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Theorem prdsdsf 17931
Description: The product metric is a function into the nonnegative extended reals. In general this means that it is not a metric but rather an *extended* metric (even when all the factors are metrics), but it will be a metric when restricted to regions where it does not take infinite values. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsdsf.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsdsf.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsdsf.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsdsf.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsdsf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsdsf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
prdsdsf.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsdsf.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
Assertion
Ref Expression
prdsdsf  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo )
)
Distinct variable groups:    x, I    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsdsf
Dummy variables  f 
g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
2 prdsdsf.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
3 elex 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  Z  ->  R  e.  _V )
42, 3syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  _V )
54ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  _V )
65adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  _V )
7 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ R
87nfel1 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ R  e.  _V
9 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  R  =  [_ y  /  x ]_ R )
109eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( R  e.  _V  <->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V ) )
118, 10rspc 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  R  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V )
)
126, 11mpan9 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  [_ y  /  x ]_ R  e. 
_V )
13 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( x  e.  I  |->  R )
1413fvmpts 5603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  I  /\  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y )  =  [_ y  /  x ]_ R
)
151, 12, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
)  =  [_ y  /  x ]_ R )
1615fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `
 y ) )  =  ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) )
1716oveqd 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) )  =  ( ( f `
 y ) (
dist `  [_ y  /  x ]_ R ) ( g `  y ) ) )
18 prdsdsf.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
19 prdsdsf.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  Y
)
20 prdsdsf.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
2120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
22 prdsdsf.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
2322adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  X )
24 prdsdsf.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  =  ( Base `  R
)
25 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
2618, 19, 21, 23, 6, 24, 25prdsbascl 13382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
27 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ V
2827nfel2 2431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( f `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V
29 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
30 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  V  =  [_ y  /  x ]_ V )
3129, 30eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
)  e.  V  <->  ( f `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V
) )
3228, 31rspc 2878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V  -> 
( f `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V ) )
3326, 32mpan9 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
f `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V )
34 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
3518, 19, 21, 23, 6, 24, 34prdsbascl 13382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
3627nfel2 2431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V
37 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
g `  x )  =  ( g `  y ) )
3837, 30eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( g `  x
)  e.  V  <->  ( g `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V
) )
3936, 38rspc 2878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V  -> 
( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V ) )
4035, 39mpan9 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
g `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V )
41 ovres 5987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V  /\  ( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V )  ->  ( ( f `
 y ) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) ( g `
 y ) )  =  ( ( f `
 y ) (
dist `  [_ y  /  x ]_ R ) ( g `  y ) ) )
4233, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) ) ( g `  y ) )  =  ( ( f `  y ) ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) ( g `
 y ) ) )
4317, 42eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) )  =  ( ( f `
 y ) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) ( g `
 y ) ) )
44 prdsdsf.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
4544ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  E  e.  ( * Met `  V ) )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  E  e.  ( * Met `  V ) )
47 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x dist
4847, 7nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )
4927, 27nfxp 4715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V )
5048, 49nfres 4957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )
51 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x * Met
5251, 27nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( * Met `  [_ y  /  x ]_ V )
5350, 52nfel 2427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )  e.  ( * Met `  [_ y  /  x ]_ V )
54 prdsdsf.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
559fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( dist `  R )  =  ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) )
5630, 30xpeq12d 4714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( V  X.  V )  =  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )
5755, 56reseq12d 4956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( dist `  R )  |`  ( V  X.  V
) )  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) )
5854, 57syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  E  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) ) )
5930fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( * Met `  V )  =  ( * Met ` 
[_ y  /  x ]_ V ) )
6058, 59eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( E  e.  ( * Met `  V )  <->  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) )  e.  ( * Met `  [_ y  /  x ]_ V ) ) )
6153, 60rspc 2878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  E  e.  ( * Met `  V )  -> 
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )  e.  ( * Met `  [_ y  /  x ]_ V ) ) )
6246, 61mpan9 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) )  e.  ( * Met `  [_ y  /  x ]_ V ) )
63 xmetcl 17896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )  e.  ( * Met `  [_ y  /  x ]_ V )  /\  ( f `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V  /\  ( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V )  ->  ( ( f `
 y ) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) ( g `
 y ) )  e.  RR* )
6462, 33, 40, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) ) ( g `  y ) )  e. 
RR* )
6543, 64eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) )  e.  RR* )
66 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )
6765, 66fmptd 5684 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) ) : I -->
RR* )
68 frn 5395 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  C_  RR* )
6967, 68syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  C_  RR* )
70 0xr 8878 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
7170a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR* )
7271snssd 3760 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
7369, 72unssd 3351 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
74 supxrcl 10633 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `
 y ) (
dist `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  ->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7573, 74syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
76 ssun2 3339 . . . . . . 7  |-  { 0 }  C_  ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } )
77 c0ex 8832 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
7877snss 3748 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) )
7976, 78mpbir 200 . . . . . 6  |-  0  e.  ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )
80 supxrub 10643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  0  e.  ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
0  <_  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8173, 79, 80sylancl 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  <_  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
82 elxrge0 10747 . . . . 5  |-  ( sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  0  <_  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
8375, 81, 82sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
8483ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
85 eqid 2283 . . . 4  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
8685fmpt2 6191 . . 3  |-  ( A. f  e.  B  A. g  e.  B  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B
) --> ( 0 [,] 
+oo ) )
8784, 86sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo ) )
88 mptexg 5745 . . . . 5  |-  ( I  e.  X  ->  (
x  e.  I  |->  R )  e.  _V )
8922, 88syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  e.  _V )
902ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
91 dmmptg 5170 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  Z  ->  dom  (
x  e.  I  |->  R )  =  I )
9290, 91syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  I  |->  R )  =  I )
93 prdsdsf.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  Y
)
9418, 20, 89, 19, 92, 93prdsds 13363 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
9594feq1d 5379 . 2  |-  ( ph  ->  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo ) ) )
9687, 95mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [_csb 3081    u. cun 3150    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   supcsup 7193   0cc0 8737    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   [,]cicc 10659   Basecbs 13148   distcds 13217   X_scprds 13346   * Metcxmt 16369
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  17932  prdsmet  17934
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-icc 10663  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-xmet 16373
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