MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbasprj Unicode version

Theorem prdsbasprj 13371
Description: Each point in a structure product restricts on each coordinate to the relevant base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbasmpt.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbasmpt.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbasmpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsbasmpt.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsbasmpt.t  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
prdsbasprj.j  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
Assertion
Ref Expression
prdsbasprj  |-  ( ph  ->  ( T `  J
)  e.  ( Base `  ( R `  J
) ) )

Proof of Theorem prdsbasprj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasprj.j . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
2 prdsbasmpt.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  B )
3 prdsbasmpt.y . . . . 5  |-  Y  =  ( S X_s R )
4 prdsbasmpt.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
5 prdsbasmpt.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
6 prdsbasmpt.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
7 prdsbasmpt.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
83, 4, 5, 6, 7prdsbas2 13368 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
92, 8eleqtrd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
10 elixp2 6820 . . . 4  |-  ( T  e.  X_ x  e.  I 
( Base `  ( R `  x ) )  <->  ( T  e.  _V  /\  T  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( T `  x )  e.  (
Base `  ( R `  x ) ) ) )
1110simp3bi 972 . . 3  |-  ( T  e.  X_ x  e.  I 
( Base `  ( R `  x ) )  ->  A. x  e.  I 
( T `  x
)  e.  ( Base `  ( R `  x
) ) )
129, 11syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( T `  x
)  e.  ( Base `  ( R `  x
) ) )
13 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( x  =  J  ->  ( T `  x )  =  ( T `  J ) )
14 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  J  ->  ( R `  x )  =  ( R `  J ) )
1514fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( x  =  J  ->  ( Base `  ( R `  x ) )  =  ( Base `  ( R `  J )
) )
1613, 15eleq12d 2351 . . 3  |-  ( x  =  J  ->  (
( T `  x
)  e.  ( Base `  ( R `  x
) )  <->  ( T `  J )  e.  (
Base `  ( R `  J ) ) ) )
1716rspcva 2882 . 2  |-  ( ( J  e.  I  /\  A. x  e.  I  ( T `  x )  e.  ( Base `  ( R `  x )
) )  ->  ( T `  J )  e.  ( Base `  ( R `  J )
) )
181, 12, 17syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( T `  J
)  e.  ( Base `  ( R `  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   X_cixp 6817   Basecbs 13148   X_scprds 13346
This theorem is referenced by:  prdsplusgcl  14403  prdsidlem  14404  prdsmndd  14405  prdspjmhm  14443  prdsinvlem  14603  prdscmnd  15153  prdsmulrcl  15394  prdsrngd  15395  prdsvscacl  15725  prdslmodd  15726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348
  Copyright terms: Public domain W3C validator