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Theorem prdsbnd 26504
 Description: The product metric over finite index set is bounded if all the factors are bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y s
prdsbnd.b
prdsbnd.v
prdsbnd.e
prdsbnd.d
prdsbnd.s
prdsbnd.i
prdsbnd.r
prdsbnd.m
Assertion
Ref Expression
prdsbnd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4 s s
2 eqid 2438 . . . 4 s s
3 prdsbnd.v . . . 4
4 prdsbnd.e . . . 4
5 eqid 2438 . . . 4 s s
6 prdsbnd.s . . . 4
7 prdsbnd.i . . . 4
8 fvex 5744 . . . . 5
98a1i 11 . . . 4
10 prdsbnd.m . . . . 5
11 bndmet 26492 . . . . 5
1210, 11syl 16 . . . 4
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 18402 . . 3 s s
14 prdsbnd.d . . . 4
15 prdsbnd.y . . . . . 6 s
16 prdsbnd.r . . . . . . . 8
17 dffn5 5774 . . . . . . . 8
1816, 17sylib 190 . . . . . . 7
1918oveq2d 6099 . . . . . 6 s s
2015, 19syl5eq 2482 . . . . 5 s
2120fveq2d 5734 . . . 4 s
2214, 21syl5eq 2482 . . 3 s
23 prdsbnd.b . . . . 5
2420fveq2d 5734 . . . . 5 s
2523, 24syl5eq 2482 . . . 4 s
2625fveq2d 5734 . . 3 s
2713, 22, 263eltr4d 2519 . 2
28 isbnd3 26495 . . . . . . 7
2928simprbi 452 . . . . . 6
3010, 29syl 16 . . . . 5
3130ralrimiva 2791 . . . 4
32 oveq2 6091 . . . . . 6
33 feq3 5580 . . . . . 6
3432, 33syl 16 . . . . 5
3534ac6sfi 7353 . . . 4
367, 31, 35syl2anc 644 . . 3
37 frn 5599 . . . . . . . 8
3837adantl 454 . . . . . . 7
39 0re 9093 . . . . . . . . . 10
4039a1i 11 . . . . . . . . 9
4140snssd 3945 . . . . . . . 8
4241adantr 453 . . . . . . 7
4338, 42unssd 3525 . . . . . 6
44 ffn 5593 . . . . . . . . . 10
45 dffn4 5661 . . . . . . . . . 10
4644, 45sylib 190 . . . . . . . . 9
47 fofi 7394 . . . . . . . . 9
487, 46, 47syl2an 465 . . . . . . . 8
49 snfi 7189 . . . . . . . 8
50 unfi 7376 . . . . . . . 8
5148, 49, 50sylancl 645 . . . . . . 7
52 ssun2 3513 . . . . . . . . 9
53 c0ex 9087 . . . . . . . . . 10
5453snid 3843 . . . . . . . . 9
5552, 54sselii 3347 . . . . . . . 8
56 ne0i 3636 . . . . . . . 8
5755, 56mp1i 12 . . . . . . 7
58 ltso 9158 . . . . . . . 8
59 fisupcl 7474 . . . . . . . 8
6058, 59mpan 653 . . . . . . 7
6151, 57, 43, 60syl3anc 1185 . . . . . 6
6243, 61sseldd 3351 . . . . 5
6362adantrr 699 . . . 4
64 metf 18362 . . . . . . 7
65 ffn 5593 . . . . . . 7
6627, 64, 653syl 19 . . . . . 6
6766adantr 453 . . . . 5
6827ad2antrr 708 . . . . . . . . 9
69 simprl 734 . . . . . . . . . 10
7069adantr 453 . . . . . . . . 9
71 simprr 735 . . . . . . . . . 10
7271adantr 453 . . . . . . . . 9
73 metcl 18364 . . . . . . . . 9
7468, 70, 72, 73syl3anc 1185 . . . . . . . 8
75 metge0 18377 . . . . . . . . 9
7668, 70, 72, 75syl3anc 1185 . . . . . . . 8
7722proplem3 13918 . . . . . . . . . . 11 s
786adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
797adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
808a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
8180ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . 12
8225adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13 s
8369, 82eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . 12 s
8471, 82eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . 12 s
851, 2, 78, 79, 81, 83, 84, 3, 4, 5prdsdsval3 13709 . . . . . . . . . . 11 s
8677, 85eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10
8786adantr 453 . . . . . . . . 9
8812adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
891, 2, 78, 79, 81, 3, 83prdsbascl 13707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9089r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
911, 2, 78, 79, 81, 3, 84prdsbascl 13707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9291r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
93 metcl 18364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9488, 90, 92, 93syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9594ad2ant2r 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16
96 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9796ad2ant2lr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9862adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9998adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
100 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10190ad2ant2r 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10292ad2ant2r 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103100, 101, 102fovrnd 6220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104 elicc2 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10539, 97, 104sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
