Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgsum Structured version   Unicode version

Theorem prdsgsum 15554
 Description: Finite commutative sums in a product structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgsum.y s
prdsgsum.b
prdsgsum.z
prdsgsum.i
prdsgsum.j
prdsgsum.s
prdsgsum.r CMnd
prdsgsum.f
prdsgsum.w
Assertion
Ref Expression
prdsgsum g g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem prdsgsum
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgsum.y . . . 4 s
2 eqid 2438 . . . 4
3 prdsgsum.s . . . 4
4 prdsgsum.i . . . 4
5 prdsgsum.r . . . . . 6 CMnd
6 eqid 2438 . . . . . 6
75, 6fmptd 5895 . . . . 5 CMnd
8 ffn 5593 . . . . 5 CMnd
97, 8syl 16 . . . 4
10 prdsgsum.z . . . . 5
111, 4, 3, 7prdscmnd 15478 . . . . 5 CMnd
12 prdsgsum.j . . . . 5
13 prdsgsum.f . . . . . . . . . 10
1413anassrs 631 . . . . . . . . 9
1514an32s 781 . . . . . . . 8
1615ralrimiva 2791 . . . . . . 7
175ralrimiva 2791 . . . . . . . . 9 CMnd
18 prdsgsum.b . . . . . . . . 9
191, 2, 3, 4, 17, 18prdsbasmpt2 13706 . . . . . . . 8
2019adantr 453 . . . . . . 7
2116, 20mpbird 225 . . . . . 6
22 eqid 2438 . . . . . 6
2321, 22fmptd 5895 . . . . 5
24 prdsgsum.w . . . . 5
252, 10, 11, 12, 23, 24gsumcl 15523 . . . 4 g
261, 2, 3, 4, 9, 25prdsbasfn 13695 . . 3 g
27 nfcv 2574 . . . . 5
28 nfcv 2574 . . . . 5 g
29 nfcv 2574 . . . . . 6
30 nfmpt1 4300 . . . . . 6
3129, 30nfmpt 4299 . . . . 5
3227, 28, 31nfov 6106 . . . 4 g
3332dffn5f 5783 . . 3 g g g
3426, 33sylib 190 . 2 g g
35 simpr 449 . . . . . . . 8
3635adantr 453 . . . . . . 7
37 eqid 2438 . . . . . . . 8
3837fvmpt2 5814 . . . . . . 7
3936, 14, 38syl2anc 644 . . . . . 6
4039mpteq2dva 4297 . . . . 5
4140oveq2d 6099 . . . 4 g g
4211adantr 453 . . . . 5 CMnd
43 cmnmnd 15429 . . . . . 6 CMnd
445, 43syl 16 . . . . 5
4512adantr 453 . . . . 5
464adantr 453 . . . . . . 7
473adantr 453 . . . . . . 7
4844, 6fmptd 5895 . . . . . . . 8
4948adantr 453 . . . . . . 7
501, 2, 46, 47, 49, 35prdspjmhm 14768 . . . . . 6 MndHom
516fvmpt2 5814 . . . . . . . 8 CMnd
5235, 5, 51syl2anc 644 . . . . . . 7
5352oveq2d 6099 . . . . . 6 MndHom MndHom
5450, 53eleqtrd 2514 . . . . 5 MndHom
5521adantlr 697 . . . . 5
5624adantr 453 . . . . 5
57 fveq1 5729 . . . . 5
58 fveq1 5729 . . . . 5 g g
592, 10, 42, 44, 45, 54, 55, 56, 57, 58gsummhm2 15537 . . . 4 g g
6041, 59eqtr3d 2472 . . 3 g g
6160mpteq2dva 4297 . 2 g g
6234, 61eqtr4d 2473 1 g g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   cdif 3319  csn 3816   cmpt 4268  ccnv 4879  cima 4883   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cfn 7111  cbs 13471  scprds 13671  c0g 13725   g cgsu 13726  cmnd 14686   MndHom cmhm 14738  CMndccmn 15414 This theorem is referenced by:  pwsgsum  15555 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-cntz 15118  df-cmn 15416
 Copyright terms: Public domain W3C validator