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Theorem prdsdsf 18399
Description: The product metric is a function into the nonnegative extended reals. In general this means that it is not a metric but rather an *extended* metric (even when all the factors are metrics), but it will be a metric when restricted to regions where it does not take infinite values. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsdsf.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsdsf.v  |-  V  =  ( Base `  R
)
prdsdsf.e  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
prdsdsf.d  |-  D  =  ( dist `  Y
)
prdsdsf.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
prdsdsf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
prdsdsf.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
prdsdsf.m  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
Assertion
Ref Expression
prdsdsf  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo )
)
Distinct variable groups:    x, I    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    R( x)    S( x)    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem prdsdsf
Dummy variables  f 
g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
2 prdsdsf.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Z )
3 elex 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  Z  ->  R  e.  _V )
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  _V )
54ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  _V )
65adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  R  e.  _V )
7 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ R
87nfel1 2584 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ R  e.  _V
9 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  R  =  [_ y  /  x ]_ R )
109eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( R  e.  _V  <->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V ) )
118, 10rspc 3048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  R  e.  _V  ->  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V )
)
126, 11mpan9 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  [_ y  /  x ]_ R  e. 
_V )
13 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( x  e.  I  |->  R )
1413fvmpts 5809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  I  /\  [_ y  /  x ]_ R  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y )  =  [_ y  /  x ]_ R
)
151, 12, 14syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
)  =  [_ y  /  x ]_ R )
1615fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `
 y ) )  =  ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) )
1716oveqd 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) )  =  ( ( f `
 y ) (
dist `  [_ y  /  x ]_ R ) ( g `  y ) ) )
18 prdsdsf.y . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
19 prdsdsf.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( Base `  Y
)
20 prdsdsf.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
2120adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  S  e.  W )
22 prdsdsf.i . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
2322adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  I  e.  X )
24 prdsdsf.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  =  ( Base `  R
)
25 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
f  e.  B )
2618, 19, 21, 23, 6, 24, 25prdsbascl 13707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V )
27 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ V
2827nfel2 2586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( f `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V
29 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
30 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  V  =  [_ y  /  x ]_ V )
3129, 30eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( f `  x
)  e.  V  <->  ( f `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V
) )
3228, 31rspc 3048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I 
( f `  x
)  e.  V  -> 
( f `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V ) )
3326, 32mpan9 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
f `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V )
34 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
g  e.  B )
3518, 19, 21, 23, 6, 24, 34prdsbascl 13707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V )
3627nfel2 2586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x
( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V
37 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
g `  x )  =  ( g `  y ) )
3837, 30eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( g `  x
)  e.  V  <->  ( g `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V
) )
3936, 38rspc 3048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I 
( g `  x
)  e.  V  -> 
( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V ) )
4035, 39mpan9 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
g `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V )
4133, 40ovresd 6216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) ) ( g `  y ) )  =  ( ( f `  y ) ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) ( g `
 y ) ) )
4217, 41eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) )  =  ( ( f `
 y ) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) ( g `
 y ) ) )
43 prdsdsf.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E  e.  ( * Met `  V
) )
4443ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  E  e.  ( * Met `  V ) )
4544adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  A. x  e.  I  E  e.  ( * Met `  V ) )
46 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x dist
4746, 7nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )
4827, 27nfxp 4906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V )
4947, 48nfres 5150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )
50 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x * Met
5150, 27nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( * Met `  [_ y  /  x ]_ V )
5249, 51nfel 2582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )  e.  ( * Met `  [_ y  /  x ]_ V )
53 prdsdsf.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E  =  ( ( dist `  R
)  |`  ( V  X.  V ) )
549fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( dist `  R )  =  ( dist `  [_ y  /  x ]_ R ) )
5530, 30xpeq12d 4905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( V  X.  V )  =  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )
5654, 55reseq12d 5149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( dist `  R )  |`  ( V  X.  V
) )  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) )
5753, 56syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  E  =  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) ) )
5830fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( * Met `  V )  =  ( * Met ` 
[_ y  /  x ]_ V ) )
5957, 58eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( E  e.  ( * Met `  V )  <->  ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) )  e.  ( * Met `  [_ y  /  x ]_ V ) ) )
6052, 59rspc 3048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  I  ->  ( A. x  e.  I  E  e.  ( * Met `  V )  -> 
( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )  e.  ( * Met `  [_ y  /  x ]_ V ) ) )
6145, 60mpan9 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) )  e.  ( * Met `  [_ y  /  x ]_ V ) )
62 xmetcl 18363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) )  e.  ( * Met `  [_ y  /  x ]_ V )  /\  ( f `  y )  e.  [_ y  /  x ]_ V  /\  ( g `  y
)  e.  [_ y  /  x ]_ V )  ->  ( ( f `
 y ) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V
) ) ( g `
 y ) )  e.  RR* )
6361, 33, 40, 62syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( ( dist `  [_ y  /  x ]_ R )  |`  ( [_ y  /  x ]_ V  X.  [_ y  /  x ]_ V ) ) ( g `  y ) )  e. 
