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Theorem prdsbl 18523
Description: A ball in the product metric for finite index set is the Cartesian product of balls in all coordinates. For infinite index set this is no longer true; instead the correct statement is that a *closed ball* is the product of closed balls in each coordinate (where closed ball means a set of the form in blcld 18537) - for a counterexample the point  p in  RR ^ NN whose  n-th coordinate is  1  -  1  /  n is in  X_ n  e.  NN ball ( 0 ,  1 ) but is not in the  1-ball of the product (since  d ( 0 ,  p )  =  1).

The last assumption,  0  <  A, is needed only in the case  I  =  (/), when the right side evaluates to  { (/) } and the left evaluates to  (/) if  A  <_  0 and  {
(/) } if  0  <  A. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
prdsbl.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsbl.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbl.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsbl.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbl.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbl.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsbl.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
prdsbl.p  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
prdsbl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
prdsbl.g  |-  ( ph  ->  0  <  A )
Assertion
Ref Expression
prdsbl  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) A )  =  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, I    x, P    ph, x
Allowed substitution hints:    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsbl
Dummy variables  f 
z  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbl.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 prdsbl.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 prdsbl.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
4 prdsbl.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
5 prdsbl.r . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
65ralrimiva 2791 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
7 prdsbl.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  R
)
81, 2, 3, 4, 6, 7prdsbas3 13705 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  V )
98eleq2d 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B  <->  f  e.  X_ x  e.  I  V ) )
109biimpa 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  f  e.  X_ x  e.  I  V )
11 ixpfn 7070 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  I  V  ->  f  Fn  I
)
12 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
1312elixp 7071 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A )  <-> 
( f  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  ( ( P `  x ) ( ball `  E
) A ) ) )
1413baib 873 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  I  ->  (
f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x )
( ball `  E ) A )  <->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
1510, 11, 143syl 19 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x )
( ball `  E ) A )  <->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
16 prdsbl.m . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
1716adantlr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
18 prdsbl.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1918ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  A  e.  RR* )
20 prdsbl.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  B )
211, 2, 3, 4, 6, 7, 20prdsbascl 13707 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( P `  x
)  e.  V )
2221adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  ( P `  x )  e.  V
)
2322r19.21bi 2806 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( P `  x )  e.  V )
243adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  S  e.  W )
254adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  I  e.  Fin )
266adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
27 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  f  e.  B )
281, 2, 24, 25, 26, 7, 27prdsbascl 13707 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  ( f `  x )  e.  V
)
2928r19.21bi 2806 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  e.  V )
30 elbl2 18422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E  e.  ( * Met `  V
)  /\  A  e.  RR* )  /\  ( ( P `  x )  e.  V  /\  (
f `  x )  e.  V ) )  -> 
( ( f `  x )  e.  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A )  <->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3117, 19, 23, 29, 30syl22anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
)  e.  ( ( P `  x ) ( ball `  E
) A )  <->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3231ralbidva 2723 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  ( ( P `  x ) ( ball `  E
) A )  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
33 xmetcl 18363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( P `  x )  e.  V  /\  ( f `  x
)  e.  V )  ->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) )  e.  RR* )
3417, 23, 29, 33syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  RR* )
3534ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  e. 
RR* )
36 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )
37 breq1 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) )  ->  (
z  <  A  <->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3836, 37ralrnmpt 5880 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  RR*  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  <  A  <->  A. x  e.  I  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  < 
A ) )
3935, 38syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  < 
A  <->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
40 prdsbl.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  A )
4140adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  0  <  A )
42 c0ex 9087 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
43 breq1 4217 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  0  ->  (
z  <  A  <->  0  <  A ) )
4442, 43ralsn 3851 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  { 0 } z  <  A  <->  0  <  A )
4541, 44sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  A. z  e.  { 0 } z  <  A )
46 ralunb 3530 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <  A  <->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  <  A  /\  A. z  e.  { 0 } z  <  A
) )
4720adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  P  e.  B )
48 prdsbl.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
49 prdsbl.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( dist `  Y
)
501, 2, 24, 25, 26, 47, 27, 7, 48, 49prdsdsval3 13709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( P D f )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
51 xrltso 10736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR*
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  <  Or 
RR* )
5336rnmpt 5118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  =  { y  |  E. x  e.  I  y  =  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) }
54 abrexfi 7409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  Fin  ->  { y  |  E. x  e.  I  y  =  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) }  e.  Fin )
5553, 54syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( I  e.  Fin  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  e.  Fin )
5625, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  e.  Fin )
57 snfi 7189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { 0 }  e.  Fin
58 unfi 7376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  e. 
Fin  /\  { 0 }  e.  Fin )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin )
5956, 57, 58sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  e. 
