MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdom2 Unicode version

Theorem prdom2 7681
Description: An unordered pair has at most two elements. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
prdom2  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A ,  B }  ~<_  2o )

Proof of Theorem prdom2
StepHypRef Expression
1 dfsn2 3688 . . . . . 6  |-  { A }  =  { A ,  A }
2 ensn1g 6969 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~~  1o )
3 endom 6931 . . . . . . . 8  |-  ( { A }  ~~  1o  ->  { A }  ~<_  1o )
4 1sdom2 7104 . . . . . . . 8  |-  1o  ~<  2o
5 domsdomtr 7039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { A }  ~<_  1o  /\  1o  ~<  2o )  ->  { A }  ~<  2o )
6 sdomdom 6932 . . . . . . . . 9  |-  ( { A }  ~<  2o  ->  { A }  ~<_  2o )
75, 6syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( { A }  ~<_  1o  /\  1o  ~<  2o )  ->  { A }  ~<_  2o )
83, 4, 7sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( { A }  ~~  1o  ->  { A }  ~<_  2o )
92, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~<_  2o )
101, 9syl5eqbrr 4094 . . . . 5  |-  ( A  e.  C  ->  { A ,  A }  ~<_  2o )
11 preq2 3741 . . . . . 6  |-  ( B  =  A  ->  { A ,  B }  =  { A ,  A }
)
1211breq1d 4070 . . . . 5  |-  ( B  =  A  ->  ( { A ,  B }  ~<_  2o 
<->  { A ,  A }  ~<_  2o ) )
1310, 12syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( B  =  A  ->  ( A  e.  C  ->  { A ,  B }  ~<_  2o ) )
1413eqcoms 2319 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( A  e.  C  ->  { A ,  B }  ~<_  2o ) )
1514adantrd 454 . 2  |-  ( A  =  B  ->  (
( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  ->  { A ,  B }  ~<_  2o ) )
16 pr2ne 7680 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( { A ,  B }  ~~  2o  <->  A  =/=  B ) )
1716biimprd 214 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( A  =/=  B  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
18 endom 6931 . . 3  |-  ( { A ,  B }  ~~  2o  ->  { A ,  B }  ~<_  2o )
1917, 18syl6com 31 . 2  |-  ( A  =/=  B  ->  (
( A  e.  C  /\  B  e.  D
)  ->  { A ,  B }  ~<_  2o ) )
2015, 19pm2.61ine 2555 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  { A ,  B }  ~<_  2o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   {csn 3674   {cpr 3675   class class class wbr 4060   1oc1o 6514   2oc2o 6515    ~~ cen 6903    ~<_ cdom 6904    ~< csdm 6905
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-1o 6521  df-2o 6522  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909
  Copyright terms: Public domain W3C validator