MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbascl Unicode version

Theorem prdsbascl 13398
Description: An element of the base has projections closed in the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt2.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsbasmpt2.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt2.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt2.r  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  X )
prdsbasmpt2.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
prdsbascl.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
Assertion
Ref Expression
prdsbascl  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( F `  x
)  e.  K )
Distinct variable groups:    x, F    x, I
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)    R( x)    S( x)    K( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)

Proof of Theorem prdsbascl
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt2.y . . . . 5  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 prdsbasmpt2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsbasmpt2.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4 prdsbasmpt2.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 prdsbasmpt2.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  X )
6 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( x  e.  I  |->  R )
76fnmpt 5386 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  X  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I )
85, 7syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I
)
9 prdsbascl.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
101, 2, 3, 4, 8, 9prdsbasfn 13386 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  I )
11 dffn5 5584 . . . 4  |-  ( F  Fn  I  <->  F  =  ( x  e.  I  |->  ( F `  x
) ) )
1210, 11sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  I  |->  ( F `
 x ) ) )
1312, 9eqeltrrd 2371 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( F `  x
) )  e.  B
)
14 prdsbasmpt2.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
151, 2, 3, 4, 5, 14prdsbasmpt2 13397 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( F `  x ) )  e.  B  <->  A. x  e.  I 
( F `  x
)  e.  K ) )
1613, 15mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( F `  x
)  e.  K )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    e. cmpt 4093    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   X_scprds 13362
This theorem is referenced by:  prdsdsval3  13400  prdsdsf  17947  prdsxmetlem  17948  prdsmet  17950  prdsbl  18053  prdsxmslem2  18091  prdsbnd  26620  prdsbnd2  26622  rrnequiv  26662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364
  Copyright terms: Public domain W3C validator