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Theorem prdsbnd 26517
Description: The product metric over finite index set is bounded if all the factors are bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbnd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbnd.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
prdsbnd.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbnd.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbnd.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsbnd.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Bnd `  V
) )
Assertion
Ref Expression
prdsbnd  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Bnd `  B ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, B    ph, x    x, I    x, S    x, Y
Allowed substitution hints:    D( x)    E( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem prdsbnd
Dummy variables  z 
f  g  k  m  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . 4  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
3 prdsbnd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
4 prdsbnd.e . . . 4  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
5 eqid 2283 . . . 4  |-  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
6 prdsbnd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
7 prdsbnd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
8 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( R `
 x )  e. 
_V
98a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
10 prdsbnd.m . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Bnd `  V
) )
11 bndmet 26505 . . . . 5  |-  ( E  e.  ( Bnd `  V
)  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
1210, 11syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 17934 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) ) ) )
14 prdsbnd.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  Y
)
15 prdsbnd.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( S X_s R )
16 prdsbnd.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
17 dffn5 5568 . . . . . . . . 9  |-  ( R  Fn  I  <->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
1816, 17sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `
 x ) ) )
1918oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2015, 19syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2120fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2214, 21syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
23 prdsbnd.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2420fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2523, 24syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2625fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) ) )
2722, 26eleq12d 2351 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( Met `  B )  <-> 
( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) ) ) ) )
2813, 27mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
29 isbnd3 26508 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  ( Bnd `  V
)  <->  ( E  e.  ( Met `  V
)  /\  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w
) ) )
3029simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( Bnd `  V
)  ->  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w
) )
3110, 30syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w
) )
3231ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w ) )
33 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k `  x )  ->  (
0 [,] w )  =  ( 0 [,] ( k `  x
) ) )
34 feq3 5377 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] w )  =  ( 0 [,] ( k `  x
) )  ->  ( E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w )  <->  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )
3533, 34syl 15 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k `  x )  ->  ( E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w )  <->  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )
3635ac6sfi 7101 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w ) )  ->  E. k ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )
377, 32, 36syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )
38 frn 5395 . . . . . . . . . 10  |-  ( k : I --> RR  ->  ran  k  C_  RR )
3938adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  ran  k  C_  RR )
40 0re 8838 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
4140a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
4241snssd 3760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  RR )
4342adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  { 0 }  C_  RR )
4439, 43unssd 3351 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )
45 ffn 5389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k : I --> RR  ->  k  Fn  I )
46 dffn4 5457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  Fn  I  <->  k :
I -onto-> ran  k )
4745, 46sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k : I --> RR  ->  k : I -onto-> ran  k
)
48 fofi 7142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  k : I -onto-> ran  k
)  ->  ran  k  e. 
Fin )
497, 47, 48syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  ran  k  e.  Fin )
50 snfi 6941 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 }  e.  Fin
51 unfi 7124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  k  e.  Fin  /\ 
{ 0 }  e.  Fin )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  e.  Fin )
5249, 50, 51sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  e. 
Fin )
53 ssun2 3339 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 }  C_  ( ran  k  u.  { 0 } )
54 c0ex 8832 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
5554snid 3667 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  { 0 }
5653, 55sselii 3177 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } )
57 ne0i 3461 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ( ran  k  u.  { 0 } )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
5856, 57mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
59 ltso 8903 . . . . . . . . . 10  |-  <  Or  RR
60 fisupcl 7218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( ( ran  k  u.  { 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR ) )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )
6159, 60mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ran  k  u. 
{ 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( ran  k  u.  {
0 } ) )
6252, 58, 44, 61syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )
6344, 62sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
6463adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
65 metf 17895 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  ->  D :
( B  X.  B
) --> RR )
66 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> RR  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
6728, 65, 663syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
6867adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  D  Fn  ( B  X.  B
) )
6928ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
70 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
7170adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  f  e.  B )
72 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
7372adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  g  e.  B )
74 metcl 17897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  f  e.  B  /\  g  e.  B )  ->  (
f D g )  e.  RR )
7569, 71, 73, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  e.  RR )
76 metge0 17910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  f  e.  B  /\  g  e.  B )  ->  0  <_  ( f D g ) )
7769, 71, 73, 76syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  0  <_  ( f D g ) )
7822proplem3 13593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  ( f ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) g ) )
796adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
807adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  Fin )
818a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
8281ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( R `  x
)  e.  _V )
8325adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
8470, 83eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
8572, 83eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
861, 2, 79, 80, 82, 84, 85, 3, 4, 5prdsdsval3 13384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) g )  =  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8778, 86eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8887adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
8912adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
901, 2, 79, 80, 82, 3, 84prdsbascl 13382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
9190r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  e.  V )
921, 2, 79, 80, 82, 3, 85prdsbascl 13382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
9392r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
g `  x )  e.  V )
94 metcl 17897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( E  e.  ( Met `  V )  /\  (
f `  x )  e.  V  /\  (
g `  x )  e.  V )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
9589, 91, 93, 94syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
9695ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR )
97 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k : I --> RR  /\  x  e.  I )  ->  ( k `  x
)  e.  RR )
9897ad2ant2lr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  RR )
9963adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
101 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] (
k `  x )
) )
10291ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  V
)
10393ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  V
)
104 fovrn 5990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `
 x ) )  /\  ( f `  x )  e.  V  /\  ( g `  x
)  e.  V )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  ( 0 [,] ( k `
 x ) ) )
105101, 102, 103, 104syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  ( 0 [,] ( k `
 x ) ) )
106 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( k `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  ( 0 [,] (
k `  x )
)  <->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( k `  x
) ) ) )
10740, 98, 106sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  ( 0 [,] (
k `  x )
)  <->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( k `  x
) ) ) )
108105, 107mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( k `  x
) ) )
109108simp3d 969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  <_  (
k `  x )
)
11044adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )
111110adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } ) 
C_  RR )
11256, 57mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
113 fimaxre2 9702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ran  k  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  e.  Fin )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
11444, 52, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
115114adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
116115adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
117 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ran  k  C_  ( ran  k  u. 
