Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsf Unicode version

Theorem prdsdsf 17947
 Description: The product metric is a function into the nonnegative extended reals. In general this means that it is not a metric but rather an *extended* metric (even when all the factors are metrics), but it will be a metric when restricted to regions where it does not take infinite values. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y s
prdsdsf.b
prdsdsf.v
prdsdsf.e
prdsdsf.d
prdsdsf.s
prdsdsf.i
prdsdsf.r
prdsdsf.m
Assertion
Ref Expression
prdsdsf
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsdsf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
2 prdsdsf.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 elex 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42, 3syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
7 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118, 10rspc 2891 . . . . . . . . . . . . . . 15
126, 11mpan9 455 . . . . . . . . . . . . . 14
13 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413fvmpts 5619 . . . . . . . . . . . . . 14
151, 12, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
1615fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12
1716oveqd 5891 . . . . . . . . . . 11
18 prdsdsf.y . . . . . . . . . . . . . 14 s
19 prdsdsf.b . . . . . . . . . . . . . 14
20 prdsdsf.s . . . . . . . . . . . . . . 15
2120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
22 prdsdsf.i . . . . . . . . . . . . . . 15
2322adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
24 prdsdsf.v . . . . . . . . . . . . . 14
25 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14
2618, 19, 21, 23, 6, 24, 25prdsbascl 13398 . . . . . . . . . . . . 13
27 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827nfel2 2444 . . . . . . . . . . . . . 14
29 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . 15
3129, 30eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . 14
3228, 31rspc 2891 . . . . . . . . . . . . 13
3326, 32mpan9 455 . . . . . . . . . . . 12
34 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14
3518, 19, 21, 23, 6, 24, 34prdsbascl 13398 . . . . . . . . . . . . 13
3627nfel2 2444 . . . . . . . . . . . . . 14
37 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837, 30eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . 14
3936, 38rspc 2891 . . . . . . . . . . . . 13
4035, 39mpan9 455 . . . . . . . . . . . 12
41 ovres 6003 . . . . . . . . . . . 12
4233, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
4317, 42eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10
44 prdsdsf.m . . . . . . . . . . . . . 14
4544ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . 13
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
47 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847, 7nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . 15
4927, 27nfxp 4731 . . . . . . . . . . . . . . 15
5048, 49nfres 4973 . . . . . . . . . . . . . 14
51 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251, 27nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . 14
5350, 52nfel 2440 . . . . . . . . . . . . 13
54 prdsdsf.e . . . . . . . . . . . . . . 15
559fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5630, 30xpeq12d 4730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5755, 56reseq12d 4972 . . . . . . . . . . . . . . 15
5854, 57syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . 14
5930fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14
6058, 59eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . 13
6153, 60rspc 2891 . . . . . . . . . . . 12
6246, 61mpan9 455 . . . . . . . . . . 11
63 xmetcl 17912 . . . . . . . . . . 11
6462, 33, 40, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
6543, 64eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9
66 eqid 2296 . . . . . . . . 9
6765, 66fmptd 5700 . . . . . . . 8
68 frn 5411 . . . . . . . 8
6967, 68syl 15 . . . . . . 7
70 0xr 8894 . . . . . . . . 9
7170a1i 10 . . . . . . . 8
7271snssd 3776 . . . . . . 7
7369, 72unssd 3364 . . . . . 6
74 supxrcl 10649 . . . . . 6
7573, 74syl 15 . . . . 5
76 ssun2 3352 . . . . . . 7
77 c0ex 8848 . . . . . . . 8
7877snss 3761 . . . . . . 7
7976, 78mpbir 200 . . . . . 6
80 supxrub 10659 . . . . . 6
8173, 79, 80sylancl 643 . . . . 5
82 elxrge0 10763 . . . . 5
8375, 81, 82sylanbrc 645 . . . 4
8483ralrimivva 2648 . . 3
85 eqid 2296 . . . 4
8685fmpt2 6207 . . 3
8784, 86sylib 188 . 2
88 mptexg 5761 . . . . 5
8922, 88syl 15 . . . 4
902ralrimiva 2639 . . . . 5
91 dmmptg 5186 . . . . 5
9290, 91syl 15 . . . 4
93 prdsdsf.d . . . 4
9418, 20, 89, 19, 92, 93prdsds 13379 . . 3
9594feq1d 5395 . 2
9687, 95mpbird 223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cvv 2801  csb 3094   cun 3163   wss 3165  csn 3653   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cxp 4703   cdm 4705   crn 4706   cres 4707  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  csup 7209  cc0 8753   cpnf 8880  cxr 8882   clt 8883   cle 8884  cicc 10675  cbs 13164  cds 13233  scprds 13362  cxmt 16385 This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  17948  prdsmet  17950 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-icc 10679  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-xmet 16389
 Copyright terms: Public domain W3C validator