Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbl Structured version   Unicode version

Theorem prdsbl 18523
 Description: A ball in the product metric for finite index set is the Cartesian product of balls in all coordinates. For infinite index set this is no longer true; instead the correct statement is that a *closed ball* is the product of closed balls in each coordinate (where closed ball means a set of the form in blcld 18537) - for a counterexample the point in whose -th coordinate is is in but is not in the -ball of the product (since ). The last assumption, , is needed only in the case , when the right side evaluates to and the left evaluates to if and if . (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbl.y s
prdsbl.b
prdsbl.v
prdsbl.e
prdsbl.d
prdsbl.s
prdsbl.i
prdsbl.r
prdsbl.m
prdsbl.p
prdsbl.a
prdsbl.g
Assertion
Ref Expression
prdsbl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsbl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbl.y . . . . . . . . 9 s
2 prdsbl.b . . . . . . . . 9
3 prdsbl.s . . . . . . . . 9
4 prdsbl.i . . . . . . . . 9
5 prdsbl.r . . . . . . . . . 10
65ralrimiva 2791 . . . . . . . . 9
7 prdsbl.v . . . . . . . . 9
81, 2, 3, 4, 6, 7prdsbas3 13705 . . . . . . . 8
98eleq2d 2505 . . . . . . 7
109biimpa 472 . . . . . 6
11 ixpfn 7070 . . . . . 6
12 vex 2961 . . . . . . . 8
1312elixp 7071 . . . . . . 7
1413baib 873 . . . . . 6
1510, 11, 143syl 19 . . . . 5
16 prdsbl.m . . . . . . . 8
1716adantlr 697 . . . . . . 7
18 prdsbl.a . . . . . . . 8
1918ad2antrr 708 . . . . . . 7
20 prdsbl.p . . . . . . . . . 10
211, 2, 3, 4, 6, 7, 20prdsbascl 13707 . . . . . . . . 9
2221adantr 453 . . . . . . . 8
2322r19.21bi 2806 . . . . . . 7
243adantr 453 . . . . . . . . 9
254adantr 453 . . . . . . . . 9
266adantr 453 . . . . . . . . 9
27 simpr 449 . . . . . . . . 9
281, 2, 24, 25, 26, 7, 27prdsbascl 13707 . . . . . . . 8
2928r19.21bi 2806 . . . . . . 7
30 elbl2 18422 . . . . . . 7
3117, 19, 23, 29, 30syl22anc 1186 . . . . . 6
3231ralbidva 2723 . . . . 5
33 xmetcl 18363 . . . . . . . . . 10
3417, 23, 29, 33syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
3534ralrimiva 2791 . . . . . . . 8
36 eqid 2438 . . . . . . . . 9
37 breq1 4217 . . . . . . . . 9
3836, 37ralrnmpt 5880 . . . . . . . 8
3935, 38syl 16 . . . . . . 7
40 prdsbl.g . . . . . . . . . 10
4140adantr 453 . . . . . . . . 9
42 c0ex 9087 . . . . . . . . . 10
43 breq1 4217 . . . . . . . . . 10
4442, 43ralsn 3851 . . . . . . . . 9
4541, 44sylibr 205 . . . . . . . 8
46 ralunb 3530 . . . . . . . . 9
4720adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
48 prdsbl.e . . . . . . . . . . . 12
49 prdsbl.d . . . . . . . . . . . 12
501, 2, 24, 25, 26, 47, 27, 7, 48, 49prdsdsval3 13709 . . . . . . . . . . 11
51 xrltso 10736 . . . . . . . . . . . . 13
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
5336rnmpt 5118 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 abrexfi 7409 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . . 14
5625, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
57 snfi 7189 . . . . . . . . . . . . 13
58 unfi 7376 . . . . . . . . . . . . 13
5956, 57, 58sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12
60 ssun2 3513 . . . . . . . . . . . . . 14
6142snss 3928 . . . . . . . . . . . . . 14
6260, 61mpbir 202 . . . . . . . . . . . . 13
63 ne0i 3636 . . . . . . . . . . . . 13
6462, 63mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12
6534, 36fmptd 5895 . . . . . . . . . . . . . 14
66 frn 5599 . . . . . . . . . . . . . 14
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
68 0xr 9133 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
7069snssd 3945 . . . . . . . . . . . . 13
7167, 70unssd 3525 . . . . . . . . . . . 12
72 fisupcl 7474 . . . . . . . . . . . 12
7352, 59, 64, 71, 72syl13anc 1187 . . . . . . . . . . 11
7450, 73eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10
75 breq1 4217 . . . . . . . . . . 11
7675rspcv 3050 . . . . . . . . . 10
7774, 76syl 16 . . . . . . . . 9
7846, 77syl5bir 211 . . . . . . . 8
7945, 78mpan2d 657 . . . . . . 7
8039, 79sylbird 228 . . . . . 6
8171adantr 453 . . . . . . . . . 10
82 ssun1 3512 . . . . . . . . . . 11
83 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . 14
8483elabrex 5987 . . . . . . . . . . . . 13
8584adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
8685, 53syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . 11
8782, 86sseldi 3348 . . . . . . . . . 10
88 supxrub 10905 . . . . . . . . . 10
8981, 87, 88syl2anc 644 . . . . . . . . 9
9050adantr 453 . . . . . . . . 9
9189, 90breqtrrd 4240 . . . . . . . 8
921, 2, 7, 48, 49, 3, 4, 5, 16prdsxmet 18401 . . . . . . . . . . 11
9392ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
9420ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
9527adantr 453 . . . . . . . . . 10
96 xmetcl 18363 . . . . . . . . . 10
9793, 94, 95, 96syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
98 xrlelttr 10748 . . . . . . . . 9
9934, 97, 19, 98syl3anc 1185 . . . . . . . 8
10091, 99mpand 658 . . . . . . 7
101100ralrimdva 2798 . . . . . 6
10280, 101impbid 185 . . . . 5
10315, 32, 1023bitrrd 273 . . . 4
104103pm5.32da 624 . . 3
105 elbl 18420 . . . 4
10692, 20, 18, 105syl3anc 1185 . . 3
10721r19.21bi 2806 . . . . . . . . 9
10818adantr 453 . . . . . . . . 9
109 blssm 18450 . . . . . . . . 9
11016, 107, 108, 109syl3anc 1185 . . . . . . . 8
111110ralrimiva 2791 . . . . . . 7
112 ss2ixp 7077 . . . . . . 7
113111, 112syl 16 . . . . . 6
114113, 8sseqtr4d 3387 . . . . 5
115114sseld 3349 . . . 4
116115pm4.71rd 618 . . 3
117104, 106, 1163bitr4d 278 . 2
118117eqrdv 2436 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cab 2424   wne 2601  wral 2707  wrex 2708   cun 3320   wss 3322  c0 3630  csn 3816   class class class wbr 4214   cmpt 4268   wor 4504   cxp 4878   crn 4881   cres 4882   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cixp 7065  cfn 7111  csup 7447  cc0 8992  cxr 9121   clt 9122   cle 9123  cbs 13471  cds 13540  scprds 13671  cxmt 16688  cbl 16690 This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  18561  prdstotbnd  26505  prdsbnd2  26506 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-bl 16699
 Copyright terms: Public domain W3C validator