MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbas2 Unicode version

Theorem prdsbas2 13611
Description: The base set of a structure product is an indexed set product. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbasmpt.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
Assertion
Ref Expression
prdsbas2  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, B    ph, x    x, I    x, V    x, R    x, S    x, W    x, Y

Proof of Theorem prdsbas2
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . 2  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsbasmpt.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
3 prdsbasmpt.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
4 prdsbasmpt.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 fnex 5893 . . 3  |-  ( ( R  Fn  I  /\  I  e.  W )  ->  R  e.  _V )
63, 4, 5syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
7 prdsbasmpt.b . 2  |-  B  =  ( Base `  Y
)
8 fndm 5477 . . 3  |-  ( R  Fn  I  ->  dom  R  =  I )
93, 8syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
101, 2, 6, 7, 9prdsbas 13600 1  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892   dom cdm 4811    Fn wfn 5382   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   X_cixp 6992   Basecbs 13389   X_scprds 13589
This theorem is referenced by:  prdsbasmpt  13612  prdsbasfn  13613  prdsbasprj  13614  prdsbas3  13623  xpslem  13718  prdsmgp  15636  prdstopn  17574  prdsxmslem2  18442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-fz 10969  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-hom 13473  df-cco 13474  df-prds 13591
  Copyright terms: Public domain W3C validator