  e.  C  ->  { A ,  B }  ~<_  2o ) )
1413eqcoms 2286 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A  e.  C  ->  { A ,  B }  ~<_  2o ) )
1514adantrd 454 . 2  |-  ( A  =  B  ->  (
( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  ->  { A ,  B }  ~<_  2o ) )
16 pr2ne 7635 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  <->  A  =/=  B ) )
1716biimprd 214 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  =/=  B  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
18 endom 6888 . . 3  |-  ( { A ,  B }  ~~  2o  ->  { A ,  B }  ~<_  2o )
1917, 18syl6com 31 . 2  |-  ( A  =/=  B  ->  (
( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  ->  { A ,  B }  ~<_  2o ) )
2015, 19pm2.61ine 2522 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A ,  B }  ~<_  2o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   {csn 3640   {cpr 3641   class class class wbr 4023   1oc1o 6472   2oc2o 6473    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-2o 6480  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866
  Copyright terms: Public domain W3C validator