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Theorem prdsbnd2 26506
Description: If balls are totally bounded in each factor, then balls are bounded in a metric product. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbnd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsbnd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsbnd.v  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
prdsbnd.e  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsbnd.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsbnd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsbnd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
prdsbnd.r  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
prdsbnd2.c  |-  C  =  ( D  |`  ( A  X.  A ) )
prdsbnd2.e  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
prdsbnd2.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
prdsbnd2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  A )  <->  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )
Distinct variable groups:    y, D    x, y, R    x, B, y    y, E    ph, x, y   
x, I, y    x, S    y, V    x, Y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    C( x, y)    D( x)    S( y)    E( x)    V( x)    W( x, y)    Y( y)

Proof of Theorem prdsbnd2
Dummy variables  r 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totbndbnd 26500 . 2  |-  ( C  e.  ( TotBnd `  A
)  ->  C  e.  ( Bnd `  A ) )
2 bndmet 26492 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( Bnd `  A
)  ->  C  e.  ( Met `  A ) )
3 0totbnd 26484 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( C  e.  ( TotBnd `  A
)  <->  C  e.  ( Met `  A ) ) )
42, 3syl5ibr 214 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A
)  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
) )
54a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  (
TotBnd `  A ) ) ) )
6 n0 3639 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. a  a  e.  A )
7 simprr 735 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  C  e.  ( Bnd `  A ) )
8 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
9 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
10 prdsbnd.v . . . . . . . . . . . 12  |-  V  =  ( Base `  ( R `  x )
)
11 prdsbnd.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )
12 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
13 prdsbnd.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
14 prdsbnd.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  e.  Fin )
15 fvex 5744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R `
 x )  e. 
_V
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R `  x )  e.  _V )
17 prdsbnd2.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( Met `  V
) )
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17prdsmet 18402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )  e.  ( Met `  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) ) ) )
19 prdsbnd.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( dist `  Y
)
20 prdsbnd.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Y  =  ( S X_s R )
21 prdsbnd.r . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
22 dffn5 5774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  Fn  I  <->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
2321, 22sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  R  =  ( x  e.  I  |->  ( R `
 x ) ) )
2423oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S X_s R )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2520, 24syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) )
2625fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
2719, 26syl5eq 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
28 prdsbnd.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  Y
)
2925fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
3028, 29syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
3130fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Met `  B
)  =  ( Met `  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) ) )
3218, 27, 313eltr4d 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
3332adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  D  e.  ( Met `  B ) )
34 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) )  ->  C  e.  ( Bnd `  A ) )
35 prdsbnd2.c . . . . . . . . . . . 12  |-  C  =  ( D  |`  ( A  X.  A ) )
3635bnd2lem 26502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) )  ->  A  C_  B )
3732, 34, 36syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  A  C_  B )
38 simprl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  -> 
a  e.  A )
3937, 38sseldd 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  -> 
a  e.  B )
4035ssbnd 26499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( Met `  B )  /\  a  e.  B )  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  <->  E. r  e.  RR  A  C_  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
4133, 39, 40syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  -> 
( C  e.  ( Bnd `  A )  <->  E. r  e.  RR  A  C_  ( a (
ball `  D )
r ) ) )
427, 41mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A  C_  ( a (
ball `  D )
r ) )
43 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) )
44 xpss12 4983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  ( a
( ball `  D )
r )  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) )  ->  ( A  X.  A )  C_  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )
4543, 43, 44syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  ( A  X.  A )  C_  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
46 resabs1 5177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  A ) 
C_  ( ( a ( ball `  D
) r )  X.  ( a ( ball `  D ) r ) )  ->  ( ( D  |`  ( ( a ( ball `  D
) r )  X.  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  |`  ( A  X.  A ) )  =  ( D  |`  ( A  X.  A
) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( D  |`  ( A  X.  A ) ) )
4847, 35syl6eqr 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  |`  ( A  X.  A
) )  =  C )
49 simpll 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  ph )
5039adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  a  e.  B )
51 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  r  e.  RR )
5238adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  a  e.  A )
5343, 52sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  a  e.  ( a ( ball `  D ) r ) )
54 ne0i 3636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( a (
ball `  D )
r )  ->  (
a ( ball `  D
) r )  =/=  (/) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
a ( ball `  D
) r )  =/=  (/) )
5632ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  D  e.  ( Met `  B
) )
57 metxmet 18366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( Met `  B
)  ->  D  e.  ( * Met `  B
) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  B
) )
5951rexrd 9136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  r  e.  RR* )
60 xbln0 18446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  B )  /\  a  e.  B  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( a (
ball `  D )
r )  =/=  (/)  <->  0  <  r ) )
6158, 50, 59, 60syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( a ( ball `  D ) r )  =/=  (/)  <->  0  <  r
) )
