Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prdsbnd Unicode version

Theorem prdsbnd 26620
 Description: The product metric over finite index set is bounded if all the factors are bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y s
prdsbnd.b
prdsbnd.v
prdsbnd.e
prdsbnd.d
prdsbnd.s
prdsbnd.i
prdsbnd.r
prdsbnd.m
Assertion
Ref Expression
prdsbnd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4 s s
2 eqid 2296 . . . 4 s s
3 prdsbnd.v . . . 4
4 prdsbnd.e . . . 4
5 eqid 2296 . . . 4 s s
6 prdsbnd.s . . . 4
7 prdsbnd.i . . . 4
8 fvex 5555 . . . . 5
98a1i 10 . . . 4
10 prdsbnd.m . . . . 5
11 bndmet 26608 . . . . 5
1210, 11syl 15 . . . 4
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 17950 . . 3 s s
14 prdsbnd.d . . . . 5
15 prdsbnd.y . . . . . . 7 s
16 prdsbnd.r . . . . . . . . 9
17 dffn5 5584 . . . . . . . . 9
1816, 17sylib 188 . . . . . . . 8
1918oveq2d 5890 . . . . . . 7 s s
2015, 19syl5eq 2340 . . . . . 6 s
2120fveq2d 5545 . . . . 5 s
2214, 21syl5eq 2340 . . . 4 s
23 prdsbnd.b . . . . . 6
2420fveq2d 5545 . . . . . 6 s
2523, 24syl5eq 2340 . . . . 5 s
2625fveq2d 5545 . . . 4 s
2722, 26eleq12d 2364 . . 3 s s
2813, 27mpbird 223 . 2
29 isbnd3 26611 . . . . . . 7
3029simprbi 450 . . . . . 6
3110, 30syl 15 . . . . 5
3231ralrimiva 2639 . . . 4
33 oveq2 5882 . . . . . 6
34 feq3 5393 . . . . . 6
3533, 34syl 15 . . . . 5
3635ac6sfi 7117 . . . 4
377, 32, 36syl2anc 642 . . 3
38 frn 5411 . . . . . . . . . 10
3938adantl 452 . . . . . . . . 9
40 0re 8854 . . . . . . . . . . . 12
4140a1i 10 . . . . . . . . . . 11
4241snssd 3776 . . . . . . . . . 10
4342adantr 451 . . . . . . . . 9
4439, 43unssd 3364 . . . . . . . 8
45 ffn 5405 . . . . . . . . . . . 12
46 dffn4 5473 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46sylib 188 . . . . . . . . . . 11
48 fofi 7158 . . . . . . . . . . 11
497, 47, 48syl2an 463 . . . . . . . . . 10
50 snfi 6957 . . . . . . . . . 10
51 unfi 7140 . . . . . . . . . 10
5249, 50, 51sylancl 643 . . . . . . . . 9
53 ssun2 3352 . . . . . . . . . . 11
54 c0ex 8848 . . . . . . . . . . . 12
5554snid 3680 . . . . . . . . . . 11
5653, 55sselii 3190 . . . . . . . . . 10
57 ne0i 3474 . . . . . . . . . 10
5856, 57mp1i 11 . . . . . . . . 9
59 ltso 8919 . . . . . . . . . 10
60 fisupcl 7234 . . . . . . . . . 10
6159, 60mpan 651 . . . . . . . . 9
6252, 58, 44, 61syl3anc 1182 . . . . . . . 8
6344, 62sseldd 3194 . . . . . . 7
6463adantrr 697 . . . . . 6
65 metf 17911 . . . . . . . . 9
66 ffn 5405 . . . . . . . . 9
6728, 65, 663syl 18 . . . . . . . 8
6867adantr 451 . . . . . . 7
6928ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
70 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12
7170adantr 451 . . . . . . . . . . 11
72 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12
7372adantr 451 . . . . . . . . . . 11
74 metcl 17913 . . . . . . . . . . 11
7569, 71, 73, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
76 metge0 17926 . . . . . . . . . . 11
7769, 71, 73, 76syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
7822proplem3 13609 . . . . . . . . . . . . 13 s
796adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
807adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
818a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
8281ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . 14
8325adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 s
8470, 83eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . 14 s
8572, 83eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . 14 s
861, 2, 79, 80, 82, 84, 85, 3, 4, 5prdsdsval3 13400 . . . . . . . . . . . . 13 s
8778, 86eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12
8887adantr 451 . . . . . . . . . . 11
8912adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
901, 2, 79, 80, 82, 3, 84prdsbascl 13398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9190r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
921, 2, 79, 80, 82, 3, 85prdsbascl 13398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9392r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
94 metcl 17913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9589, 91, 93, 94syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9695ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
97 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9897ad2ant2lr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9963adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10291ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10393ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
104 fovrn 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