{ 0 } )
11845ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  k  Fn  I
)
119 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  x  e.  I
)
120 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  Fn  I  /\  x  e.  I )  ->  ( k `  x
)  e.  ran  k
)
121118, 119, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ran  k )
122117, 121sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ( ran  k  u.  {
0 } ) )
123 suprub 9715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ran  k  u.  { 0 } ) 
C_  RR  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } ) w  <_  z )  /\  ( k `  x
)  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )  -> 
( k `  x
)  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
)
124111, 112, 116, 122, 123syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
12596, 98, 100, 109, 124letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
126125expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) )  -> 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
127126ralimdva 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  -> 
( A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] (
k `  x )
)  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
128127impr 602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
129 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
130129rgenw 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
131 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )
132 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  ->  (
w  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
133131, 132ralrnmpt 5669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. x  e.  I 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
134130, 133ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) w  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. x  e.  I  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
135128, 134sylibr 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
13644ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )
13756, 57mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
138114ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } ) w  <_  z )
13956a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  0  e.  ( ran  k  u.  {
0 } ) )
140 suprub 9715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ran  k  u.  { 0 } ) 
C_  RR  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } ) w  <_  z )  /\  0  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )  -> 
0  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
)
141136, 137, 138, 139, 140syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  0  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
142 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { 0 }  ->  w  =  0 )
143142breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { 0 }  ->  ( w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  0  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
144141, 143syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( w  e.  { 0 }  ->  w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
145144ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. w  e.  { 0 } w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
146 ralunb 3356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) w  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  /\  A. w  e.  {
0 } w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
147135, 145, 146sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
14895, 131fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I --> RR )
149 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) ) : I --> RR  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
150148, 149syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
15140a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR )
152151snssd 3760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR )
153150, 152unssd 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR )
154 ressxr 8876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  RR*
155153, 154syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
156155adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
15764adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
158157rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
159 supxrleub 10645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
160156, 158, 159syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
161147, 160mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
16288, 161eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
163 elicc2 10715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )  -> 
( ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
)  <->  ( ( f D g )  e.  RR  /\  0  <_ 
( f D g )  /\  ( f D g )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
16440, 157, 163sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( (
f D g )  e.  ( 0 [,]
sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )  <->  ( (
f D g )  e.  RR  /\  0  <_  ( f D g )  /\  ( f D g )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
16575, 77, 162, 164mpbir3and 1135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
166165an32s 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
167166ralrimivva 2635 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
168 ffnov 5948 . . . . . . 7  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )
)  <->  ( D  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
16968, 167, 168sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  D :
( B  X.  B
) --> ( 0 [,]
sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
170 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )  ->  ( 0 [,] m
)  =  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
171 feq3 5377 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 [,] m )  =  ( 0 [,]
sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )  -> 
( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
)  <->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) ) )
172170, 171syl 15 . . . . . . 7  |-  ( m  =  sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )  ->  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
)  <->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) ) )
173172rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )  ->  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
) )
17464, 169, 173syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
) )
175174ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) )  ->  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m ) ) )
176175exlimdv 1664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) )  ->  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m ) ) )
17737, 176mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m ) )
178 isbnd3 26508 . 2  |-  ( D  e.  ( Bnd `  B
)  <->  ( D  e.  ( Met `  B
)  /\  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
) ) )
17928, 177, 178sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Bnd `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    Or wor 4313    X. cxp 4687   ran crn 4690    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   [,]cicc 10659   Basecbs 13148   distcds 13217   X_scprds 13346   Metcme 16370   Bndcbnd 26491
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-bnd 26503
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