Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsf Structured version   Unicode version

Theorem prdsdsf 18399
 Description: The product metric is a function into the nonnegative extended reals. In general this means that it is not a metric but rather an *extended* metric (even when all the factors are metrics), but it will be a metric when restricted to regions where it does not take infinite values. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsdsf.y s
prdsdsf.b
prdsdsf.v
prdsdsf.e
prdsdsf.d
prdsdsf.s
prdsdsf.i
prdsdsf.r
prdsdsf.m
Assertion
Ref Expression
prdsdsf
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem prdsdsf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14
2 prdsdsf.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 elex 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
7 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87nfel1 2584 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118, 10rspc 3048 . . . . . . . . . . . . . . 15
126, 11mpan9 457 . . . . . . . . . . . . . 14
13 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15
1413fvmpts 5809 . . . . . . . . . . . . . 14
151, 12, 14syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
1615fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12
1716oveqd 6100 . . . . . . . . . . 11
18 prdsdsf.y . . . . . . . . . . . . . 14 s
19 prdsdsf.b . . . . . . . . . . . . . 14
20 prdsdsf.s . . . . . . . . . . . . . . 15
2120adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
22 prdsdsf.i . . . . . . . . . . . . . . 15
2322adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
24 prdsdsf.v . . . . . . . . . . . . . 14
25 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . 14
2618, 19, 21, 23, 6, 24, 25prdsbascl 13707 . . . . . . . . . . . . 13
27 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827nfel2 2586 . . . . . . . . . . . . . 14
29 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . . 15
3129, 30eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . 14
3228, 31rspc 3048 . . . . . . . . . . . . 13
3326, 32mpan9 457 . . . . . . . . . . . 12
34 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14
3518, 19, 21, 23, 6, 24, 34prdsbascl 13707 . . . . . . . . . . . . 13
3627nfel2 2586 . . . . . . . . . . . . . 14
37 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837, 30eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . . 14
3936, 38rspc 3048 . . . . . . . . . . . . 13
4035, 39mpan9 457 . . . . . . . . . . . 12
4133, 40ovresd 6216 . . . . . . . . . . 11
4217, 41eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10
43 prdsdsf.m . . . . . . . . . . . . . 14
4443ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . 13
4544adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
46 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746, 7nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15
4827, 27nfxp 4906 . . . . . . . . . . . . . . 15
4947, 48nfres 5150 . . . . . . . . . . . . . 14
50 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150, 27nffv 5737 . . . . . . . . . . . . . 14
5249, 51nfel 2582 . . . . . . . . . . . . 13
53 prdsdsf.e . . . . . . . . . . . . . . 15
549fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5530, 30xpeq12d 4905 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5654, 55reseq12d 5149 . . . . . . . . . . . . . . 15
5753, 56syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . 14
5830fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . 14
5957, 58eleq12d 2506 . . . . . . . . . . . . 13
6052, 59rspc 3048 . . . . . . . . . . . 12
6145, 60mpan9 457 . . . . . . . . . . 11
62 xmetcl 18363 . . . . . . . . . . 11
6361, 33, 40, 62syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
6442, 63eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9
65 eqid 2438 . . . . . . . . 9
6664, 65fmptd 5895 . . . . . . . 8
67 frn 5599 . . . . . . . 8
6866, 67syl 16 . . . . . . 7
69 0xr 9133 . . . . . . . . 9
7069a1i 11 . . . . . . . 8
7170snssd 3945 . . . . . . 7
7268, 71unssd 3525 . . . . . 6
73 supxrcl 10895 . . . . . 6
7472, 73syl 16 . . . . 5
75 ssun2 3513 . . . . . . 7
76 c0ex 9087 . . . . . . . 8
7776snss 3928 . . . . . . 7
7875, 77mpbir 202 . . . . . 6
79 supxrub 10905 . . . . . 6
8072, 78, 79sylancl 645 . . . . 5
81 elxrge0 11010 . . . . 5
8274, 80, 81sylanbrc 647 . . . 4
8382ralrimivva 2800 . . 3
84 eqid 2438 . . . 4
8584fmpt2 6420 . . 3
8683, 85sylib 190 . 2
87 mptexg 5967 . . . . 5
8822, 87syl 16 . . . 4
892ralrimiva 2791 . . . . 5
90 dmmptg 5369 . . . . 5
9189, 90syl 16 . . . 4
92 prdsdsf.d . . . 4
9318, 20, 88, 19, 91, 92prdsds 13688 . . 3
9493feq1d 5582 . 2
9586, 94mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958  csb 3253   cun 3320   wss 3322  csn 3816   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cxp 4878   cdm 4880   crn 4881   cres 4882  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  csup 7447  cc0 8992   cpnf 9119  cxr 9121   clt 9122   cle 9123  cicc 10921  cbs 13471  cds 13540  scprds 13671  cxmt 16688 This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  18400  prdsmet  18402 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-icc 10925  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-xmet 16697
 Copyright terms: Public domain W3C validator