MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbas3 Unicode version

Theorem prdsbas3 13691
Description: The base set of an indexed structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt2.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsbasmpt2.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt2.r  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  X )
prdsbasmpt2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
prdsbas3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  K )
Distinct variable group:    x, I
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)    R( x)    S( x)    K( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)

Proof of Theorem prdsbas3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt2.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 prdsbasmpt2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsbasmpt2.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsbasmpt2.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 prdsbasmpt2.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  X )
6 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( x  e.  I  |->  R )
76fnmpt 5562 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  X  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I )
85, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I
)
91, 2, 3, 4, 8prdsbas2 13679 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ y  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) )
10 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ x Base
11 nffvmpt1 5727 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  R ) `  y )
1210, 11nffv 5726 . . . 4  |-  F/_ x
( Base `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  y ) )
13 nfcv 2571 . . . 4  |-  F/_ y
( Base `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  x ) )
14 fveq2 5719 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
)  =  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x ) )
1514fveq2d 5723 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `
 y ) )  =  ( Base `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  x
) ) )
1612, 13, 15cbvixp 7070 . . 3  |-  X_ y  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) )  = 
X_ x  e.  I 
( Base `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  x ) )
179, 16syl6eq 2483 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x ) ) )
186fvmpt2 5803 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  I  /\  R  e.  X )  ->  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x )  =  R )
1918fveq2d 5723 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  I  /\  R  e.  X )  ->  ( Base `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  x
) )  =  (
Base `  R )
)
20 prdsbasmpt2.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
2119, 20syl6eqr 2485 . . . 4  |-  ( ( x  e.  I  /\  R  e.  X )  ->  ( Base `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  x
) )  =  K )
2221ralimiaa 2772 . . 3  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  X  ->  A. x  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x ) )  =  K )
23 ixpeq2 7067 . . 3  |-  ( A. x  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `
 x ) )  =  K  ->  X_ x  e.  I  ( Base `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x ) )  = 
X_ x  e.  I  K )
245, 22, 233syl 19 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( Base `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  x ) )  =  X_ x  e.  I  K )
2517, 24eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    e. cmpt 4258    Fn wfn 5440   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   X_cixp 7054   Basecbs 13457   X_scprds 13657
This theorem is referenced by:  prdsbasmpt2  13692  ressprdsds  18389  prdsbl  18509  prdsbnd2  26441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-fz 11033  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-hom 13541  df-cco 13542  df-prds 13659
  Copyright terms: Public domain W3C validator