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Theorem prdsbnd 26504
Description: The product metric over finite index set is bounded if all the factors are bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbnd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbnd.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
prdsbnd.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbnd.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbnd.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsbnd.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Bnd `  V
) )
Assertion
Ref Expression
prdsbnd  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Bnd `  B ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, B    ph, x    x, I    x, S    x, Y
Allowed substitution hints:    D( x)    E( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem prdsbnd
Dummy variables  z 
f  g  k  m  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
3 prdsbnd.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
4 prdsbnd.e . . . 4  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
5 eqid 2438 . . . 4  |-  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
6 prdsbnd.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
7 prdsbnd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
8 fvex 5744 . . . . 5  |-  ( R `
 x )  e. 
_V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
10 prdsbnd.m . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Bnd `  V
) )
11 bndmet 26492 . . . . 5  |-  ( E  e.  ( Bnd `  V
)  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12prdsmet 18402 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) ) ) )
14 prdsbnd.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  Y
)
15 prdsbnd.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( S X_s R )
16 prdsbnd.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
17 dffn5 5774 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fn  I  <->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
1816, 17sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `
 x ) ) )
1918oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2015, 19syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2120fveq2d 5734 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2214, 21syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
23 prdsbnd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2420fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2523, 24syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2625fveq2d 5734 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) ) )
2713, 22, 263eltr4d 2519 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
28 isbnd3 26495 . . . . . . 7  |-  ( E  e.  ( Bnd `  V
)  <->  ( E  e.  ( Met `  V
)  /\  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w
) ) )
2928simprbi 452 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( Bnd `  V
)  ->  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w
) )
3010, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w
) )
3130ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w ) )
32 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k `  x )  ->  (
0 [,] w )  =  ( 0 [,] ( k `  x
) ) )
33 feq3 5580 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] w )  =  ( 0 [,] ( k `  x
) )  ->  ( E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w )  <->  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k `  x )  ->  ( E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w )  <->  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )
3534ac6sfi 7353 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  A. x  e.  I  E. w  e.  RR  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] w ) )  ->  E. k ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )
367, 31, 35syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )
37 frn 5599 . . . . . . . 8  |-  ( k : I --> RR  ->  ran  k  C_  RR )
3837adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  ran  k  C_  RR )
39 0re 9093 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
4140snssd 3945 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { 0 }  C_  RR )
4241adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  { 0 }  C_  RR )
4338, 42unssd 3525 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )
44 ffn 5593 . . . . . . . . . 10  |-  ( k : I --> RR  ->  k  Fn  I )
45 dffn4 5661 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  Fn  I  <->  k :
I -onto-> ran  k )
4644, 45sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( k : I --> RR  ->  k : I -onto-> ran  k
)
47 fofi 7394 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  Fin  /\  k : I -onto-> ran  k
)  ->  ran  k  e. 
Fin )
487, 46, 47syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  ran  k  e.  Fin )
49 snfi 7189 . . . . . . . 8  |-  { 0 }  e.  Fin
50 unfi 7376 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  k  e.  Fin  /\ 
{ 0 }  e.  Fin )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  e.  Fin )
5148, 49, 50sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  e. 
Fin )
52 ssun2 3513 . . . . . . . . 9  |-  { 0 }  C_  ( ran  k  u.  { 0 } )
53 c0ex 9087 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
5453snid 3843 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  { 0 }
5552, 54sselii 3347 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } )
56 ne0i 3636 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  ( ran  k  u.  { 0 } )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
5755, 56mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
58 ltso 9158 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR
59 fisupcl 7474 . . . . . . . 8  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( ( ran  k  u.  { 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR ) )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )
6058, 59mpan 653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ran  k  u. 
