MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsabld Unicode version

Theorem prdsabld 15440
Description: The product of a family of Abelian groups is an Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdscmnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdscmnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdscmnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsgabld.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Abel )
Assertion
Ref Expression
prdsabld  |-  ( ph  ->  Y  e.  Abel )

Proof of Theorem prdsabld
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdscmnd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdscmnd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prdscmnd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsgabld.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Abel )
5 ablgrp 15380 . . . . 5  |-  ( a  e.  Abel  ->  a  e. 
Grp )
65ssriv 3320 . . . 4  |-  Abel  C_  Grp
7 fss 5566 . . . 4  |-  ( ( R : I --> Abel  /\  Abel  C_ 
Grp )  ->  R : I --> Grp )
84, 6, 7sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
91, 2, 3, 8prdsgrpd 14890 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
10 ablcmn 15381 . . . . 5  |-  ( a  e.  Abel  ->  a  e. CMnd
)
1110ssriv 3320 . . . 4  |-  Abel  C_ CMnd
12 fss 5566 . . . 4  |-  ( ( R : I --> Abel  /\  Abel  C_ CMnd
)  ->  R :
I -->CMnd )
134, 11, 12sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I -->CMnd )
141, 2, 3, 13prdscmnd 15439 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e. CMnd )
15 isabl 15379 . 2  |-  ( Y  e.  Abel  <->  ( Y  e. 
Grp  /\  Y  e. CMnd ) )
169, 14, 15sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  Abel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   -->wf 5417  (class class class)co 6048   X_scprds 13632   Grpcgrp 14648  CMndccmn 15375   Abelcabel 15376
This theorem is referenced by:  pwsabl  15442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-hom 13516  df-cco 13517  df-prds 13634  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-cmn 15377  df-abl 15378
  Copyright terms: Public domain W3C validator