105101, 102, 103, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106 elicc2 10731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10740, 98, 106sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108105, 107mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109108simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11044adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
111110adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11256, 57mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113 fimaxre2 9718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11444, 52, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
115114adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
116115adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117 ssun1 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11845ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
120 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
121118, 119, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122117, 121sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123 suprub 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124111, 112, 116, 122, 123syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12596, 98, 100, 109, 124letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126125expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127126ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . . . . 15
128127impr 602 . . . . . . . . . . . . . 14
129 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130129rgenw 2623 . . . . . . . . . . . . . . 15
131 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133131, 132ralrnmpt 5685 . . . . . . . . . . . . . . 15
134130, 133ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
135128, 134sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13
13644ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13756, 57mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138114ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13956a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140 suprub 9731 . . . . . . . . . . . . . . . 16
141136, 137, 138, 139, 140syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15
142 elsni 3677 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143142breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15
144141, 143syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . 14
145144ralrimiv 2638 . . . . . . . . . . . . 13
146 ralunb 3369 . . . . . . . . . . . . 13
147135, 145, 146sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12
14895, 131fmptd 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
149 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
150148, 149syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15140a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
152151snssd 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16
153150, 152unssd 3364 . . . . . . . . . . . . . . 15
154 ressxr 8892 . . . . . . . . . . . . . . 15
155153, 154syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . . . 14
156155adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
15764adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14
158157rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . 13
159 supxrleub 10661 . . . . . . . . . . . . 13
160156, 158, 159syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
161147, 160mpbird 223 . . . . . . . . . . 11
16288, 161eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10
163 elicc2 10731 . . . . . . . . . . 11
16440, 157, 163sylancr 644 . . . . . . . . . 10
16575, 77, 162, 164mpbir3and 1135 . . . . . . . . 9
166165an32s 779 . . . . . . . 8
167166ralrimivva 2648 . . . . . . 7
168 ffnov 5964 . . . . . . 7
16968, 167, 168sylanbrc 645 . . . . . 6
170 oveq2 5882 . . . . . . . 8
171 feq3 5393 . . . . . . . 8
172170, 171syl 15 . . . . . . 7
173172rspcev 2897 . . . . . 6
17464, 169, 173syl2anc 642 . . . . 5
175174ex 423 . . . 4
176175exlimdv 1626 . . 3
17737, 176mpd 14 . 2
178 isbnd3 26611 . 2
17928, 177, 178sylanbrc 645 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   cun 3163   wss 3165  c0 3468  csn 3653   class class class wbr 4039   cmpt 4093   wor 4329   cxp 4703   crn 4706   cres 4707   wfn 5266  wf 5267  wfo 5269  cfv 5271  (class class class)co 5874  cfn 6879  csup 7209  cr 8752  cc0 8753  cxr 8882   clt 8883   cle 8884  cicc 10675  cbs 13164  cds 13233  scprds 13362  cme 16386  cbnd 26594 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-bnd 26606
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