MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdom2 Structured version   Unicode version

Theorem prdom2 7890
Description: An unordered pair has at most two elements. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
prdom2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A ,  B }  ~<_  2o )

Proof of Theorem prdom2
StepHypRef Expression
1 dfsn2 3828 . . . . . 6  |-  { A }  =  { A ,  A }
2 ensn1g 7172 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~~  1o )
3 endom 7134 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  ~~  1o  ->  { A }  ~<_  1o )
4 1sdom2 7307 . . . . . . . 8  |-  1o  ~<  2o
5 domsdomtr 7242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A }  ~<_  1o  /\  1o  ~<  2o )  ->  { A }  ~<  2o )
6 sdomdom 7135 . . . . . . . . 9  |-  ( { A }  ~<  2o  ->  { A }  ~<_  2o )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  ~<_  1o  /\  1o  ~<  2o )  ->  { A }  ~<_  2o )
83, 4, 7sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( { A }  ~~  1o  ->  { A }  ~<_  2o )
92, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~<_  2o )
101, 9syl5eqbrr 4246 . . . . 5  |-  ( A  e.  C  ->  { A ,  A }  ~<_  2o )
11 preq2 3884 . . . . . 6  |-  ( B  =  A  ->  { A ,  B }  =  { A ,  A }
)
1211breq1d 4222 . . . . 5  |-  ( B  =  A  ->  ( { A ,  B }  ~<_  2o 
<->  { A ,  A }  ~<_  2o ) )
1310, 12syl5ibr 213 . . . 4  |-  ( B  =  A  ->  ( A  e.  C  ->  { A ,  B }  ~<_  2o ) )
1413eqcoms 2439 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A  e.  C  ->  { A ,  B }  ~<_  2o ) )
1514adantrd 455 . 2  |-  ( A  =  B  ->  (
( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  ->  { A ,  B }  ~<_  2o ) )
16 pr2ne 7889 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  <->  A  =/=  B ) )
1716biimprd 215 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  =/=  B  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
18 endom 7134 . . 3  |-  ( { A ,  B }  ~~  2o  ->  { A ,  B }  ~<_  2o )
1917, 18syl6com 33 . 2  |-  ( A  =/=  B  ->  (
( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  ->  { A ,  B }  ~<_  2o ) )
2015, 19pm2.61ine 2680 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A ,  B }  ~<_  2o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   {csn 3814   {cpr 3815   class class class wbr 4212   1oc1o 6717   2oc2o 6718    ~~ cen 7106    ~<_ cdom 7107    ~< csdm 7108
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-1o 6724  df-2o 6725  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112
  Copyright terms: Public domain W3C validator