6255, 61mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  0  <  r )
6351, 62elrpd 10648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
64 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) )  =  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) )
65 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )
66 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )
67 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
dist `  ( (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) `  x
) )  |`  (
( Base `  ( (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) `  x
) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  =  ( ( dist `  (
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )
68 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )
6913adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  S  e.  W )
7014adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  I  e.  Fin )
71 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  e.  _V
72 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ( R `  y )  =  ( R `  x ) )
7372fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  ( dist `  ( R `  y ) )  =  ( dist `  ( R `  x )
) )
7472fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  x  ->  ( Base `  ( R `  y ) )  =  ( Base `  ( R `  x )
) )
7574, 10syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  x  ->  ( Base `  ( R `  y ) )  =  V )
7675, 75xpeq12d 4905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  x  ->  (
( Base `  ( R `  y ) )  X.  ( Base `  ( R `  y )
) )  =  ( V  X.  V ) )
7773, 76reseq12d 5149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  x  ->  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  x
) )  |`  ( V  X.  V ) ) )
7877, 11syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  x  ->  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) )  =  E )
7978fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y
) )  |`  (
( Base `  ( R `  y ) )  X.  ( Base `  ( R `  y )
) ) ) )  =  ( ball `  E
) )
80 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
a `  y )  =  ( a `  x ) )
81 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  r  =  r )
8279, 80, 81oveq123d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r )  =  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )
8372, 82oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) )  =  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
8483cbvmptv 4302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
8571, 84fnmpti 5575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  Fn  I
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  Fn  I )
8717adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  E  e.  ( Met `  V ) )
88 metxmet 18366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E  e.  ( Met `  V
)  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
9016ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I 
( R `  x
)  e.  _V )
9190adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. x  e.  I 
( R `  x
)  e.  _V )
92 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
a  e.  B )
9330adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
9492, 93eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
a  e.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) ) ) )
958, 9, 69, 70, 91, 10, 94prdsbascl 13707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. x  e.  I 
( a `  x
)  e.  V )
9695r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( a `  x )  e.  V
)
97 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  r  e.  RR+ )
9897rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  r  e.  RR )
99 blbnd 26498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( a `  x )  e.  V  /\  r  e.  RR )  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
10089, 96, 98, 99syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
101 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  e. 
_V
102 xpeq12 4899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  =  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  /\  y  =  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r ) )  -> 
( y  X.  y
)  =  ( ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
103102anidms 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
y  X.  y )  =  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
104103reseq2d 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  ( E  |`  ( y  X.  y ) )  =  ( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
105 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  ( TotBnd `
 y )  =  ( TotBnd `  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r ) ) )
106104, 105eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
107 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  ( Bnd `  y )  =  ( Bnd `  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
108104, 107eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( Bnd `  y )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
109106, 108bibi12d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  (
TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) )  <->  ( ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )
110109imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  I )  ->  ( ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  (
TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) ) )  <->  ( ( ph  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( E  |`  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )  e.  (
TotBnd `  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) ) )
111 prdsbnd2.m . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( E  |`  (
y  X.  y ) )  e.  ( TotBnd `  y )  <->  ( E  |`  ( y  X.  y
) )  e.  ( Bnd `  y ) ) )
112101, 110, 111vtocl 3008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  e.  ( TotBnd `  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  <-> 
( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  e.  ( Bnd `  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
113112adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( E  |`  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )  e.  (
TotBnd `  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  <->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( Bnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
114100, 113mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
115 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) )
11683, 115, 71fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  I  ->  (
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x )  =  ( ( R `
 x )s  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r ) ) )
117116adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) `  x
)  =  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
118117fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( dist `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
119 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R `  x )s  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  =  ( ( R `
 x )s  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r ) )
120 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dist `  ( R `  x
) )  =  (
dist `  ( R `  x ) )
121119, 120ressds 13643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  e. 
