MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prds0g Unicode version

Theorem prds0g 14684
Description: Zero in a product of monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsmndd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsmndd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsmndd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsmndd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
Assertion
Ref Expression
prds0g  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( 0g
`  Y ) )

Proof of Theorem prds0g
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsmndd.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
3 eqid 2404 . . . 4  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
4 prdsmndd.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 elex 2924 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
7 prdsmndd.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
8 elex 2924 . . . . 5  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
10 prdsmndd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
11 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 0g  o.  R )  =  ( 0g  o.  R
)
121, 2, 3, 6, 9, 10, 11prdsidlem 14682 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 0g  o.  R )  e.  (
Base `  Y )  /\  A. b  e.  (
Base `  Y )
( ( ( 0g  o.  R ) ( +g  `  Y ) b )  =  b  /\  ( b ( +g  `  Y ) ( 0g  o.  R
) )  =  b ) ) )
13 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
141, 7, 4, 10prdsmndd 14683 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
152, 3mndid 14652 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Mnd  ->  E. a  e.  ( Base `  Y
) A. b  e.  ( Base `  Y
) ( ( a ( +g  `  Y
) b )  =  b  /\  ( b ( +g  `  Y
) a )  =  b ) )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  e.  (
Base `  Y ) A. b  e.  ( Base `  Y ) ( ( a ( +g  `  Y ) b )  =  b  /\  (
b ( +g  `  Y
) a )  =  b ) )
172, 13, 3, 16ismgmid 14665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( 0g  o.  R )  e.  ( Base `  Y
)  /\  A. b  e.  ( Base `  Y
) ( ( ( 0g  o.  R ) ( +g  `  Y
) b )  =  b  /\  ( b ( +g  `  Y
) ( 0g  o.  R ) )  =  b ) )  <->  ( 0g `  Y )  =  ( 0g  o.  R ) ) )
1812, 17mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g `  Y
)  =  ( 0g  o.  R ) )
1918eqcomd 2409 1  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( 0g
`  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   X_scprds 13624   0gc0g 13678   Mndcmnd 14639
This theorem is referenced by:  pws0g  14686  prdspjmhm  14721  prdsgrpd  14882  prdsinvgd  14883  prds1  15675  dsmm0cl  27074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-0g 13682  df-mnd 14645
  Copyright terms: Public domain W3C validator