MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgrpd Unicode version

Theorem prdsgrpd 14604
Description: The product of a family of groups is a group. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsgrpd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsgrpd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsgrpd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
Assertion
Ref Expression
prdsgrpd  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )

Proof of Theorem prdsgrpd
Dummy variables  b 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2284 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  Y ) )
2 eqidd 2284 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  Y ) )
3 prdsgrpd.y . . 3  |-  Y  =  ( S X_s R )
4 prdsgrpd.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 prdsgrpd.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
6 prdsgrpd.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
7 grpmnd 14494 . . . . 5  |-  ( a  e.  Grp  ->  a  e.  Mnd )
87ssriv 3184 . . . 4  |-  Grp  C_  Mnd
9 fss 5397 . . . 4  |-  ( ( R : I --> Grp  /\  Grp  C_  Mnd )  ->  R : I --> Mnd )
106, 8, 9sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
113, 4, 5, 10prds0g 14406 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( 0g
`  Y ) )
123, 4, 5, 10prdsmndd 14405 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
13 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
14 eqid 2283 . . . 4  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
15 elex 2796 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
165, 15syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
1716adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  S  e.  _V )
18 elex 2796 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
194, 18syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
2019adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  I  e.  _V )
216adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  R :
I --> Grp )
22 simpr 447 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  a  e.  ( Base `  Y )
)
23 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g  o.  R )  =  ( 0g  o.  R
)
24 eqid 2283 . . . 4  |-  ( b  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  b )
) `  ( a `  b ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `
 b ) ) `
 ( a `  b ) ) )
253, 13, 14, 17, 20, 21, 22, 23, 24prdsinvlem 14603 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  b ) ) `  ( a `
 b ) ) )  e.  ( Base `  Y )  /\  (
( b  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  b
) ) `  (
a `  b )
) ) ( +g  `  Y ) a )  =  ( 0g  o.  R ) ) )
2625simpld 445 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( b  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  b )
) `  ( a `  b ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
2725simprd 449 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  ( (
b  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  b ) ) `  ( a `
 b ) ) ) ( +g  `  Y
) a )  =  ( 0g  o.  R
) )
281, 2, 11, 12, 26, 27isgrpd2 14505 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   X_scprds 13346   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363
This theorem is referenced by:  prdsinvgd  14605  pwsgrp  14606  xpsgrp  14614  prdsabld  15154  prdsrngd  15395  prdslmodd  15726  prdstgpd  17807  dsmmsubg  27209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490
  Copyright terms: Public domain W3C validator