_V  ->  ( dist `  ( R `  x )
)  =  ( dist `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
122101, 121ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dist `  ( R `  x
) )  =  (
dist `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
123118, 122syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( dist `  ( R `  x
) ) )
124117fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( Base `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
125 rpxr 10621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
126125ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
r  e.  RR* )
127126adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  r  e.  RR* )
128 blssm 18450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E  e.  ( * Met `  V )  /\  ( a `  x )  e.  V  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) 
C_  V )
12989, 96, 127, 128syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r )  C_  V
)
130119, 10ressbas2 13522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  C_  V  ->  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  =  (
Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r )  =  (
Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
132124, 131eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  =  ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r ) )
133132, 132xpeq12d 4905 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) )  =  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )
134123, 133reseq12d 5149 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( ( ( a `  x ) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) )
13511reseq1i 5144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  =  ( ( ( dist `  ( R `  x )
)  |`  ( V  X.  V ) )  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )
136 xpss12 4983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) 
C_  V  /\  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r )  C_  V )  ->  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  C_  ( V  X.  V
) )
137129, 129, 136syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
( a `  x
) ( ball `  E
) r )  X.  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )  C_  ( V  X.  V ) )
138 resabs1 5177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  C_  ( V  X.  V
)  ->  ( (
( dist `  ( R `  x ) )  |`  ( V  X.  V
) )  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  x
) )  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
( dist `  ( R `  x ) )  |`  ( V  X.  V
) )  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  =  ( ( dist `  ( R `  x
) )  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
140135, 139syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( E  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) )  =  ( (
dist `  ( R `  x ) )  |`  ( ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r )  X.  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
141134, 140eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  =  ( E  |`  (
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r )  X.  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
142132fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( TotBnd `  ( Base `  (
( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) )  =  (
TotBnd `  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )
143114, 141, 1423eltr4d 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( dist `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  |`  ( ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `  y
) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) )  X.  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( Base `  ( ( y  e.  I  |->  ( ( R `
 y )s  ( ( a `  y ) ( ball `  (
( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) `  x ) ) ) )
14464, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 86, 143prdstotbnd 26505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  e.  ( TotBnd `  ( Base `  ( S X_s (
y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) ) )
14525adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x ) ) ) )
146 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )
147 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )  =  (
Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )
14884oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
149148fveq2i 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )
15015a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( R `  x )  e.  _V )
151101a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
a `  x )
( ball `  E )
r )  e.  _V )
152145, 146, 147, 19, 149, 69, 69, 70, 150, 151ressprdsds 18403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( D  |`  ( ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) ) ) ) )
153131ixpeq2dva 7079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  X_ x  e.  I  ( ( a `  x
) ( ball `  E
) r )  = 
X_ x  e.  I 
( Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
15472cbvmptv 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  I  |->  ( R `
 y ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R `  x ) )
155154oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) )  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( R `  x
) ) )
15625, 155syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  Y  =  ( S
X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
157156fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( dist `  Y
)  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
15819, 157syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  D  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
159158fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ball `  D
)  =  ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) )
160159proplem3 13918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( a ( ball `  D ) r )  =  ( a (
ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) )
161 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
162 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )  =  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) )
163156fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
16428, 163syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
165164adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  B  =  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
16692, 165eleqtrd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
a  e.  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) )
167 rpgt0 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  e.  RR+  ->  0  < 
r )
168167ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
0  <  r )
169155, 161, 10, 11, 162, 69, 70, 150, 89, 166, 126, 168prdsbl 18523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( a ( ball `  ( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( R `  y
) ) ) ) ) r )  = 
X_ x  e.  I 
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )
170160, 169eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( a ( ball `  D ) r )  =  X_ x  e.  I 
( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) )
171 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )  =  ( S
X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) )
17271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  /\  x  e.  I
)  ->  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) )  e.  _V )
173172ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  ->  A. x  e.  I 
( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) )  e. 