{ 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( ran  k  u.  {
0 } ) )
6151, 57, 43, 60syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )
6243, 61sseldd 3351 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
6362adantrr 699 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
64 metf 18362 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  ->  D :
( B  X.  B
) --> RR )
65 ffn 5593 . . . . . . 7  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> RR  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
6627, 64, 653syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  Fn  ( B  X.  B ) )
6766adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  D  Fn  ( B  X.  B
) )
6827ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
69 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
7069adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  f  e.  B )
71 simprr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
7271adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  g  e.  B )
73 metcl 18364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  f  e.  B  /\  g  e.  B )  ->  (
f D g )  e.  RR )
7468, 70, 72, 73syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  e.  RR )
75 metge0 18377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  f  e.  B  /\  g  e.  B )  ->  0  <_  ( f D g ) )
7668, 70, 72, 75syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  0  <_  ( f D g ) )
7722proplem3 13918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  ( f ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) g ) )
786adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
797adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  Fin )
808a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
8180ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( R `  x
)  e.  _V )
8225adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
8369, 82eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
8471, 82eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
851, 2, 78, 79, 81, 83, 84, 3, 4, 5prdsdsval3 13709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) g )  =  sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8677, 85eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  =  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8786adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  =  sup ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
8812adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
891, 2, 78, 79, 81, 3, 83prdsbascl 13707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
9089r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
f `  x )  e.  V )
911, 2, 78, 79, 81, 3, 84prdsbascl 13707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
9291r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
g `  x )  e.  V )
93 metcl 18364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( E  e.  ( Met `  V )  /\  (
f `  x )  e.  V  /\  (
g `  x )  e.  V )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
9488, 90, 92, 93syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  x  e.  I )  ->  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  RR )
9594ad2ant2r 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  RR )
96 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k : I --> RR  /\  x  e.  I )  ->  ( k `  x
)  e.  RR )
9796ad2ant2lr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  RR )
9862adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
9998adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
100 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] (
k `  x )
) )
10190ad2ant2r 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  V
)
10292ad2ant2r 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  V
)
103100, 101, 102fovrnd 6220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  e.  ( 0 [,] ( k `
 x ) ) )
104 elicc2 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( k `  x
)  e.  RR )  ->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  ( 0 [,] (
k `  x )
)  <->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( k `  x
) ) ) )
10539, 97, 104sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  ( 0 [,] (
k `  x )
)  <->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( k `  x
) ) ) )
106103, 105mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  /\  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_ 
( k `  x
) ) )
107106simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  <_  (
k `  x )
)
10843adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  -> 
( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )
109108adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } ) 
C_  RR )
11055, 56mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
111 fimaxre2 9958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ran  k  u. 
{ 0 } ) 
C_  RR  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  e.  Fin )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
11243, 51, 111syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k :
I --> RR )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
113112adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
114113adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) w  <_ 
z )
115 ssun1 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ran  k  C_  ( ran  k  u. 
{ 0 } )
11644ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  k  Fn  I
)
117 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  x  e.  I
)
118 fnfvelrn 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  Fn  I  /\  x  e.  I )  ->  ( k `  x
)  e.  ran  k
)
119116, 117, 118syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ran  k )
120115, 119sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  e.  ( ran  k  u.  {
0 } ) )
121 suprub 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ran  k  u.  { 0 } ) 
C_  RR  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } ) w  <_  z )  /\  ( k `  x
)  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )  -> 
( k `  x
)  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
)
122109, 110, 114, 120, 121syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( k `  x )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
12395, 97, 99, 107, 122letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  ( x  e.  I  /\  E :
( V  X.  V
) --> ( 0 [,] ( k `  x
) ) ) )  ->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
124123expr 600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B
) )  /\  k : I --> RR )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) )  -> 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
125124ralimdva 2786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  k :
I --> RR )  -> 
( A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] (
k `  x )
)  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
126125impr 604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
127 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
128127rgenw 2775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. x  e.  I  ( (
f `  x ) E ( g `  x ) )  e. 