Fin )
60 ssun2 3513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { 0 }  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )
6142snss 3928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
6260, 61mpbir 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )
63 ne0i 3636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  =/=  (/) )
6462, 63mp1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  =/=  (/) )
6534, 36fmptd 5895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) ) : I --> RR* )
66 frn 5599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  C_  RR* )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  C_  RR* )
68 0xr 9133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  0  e.  RR* )
7069snssd 3945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  { 0 }  C_  RR* )
7167, 70unssd 3525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
72 fisupcl 7474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  u. 
{ 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* ) )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
7352, 59, 64, 71, 72syl13anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) )  u. 
{ 0 } ) )
7450, 73eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( P D f )  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } ) )
75 breq1 4217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( P D f )  ->  (
z  <  A  <->  ( P D f )  < 
A ) )
7675rspcv 3050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P D f )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } )  ->  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <  A  ->  ( P D f )  < 
A ) )
7774, 76syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. z  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) z  <  A  ->  ( P D f )  < 
A ) )
7846, 77syl5bir 211 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
( A. z  e. 
ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) ) ) z  <  A  /\  A. z  e.  { 0 } z  <  A
)  ->  ( P D f )  < 
A ) )
7945, 78mpan2d 657 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. z  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) z  < 
A  ->  ( P D f )  < 
A ) )
8039, 79sylbird 228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A  -> 
( P D f )  <  A ) )
8171adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
82 ssun1 3512 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  C_  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } )
83 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  e. 
_V
8483elabrex 5987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  I  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  { y  |  E. x  e.  I 
y  =  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) } )
8584adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  { y  |  E. x  e.  I 
y  =  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) } )
8685, 53syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) ) )
8782, 86sseldi 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )
88 supxrub 10905 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  e.  ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( P `  x
) E ( f `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <_  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8981, 87, 88syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
9050adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( P D f )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( P `  x ) E ( f `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
9189, 90breqtrrd 4240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) E ( f `
 x ) )  <_  ( P D f ) )
921, 2, 7, 48, 49, 3, 4, 5, 16prdsxmet 18401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  B ) )
9392ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  D  e.  ( * Met `  B
) )
9420ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  P  e.  B )
9527adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  f  e.  B )
96 xmetcl 18363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  P  e.  B  /\  f  e.  B
)  ->  ( P D f )  e. 
RR* )
9793, 94, 95, 96syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  ( P D f )  e. 
RR* )
98 xrlelttr 10748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  e.  RR*  /\  ( P D f )  e. 
RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( (
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <_  ( P D f )  /\  ( P D f )  <  A )  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
9934, 97, 19, 98syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( ( ( P `
 x ) E ( f `  x
) )  <_  ( P D f )  /\  ( P D f )  <  A )  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
10091, 99mpand 658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  x  e.  I )  ->  (
( P D f )  <  A  -> 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
101100ralrimdva 2798 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
( P D f )  <  A  ->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A ) )
10280, 101impbid 185 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( A. x  e.  I 
( ( P `  x ) E ( f `  x ) )  <  A  <->  ( P D f )  < 
A ) )
10315, 32, 1023bitrrd 273 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
( P D f )  <  A  <->  f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
104103pm5.32da 624 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  B  /\  ( P D f )  < 
A )  <->  ( f  e.  B  /\  f  e.  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) ) ) )
105 elbl 18420 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  P  e.  B  /\  A  e.  RR* )  ->  ( f  e.  ( P ( ball `  D
) A )  <->  ( f  e.  B  /\  ( P D f )  < 
A ) ) )
10692, 20, 18, 105syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( P ( ball `  D
) A )  <->  ( f  e.  B  /\  ( P D f )  < 
A ) ) )
10721r19.21bi 2806 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( P `  x )  e.  V )
10818adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  A  e.  RR* )
109 blssm 18450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( P `  x )  e.  V  /\  A  e.  RR* )  ->  ( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  V )
11016, 107, 108, 109syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  C_  V )
111110ralrimiva 2791 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  V )
112 ss2ixp 7077 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  C_  V  ->  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  X_ x  e.  I  V )
113111, 112syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  X_ x  e.  I  V )
114113, 8sseqtr4d 3387 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) 
C_  B )
115114sseld 3349 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  I  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  -> 
f  e.  B ) )
116115pm4.71rd 618 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  I  (
( P `  x
) ( ball `  E
) A )  <->  ( f  e.  B  /\  f  e.  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) ) ) )
117104, 106, 1163bitr4d 278 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( P ( ball `  D
) A )  <->  f  e.  X_ x  e.  I  ( ( P `  x
) ( ball `  E
) A ) ) )
118117eqrdv 2436 1  |-  ( ph  ->  ( P ( ball `  D ) A )  =  X_ x  e.  I 
( ( P `  x ) ( ball `  E ) A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    Or wor 4504    X. cxp 4878   ran crn 4881    |` cres 4882    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   X_cixp 7065   Fincfn 7111   supcsup 7447   0cc0 8992   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   Basecbs 13471   distcds 13540   X_scprds 13671   * Metcxmt 16688   ballcbl 16690
This theorem is referenced by:  prdsxmslem2  18561  prdstotbnd  26505  prdsbnd2  26506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-bl 16699
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