_V )
174 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) )  =  ( Base `  (
( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) )
175171, 147, 69, 70, 173, 174prdsbas3 13705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )  =  X_ x  e.  I 
( Base `  ( ( R `  x )s  (
( a `  x
) ( ball `  E
) r ) ) ) )
176153, 170, 1753eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )  =  ( a (
ball `  D )
r ) )
177176, 176xpeq12d 4905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s (
x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) ) )  =  ( ( a ( ball `  D
) r )  X.  ( a ( ball `  D ) r ) ) )
178177reseq2d 5148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( D  |`  (
( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x
)s  ( ( a `  x ) ( ball `  E ) r ) ) ) ) )  X.  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) ) ) )  =  ( D  |`  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) ) )
179152, 178eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( dist `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( D  |`  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) ) )
180148fveq2i 5733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( Base `  ( S X_s ( x  e.  I  |->  ( ( R `  x )s  ( ( a `
 x ) (
ball `  E )
r ) ) ) ) )
181180, 176syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y
)s  ( ( a `  y ) ( ball `  ( ( dist `  ( R `  y )
)  |`  ( ( Base `  ( R `  y
) )  X.  ( Base `  ( R `  y ) ) ) ) ) r ) ) ) ) )  =  ( a (
ball `  D )
r ) )
182181fveq2d 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( TotBnd `  ( Base `  ( S X_s ( y  e.  I  |->  ( ( R `  y )s  ( ( a `
 y ) (
ball `  ( ( dist `  ( R `  y ) )  |`  ( ( Base `  ( R `  y )
)  X.  ( Base `  ( R `  y
) ) ) ) ) r ) ) ) ) ) )  =  ( TotBnd `  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
183144, 179, 1823eltr3d 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  e.  ( TotBnd `  (
a ( ball `  D
) r ) ) )
18449, 50, 63, 183syl12anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  ( D  |`  ( ( a ( ball `  D
) r )  X.  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  e.  (
TotBnd `  ( a (
ball `  D )
r ) ) )
185 totbndss 26488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  e.  ( TotBnd `  (
a ( ball `  D
) r ) )  /\  A  C_  (
a ( ball `  D
) r ) )  ->  ( ( D  |`  ( ( a (
ball `  D )
r )  X.  (
a ( ball `  D
) r ) ) )  |`  ( A  X.  A ) )  e.  ( TotBnd `  A )
)
186184, 43, 185syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  (
( D  |`  (
( a ( ball `  D ) r )  X.  ( a (
ball `  D )
r ) ) )  |`  ( A  X.  A
) )  e.  (
TotBnd `  A ) )
18748, 186eqeltrrd 2513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\  A  C_  ( a ( ball `  D ) r ) ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
)
18842, 187rexlimddv 2836 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  A  /\  C  e.  ( Bnd `  A
) ) )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A ) )
189188exp32 590 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  e.  A  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  (
TotBnd `  A ) ) ) )
190189exlimdv 1647 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. a  a  e.  A  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
) ) )
1916, 190syl5bi 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  ( TotBnd `  A )
) ) )
1925, 191pm2.61dne 2683 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( Bnd `  A )  ->  C  e.  (
TotBnd `  A ) ) )
1931, 192impbid2 197 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  (
TotBnd `  A )  <->  C  e.  ( Bnd `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    X. cxp 4878    |` cres 4882    Fn wfn 5451   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   X_cixp 7065   Fincfn 7111   RRcr 8991   0cc0 8992   RR*cxr 9121    < clt 9122   RR+crp 10614   Basecbs 13471   ↾s cress 13472   distcds 13540   X_scprds 13671   * Metcxmt 16688   Metcme 16689   ballcbl 16690   TotBndctotbnd 26477   Bndcbnd 26478
This theorem is referenced by:  cnpwstotbnd  26508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-icc 10925  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-totbnd 26479  df-bnd 26490
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