MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbas3 Structured version   Unicode version

Theorem prdsbas3 13734
Description: The base set of an indexed structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt2.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsbasmpt2.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt2.r  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  X )
prdsbasmpt2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
prdsbas3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  K )
Distinct variable group:    x, I
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)    R( x)    S( x)    K( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)

Proof of Theorem prdsbas3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt2.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 prdsbasmpt2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsbasmpt2.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsbasmpt2.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 prdsbasmpt2.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  X )
6 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( x  e.  I  |->  R )
76fnmpt 5600 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  X  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I
)
91, 2, 3, 4, 8prdsbas2 13722 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ y  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) )
10 nfcv 2578 . . . . 5  |-  F/_ x Base
11 nffvmpt1 5765 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  R ) `  y )
1210, 11nffv 5764 . . . 4  |-  F/_ x
( Base `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  y ) )
13 nfcv 2578 . . . 4  |-  F/_ y
( Base `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  x ) )
14 fveq2 5757 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
)  =  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x ) )
1514fveq2d 5761 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `
 y ) )  =  ( Base `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  x
) ) )
1612, 13, 15cbvixp 7108 . . 3  |-  X_ y  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) )  = 
X_ x  e.  I 
( Base `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  x ) )
179, 16syl6eq 2490 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x ) ) )
186fvmpt2 5841 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  I  /\  R  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x )  =  R )
1918fveq2d 5761 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  I  /\  R  e.  X )  ->  ( Base `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  x
) )  =  (
Base `  R )
)
20 prdsbasmpt2.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
2119, 20syl6eqr 2492 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  /\  R  e.  X )  ->  ( Base `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  x
) )  =  K )
2221ralimiaa 2786 . . 3  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  X  ->  A. x  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x ) )  =  K )
23 ixpeq2 7105 . . 3  |-  ( A. x  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `
 x ) )  =  K  ->  X_ x  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x ) )  = 
X_ x  e.  I  K )
245, 22, 233syl 19 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( Base `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  x ) )  =  X_ x  e.  I  K )
2517, 24eqtrd 2474 1  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711    e. cmpt 4291    Fn wfn 5478   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   X_cixp 7092   Basecbs 13500   X_scprds 13700
This theorem is referenced by:  prdsbasmpt2  13735  ressprdsds  18432  prdsbl  18552  prdsbnd2  26542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-hom 13584  df-cco 13585  df-prds 13702
  Copyright terms: Public domain W3C validator