_V
129 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) )
130 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) )  ->  (
w  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
131129, 130ralrnmpt 5880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) E ( g `
 x ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. x  e.  I 
( ( f `  x ) E ( g `  x ) )  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
132128, 131ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) w  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. x  e.  I  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
133126, 132sylibr 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `
 x ) E ( g `  x
) ) ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
13443ad2ant2r 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  C_  RR )
13555, 56mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/) )
136112ad2ant2r 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } ) w  <_  z )
13755a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  0  e.  ( ran  k  u.  {
0 } ) )
138 suprub 9971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ran  k  u.  { 0 } ) 
C_  RR  /\  ( ran  k  u.  { 0 } )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ( ran  k  u. 
{ 0 } ) w  <_  z )  /\  0  e.  ( ran  k  u.  { 0 } ) )  -> 
0  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
)
139134, 135, 136, 137, 138syl31anc 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  0  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
140 elsni 3840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  { 0 }  ->  w  =  0 )
141140breq1d 4224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  { 0 }  ->  ( w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  0  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
142139, 141syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( w  e.  { 0 }  ->  w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
143142ralrimiv 2790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. w  e.  { 0 } w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
144 ralunb 3530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  ( A. w  e.  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) w  <_  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  /\  A. w  e.  {
0 } w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
145133, 143, 144sylanbrc 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
14694, 129fmptd 5895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) ) : I --> RR )
147 frn 5599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) ) : I --> RR  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  C_  RR )
14939a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR )
150149snssd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR )
151148, 150unssd 3525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR )
152 ressxr 9131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  RR*
153151, 152syl6ss 3362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
154153adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } )  C_  RR* )
15563adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
156155rexrd 9136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
157 supxrleub 10907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
158154, 156, 157syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( sup ( ( ran  (
x  e.  I  |->  ( ( f `  x
) E ( g `
 x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  ( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  {
0 } ) w  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
159145, 158mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) E ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
16087, 159eqbrtrd 4234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )
161 elicc2 10977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )  -> 
( ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
)  <->  ( ( f D g )  e.  RR  /\  0  <_ 
( f D g )  /\  ( f D g )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
16239, 155, 161sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( (
f D g )  e.  ( 0 [,]
sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )  <->  ( (
f D g )  e.  RR  /\  0  <_  ( f D g )  /\  ( f D g )  <_  sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
16374, 76, 160, 162mpbir3and 1138 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
164163an32s 781 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
165164ralrimivva 2800 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
166 ffnov 6176 . . . . 5  |-  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )
)  <->  ( D  Fn  ( B  X.  B
)  /\  A. f  e.  B  A. g  e.  B  ( f D g )  e.  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
16767, 165, 166sylanbrc 647 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  D :
( B  X.  B
) --> ( 0 [,]
sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) ) )
168 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( m  =  sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )  ->  ( 0 [,] m
)  =  ( 0 [,] sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )
) )
169 feq3 5580 . . . . . 6  |-  ( ( 0 [,] m )  =  ( 0 [,]
sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  ) )  -> 
( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
)  <->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) ) )
170168, 169syl 16 . . . . 5  |-  ( m  =  sup ( ( ran  k  u.  {
0 } ) ,  RR ,  <  )  ->  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
)  <->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) ) )
171170rspcev 3054 . . . 4  |-  ( ( sup ( ( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] sup (
( ran  k  u.  { 0 } ) ,  RR ,  <  )
) )  ->  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
) )
17263, 167, 171syl2anc 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k : I --> RR  /\  A. x  e.  I  E : ( V  X.  V ) --> ( 0 [,] ( k `  x ) ) ) )  ->  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
) )
17336, 172exlimddv 1649 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m ) )
174 isbnd3 26495 . 2  |-  ( D  e.  ( Bnd `  B
)  <->  ( D  e.  ( Met `  B
)  /\  E. m  e.  RR  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,] m
) ) )
17527, 173, 174sylanbrc 647 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Bnd `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    Or wor 4504    X. cxp 4878   ran crn 4881    |` cres 4882    Fn wfn 5451   -->wf 5452   -onto->wfo 5454   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   supcsup 7447   RRcr 8991   0cc0 8992   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   [,]cicc 10921   Basecbs 13471   distcds 13540   X_scprds 13671   Metcme 16689   Bndcbnd 26478
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-bnd 26490
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