MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prds1 Unicode version

Theorem prds1 15446
Description: Value of the ring unit in a structure family product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prds1.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prds1.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prds1.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prds1.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
Assertion
Ref Expression
prds1  |-  ( ph  ->  ( 1r  o.  R
)  =  ( 1r
`  Y ) )

Proof of Theorem prds1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2316 . . . 4  |-  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
)  =  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
)
2 prds1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prds1.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 mgpf 15401 . . . . 5  |-  (mulGrp  |`  Ring ) : Ring --> Mnd
5 prds1.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : I --> Ring )
6 fco2 5437 . . . . 5  |-  ( ( (mulGrp  |`  Ring ) : Ring --> Mnd 
/\  R : I -->
Ring )  ->  (mulGrp  o.  R ) : I --> Mnd )
74, 5, 6sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  (mulGrp  o.  R ) : I --> Mnd )
81, 2, 3, 7prds0g 14455 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  (mulGrp  o.  R ) )  =  ( 0g `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
9 eqidd 2317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  (mulGrp `  Y ) ) )
10 prds1.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
11 eqid 2316 . . . . . 6  |-  (mulGrp `  Y )  =  (mulGrp `  Y )
12 ffn 5427 . . . . . . 7  |-  ( R : I --> Ring  ->  R  Fn  I )
135, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
1410, 11, 1, 2, 3, 13prdsmgp 15442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) )  /\  ( +g  `  (mulGrp `  Y
) )  =  ( +g  `  ( S
X_s (mulGrp  o.  R )
) ) ) )
1514simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( Base `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
1614simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( +g  `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( +g  `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
1716proplem3 13642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y ) )  /\  y  e.  ( Base `  (mulGrp `  Y )
) ) )  -> 
( x ( +g  `  (mulGrp `  Y )
) y )  =  ( x ( +g  `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) y ) )
189, 15, 17grpidpropd 14448 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  (mulGrp `  Y ) )  =  ( 0g `  ( S X_s (mulGrp  o.  R )
) ) )
198, 18eqtr4d 2351 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  (mulGrp  o.  R ) )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Y ) ) )
20 df-ur 15391 . . . 4  |-  1r  =  ( 0g  o. mulGrp )
2120coeq1i 4880 . . 3  |-  ( 1r  o.  R )  =  ( ( 0g  o. mulGrp )  o.  R )
22 coass 5228 . . 3  |-  ( ( 0g  o. mulGrp )  o.  R
)  =  ( 0g  o.  (mulGrp  o.  R
) )
2321, 22eqtri 2336 . 2  |-  ( 1r  o.  R )  =  ( 0g  o.  (mulGrp  o.  R ) )
24 eqid 2316 . . 3  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
2511, 24rngidval 15392 . 2  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Y ) )
2619, 23, 253eqtr4g 2373 1  |-  ( ph  ->  ( 1r  o.  R
)  =  ( 1r
`  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    |` cres 4728    o. ccom 4730    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   +g cplusg 13255   X_scprds 13395   0gc0g 13449   Mndcmnd 14410  mulGrpcmgp 15374   Ringcrg 15386   1rcur 15388
This theorem is referenced by:  pws1  15448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-fz 10830  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-hom 13279  df-cco 13280  df-prds 13397  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391
  Copyright terms: Public domain W3C validator