MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prds1 Structured version   Unicode version

Theorem prds1 15722
Description: Value of the ring unit in a structure family product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prds1.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prds1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prds1.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prds1.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
Assertion
Ref Expression
prds1  |-  ( ph  ->  ( 1r  o.  R
)  =  ( 1r
`  Y ) )

Proof of Theorem prds1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
)  =  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
)
2 prds1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prds1.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 mgpf 15677 . . . . 5  |-  (mulGrp  |`  Ring ) : Ring --> Mnd
5 prds1.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
6 fco2 5603 . . . . 5  |-  ( ( (mulGrp  |`  Ring ) : Ring --> Mnd 
/\  R : I -->
Ring )  ->  (mulGrp  o.  R ) : I --> Mnd )
74, 5, 6sylancr 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  (mulGrp  o.  R ) : I --> Mnd )
81, 2, 3, 7prds0g 14731 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  (mulGrp  o.  R ) )  =  ( 0g `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
9 eqidd 2439 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  (mulGrp `  Y ) ) )
10 prds1.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
11 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
12 ffn 5593 . . . . . . 7  |-  ( R : I --> Ring  ->  R  Fn  I )
135, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
1410, 11, 1, 2, 3, 13prdsmgp 15718 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) )  /\  ( +g  `  (mulGrp `  Y
) )  =  ( +g  `  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
) ) ) )
1514simpld 447 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
1614simprd 451 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( +g  `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( +g  `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
1716proplem3 13918 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  /\  y  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y )
) ) )  -> 
( x ( +g  `  (mulGrp `  Y )
) y )  =  ( x ( +g  `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) y ) )
189, 15, 17grpidpropd 14724 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( 0g `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
198, 18eqtr4d 2473 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  (mulGrp  o.  R ) )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Y ) ) )
20 df-ur 15667 . . . 4  |-  1r  =  ( 0g  o. mulGrp )
2120coeq1i 5034 . . 3  |-  ( 1r  o.  R )  =  ( ( 0g  o. mulGrp )  o.  R )
22 coass 5390 . . 3  |-  ( ( 0g  o. mulGrp )  o.  R
)  =  ( 0g  o.  (mulGrp  o.  R
) )
2321, 22eqtri 2458 . 2  |-  ( 1r  o.  R )  =  ( 0g  o.  (mulGrp  o.  R ) )
24 eqid 2438 . . 3  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
2511, 24rngidval 15668 . 2  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Y ) )
2619, 23, 253eqtr4g 2495 1  |-  ( ph  ->  ( 1r  o.  R
)  =  ( 1r
`  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    |` cres 4882    o. ccom 4884    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   X_scprds 13671   0gc0g 13725   Mndcmnd 14686  mulGrpcmgp 15650   Ringcrg 15662   1rcur 15664
This theorem is referenced by:  pws1  15724
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667
  Copyright terms: Public domain W3C validator