RR* )
6442, 63eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  B  /\  g  e.  B )
)  /\  y  e.  I )  ->  (
( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) )  e.  RR* )
65 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )
6664, 65fmptd 5895 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) ) : I -->
RR* )
67 frn 5599 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) ) : I --> RR*  ->  ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  C_  RR* )
6866, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  C_  RR* )
69 0xr 9133 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
7069a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  e.  RR* )
7170snssd 3945 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  { 0 }  C_  RR* )
7268, 71unssd 3525 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR* )
73 supxrcl 10895 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `
 y ) (
dist `  ( (
x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  ->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
7472, 73syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
75 ssun2 3513 . . . . . . 7  |-  { 0 }  C_  ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } )
76 c0ex 9087 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
7776snss 3928 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) )
7875, 77mpbir 202 . . . . . 6  |-  0  e.  ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )
79 supxrub 10905 . . . . . 6  |-  ( ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } )  C_  RR*  /\  0  e.  ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) )  -> 
0  <_  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
8072, 78, 79sylancl 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  -> 
0  <_  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )
81 elxrge0 11010 . . . . 5  |-  ( sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  0  <_  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
8274, 80, 81sylanbrc 647 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  B  /\  g  e.  B ) )  ->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
8382ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
84 eqid 2438 . . . 4  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) )
8584fmpt2 6420 . . 3  |-  ( A. f  e.  B  A. g  e.  B  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  )  e.  ( 0 [,]  +oo )  <->  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  sup ( ( ran  (
y  e.  I  |->  ( ( f `  y
) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B
) --> ( 0 [,] 
+oo ) )
8683, 85sylib 190 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo ) )
87 mptexg 5967 . . . . 5  |-  ( I  e.  X  ->  (
x  e.  I  |->  R )  e.  _V )
8822, 87syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  e.  _V )
892ralrimiva 2791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e.  Z )
90 dmmptg 5369 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  R  e.  Z  ->  dom  (
x  e.  I  |->  R )  =  I )
9189, 90syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  I  |->  R )  =  I )
92 prdsdsf.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  Y
)
9318, 20, 88, 19, 91, 92prdsds 13688 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  (
( x  e.  I  |->  R ) `  y
) ) ( g `
 y ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
9493feq1d 5582 . 2  |-  ( ph  ->  ( D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo ) 
<->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup ( ( ran  ( y  e.  I  |->  ( ( f `  y ) ( dist `  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  y ) ) ( g `  y ) ) )  u.  {
0 } ) , 
RR* ,  <  ) ) : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo ) ) )
9586, 94mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  D : ( B  X.  B ) --> ( 0 [,]  +oo )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   [_csb 3253    u. cun 3320    C_ wss 3322   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   dom cdm 4880   ran crn 4881    |` cres 4882   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   supcsup 7447   0cc0 8992    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   [,]cicc 10921   Basecbs 13471   distcds 13540   X_scprds 13671   * Metcxmt 16688
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  18400  prdsmet  18402
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-icc 10925  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-xmet 16697
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