106103, 105mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107106simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10843adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109108adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11055, 56mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111 fimaxre2 9958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11243, 51, 111syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113112adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114113adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115 ssun1 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11644ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
117 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118 fnfvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119116, 117, 118syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120115, 119sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
121 suprub 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122109, 110, 114, 120, 121syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12395, 97, 99, 107, 122letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . 15
124123expr 600 . . . . . . . . . . . . . 14
125124ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . . 13
126125impr 604 . . . . . . . . . . . 12
127 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . 14
128127rgenw 2775 . . . . . . . . . . . . 13
129 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14
130 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . . 14
131129, 130ralrnmpt 5880 . . . . . . . . . . . . 13
132128, 131ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
133126, 132sylibr 205 . . . . . . . . . . 11
13443ad2ant2r 729 . . . . . . . . . . . . . 14
13555, 56mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14
136112ad2ant2r 729 . . . . . . . . . . . . . 14
13755a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
138 suprub 9971 . . . . . . . . . . . . . 14
139134, 135, 136, 137, 138syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . 13
140 elsni 3840 . . . . . . . . . . . . . 14
141140breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . 13
142139, 141syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . 12
143142ralrimiv 2790 . . . . . . . . . . 11
144 ralunb 3530 . . . . . . . . . . 11
145133, 143, 144sylanbrc 647 . . . . . . . . . 10
14694, 129fmptd 5895 . . . . . . . . . . . . . . 15
147 frn 5599 . . . . . . . . . . . . . . 15
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
14939a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15
150149snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14
151148, 150unssd 3525 . . . . . . . . . . . . 13
152 ressxr 9131 . . . . . . . . . . . . 13
153151, 152syl6ss 3362 . . . . . . . . . . . 12
154153adantr 453 . . . . . . . . . . 11
15563adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12
156155rexrd 9136 . . . . . . . . . . 11
157 supxrleub 10907 . . . . . . . . . . 11
158154, 156, 157syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
159145, 158mpbird 225 . . . . . . . . 9
16087, 159eqbrtrd 4234 . . . . . . . 8
161 elicc2 10977 . . . . . . . . 9
16239, 155, 161sylancr 646 . . . . . . . 8
16374, 76, 160, 162mpbir3and 1138 . . . . . . 7
164163an32s 781 . . . . . 6
165164ralrimivva 2800 . . . . 5
166 ffnov 6176 . . . . 5
16767, 165, 166sylanbrc 647 . . . 4
168 oveq2 6091 . . . . . 6
169 feq3 5580 . . . . . 6
170168, 169syl 16 . . . . 5
171170rspcev 3054 . . . 4
17263, 167, 171syl2anc 644 . . 3
17336, 172exlimddv 1649 . 2
174 isbnd3 26495 . 2
17527, 173, 174sylanbrc 647 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cun 3320   wss 3322  c0 3630  csn 3816   class class class wbr 4214   cmpt 4268   wor 4504   cxp 4878   crn 4881   cres 4882   wfn 5451  wf 5452  wfo 5454  cfv 5456  (class class class)co 6083  cfn 7111  csup 7447  cr 8991  cc0 8992  cxr 9121   clt 9122   cle 9123  cicc 10921  cbs 13471  cds 13540  scprds 13671  cme 16689  cbnd 26478 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-bnd 26490
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