MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsabld Structured version   Unicode version

Theorem prdsabld 15508
Description: The product of a family of Abelian groups is an Abelian group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdscmnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdscmnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdscmnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsgabld.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Abel )
Assertion
Ref Expression
prdsabld  |-  ( ph  ->  Y  e.  Abel )

Proof of Theorem prdsabld
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdscmnd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdscmnd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 prdscmnd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsgabld.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Abel )
5 ablgrp 15448 . . . . 5  |-  ( a  e.  Abel  ->  a  e. 
Grp )
65ssriv 3338 . . . 4  |-  Abel  C_  Grp
7 fss 5628 . . . 4  |-  ( ( R : I --> Abel  /\  Abel  C_ 
Grp )  ->  R : I --> Grp )
84, 6, 7sylancl 645 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
91, 2, 3, 8prdsgrpd 14958 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
10 ablcmn 15449 . . . . 5  |-  ( a  e.  Abel  ->  a  e. CMnd
)
1110ssriv 3338 . . . 4  |-  Abel  C_ CMnd
12 fss 5628 . . . 4  |-  ( ( R : I --> Abel  /\  Abel  C_ CMnd
)  ->  R :
I -->CMnd )
134, 11, 12sylancl 645 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I -->CMnd )
141, 2, 3, 13prdscmnd 15507 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e. CMnd )
15 isabl 15447 . 2  |-  ( Y  e.  Abel  <->  ( Y  e. 
Grp  /\  Y  e. CMnd ) )
169, 14, 15sylanbrc 647 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  Abel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727    C_ wss 3306   -->wf 5479  (class class class)co 6110   X_scprds 13700   Grpcgrp 14716  CMndccmn 15443   Abelcabel 15444
This theorem is referenced by:  pwsabl  15510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-hom 13584  df-cco 13585  df-prds 13702  df-0g 13758  df-mnd 14721  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-cmn 15445  df-abl 15446
  Copyright terms: Public domain W3C validator