MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsgsum Unicode version

Theorem prdsgsum 15245
Description: Finite commutative sums in a product structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgsum.y  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
prdsgsum.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
prdsgsum.z  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
prdsgsum.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
prdsgsum.j  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
prdsgsum.s  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
prdsgsum.r  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e. CMnd )
prdsgsum.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  J ) )  ->  U  e.  B )
prdsgsum.w  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
prdsgsum  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, I    x, J, y    x, Y, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    R( x, y)    S( x, y)    U( x, y)    V( x, y)    W( x, y)    X( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem prdsgsum
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgsum.y . . . 4  |-  Y  =  ( S X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
3 prdsgsum.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  X )
4 prdsgsum.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
5 prdsgsum.r . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e. CMnd )
6 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( x  e.  I  |->  R )  =  ( x  e.  I  |->  R )
75, 6fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R ) : I -->CMnd )
8 ffn 5405 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  I  |->  R ) : I -->CMnd  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I )
97, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R )  Fn  I
)
10 prdsgsum.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
111, 4, 3, 7prdscmnd 15169 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e. CMnd )
12 prdsgsum.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
13 prdsgsum.f . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  J ) )  ->  U  e.  B )
1413anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  U  e.  B )
1514an32s 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  J )  /\  x  e.  I )  ->  U  e.  B )
1615ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  A. x  e.  I  U  e.  B )
175ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  R  e. CMnd )
18 prdsgsum.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  R
)
191, 2, 3, 4, 17, 18prdsbasmpt2 13397 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  U )  e.  ( Base `  Y
)  <->  A. x  e.  I  U  e.  B )
)
2019adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  (
( x  e.  I  |->  U )  e.  (
Base `  Y )  <->  A. x  e.  I  U  e.  B ) )
2116, 20mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  (
x  e.  I  |->  U )  e.  ( Base `  Y ) )
22 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) )
2321, 22fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) : J --> ( Base `  Y
) )
24 prdsgsum.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
252, 10, 11, 12, 23, 24gsumcl 15214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  e.  ( Base `  Y
) )
261, 2, 3, 4, 9, 25prdsbasfn 13386 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  Fn  I )
27 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ x Y
28 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ x  gsumg
29 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ x J
30 nfmpt1 4125 . . . . . 6  |-  F/_ x
( x  e.  I  |->  U )
3129, 30nfmpt 4124 . . . . 5  |-  F/_ x
( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) )
3227, 28, 31nfov 5897 . . . 4  |-  F/_ x
( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )
3332dffn5f 5593 . . 3  |-  ( ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  Fn  I  <->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) ) `  x
) ) )
3426, 33sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( Y 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) ) `
 x ) ) )
35 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  x  e.  I )
3635adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  x  e.  I )
37 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  I  |->  U )  =  ( x  e.  I  |->  U )
3837fvmpt2 5624 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  I  /\  U  e.  B )  ->  ( ( x  e.  I  |->  U ) `  x )  =  U )
3936, 14, 38syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  (
( x  e.  I  |->  U ) `  x
)  =  U )
4039mpteq2dva 4122 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
y  e.  J  |->  ( ( x  e.  I  |->  U ) `  x
) )  =  ( y  e.  J  |->  U ) )
4140oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( x  e.  I  |->  U ) `  x ) ) )  =  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) )
4211adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  Y  e. CMnd )
43 cmnmnd 15120 . . . . . 6  |-  ( R  e. CMnd  ->  R  e.  Mnd )
445, 43syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Mnd )
4512adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  J  e.  W )
464adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  I  e.  V )
473adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  X )
4844, 6fmptd 5700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  R ) : I --> Mnd )
4948adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
x  e.  I  |->  R ) : I --> Mnd )
501, 2, 46, 47, 49, 35prdspjmhm 14459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
a  e.  ( Base `  Y )  |->  ( a `
 x ) )  e.  ( Y MndHom  (
( x  e.  I  |->  R ) `  x
) ) )
516fvmpt2 5624 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  R  e. CMnd )  ->  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x
)  =  R )
5235, 5, 51syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  R ) `  x
)  =  R )
5352oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( Y MndHom  ( ( x  e.  I  |->  R ) `  x ) )  =  ( Y MndHom  R ) )
5450, 53eleqtrd 2372 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
a  e.  ( Base `  Y )  |->  ( a `
 x ) )  e.  ( Y MndHom  R
) )
5521adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  (
x  e.  I  |->  U )  e.  ( Base `  Y ) )
5624adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
57 fveq1 5540 . . . . 5  |-  ( a  =  ( x  e.  I  |->  U )  -> 
( a `  x
)  =  ( ( x  e.  I  |->  U ) `  x ) )
58 fveq1 5540 . . . . 5  |-  ( a  =  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  ->  (
a `  x )  =  ( ( Y 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) ) `
 x ) )
592, 10, 42, 44, 45, 54, 55, 56, 57, 58gsummhm2 15228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( x  e.  I  |->  U ) `  x ) ) )  =  ( ( Y 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) ) `
 x ) )
6041, 59eqtr3d 2330 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) )  =  ( ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) ) `  x
) )
6160mpteq2dva 4122 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( Y 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) ) `
 x ) ) )
6234, 61eqtr4d 2331 1  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   {csn 3653    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   Basecbs 13164   X_scprds 13362   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417   Mndcmnd 14377   MndHom cmhm 14429  CMndccmn 15105
This theorem is referenced by:  pwsgsum  15246
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-cntz 14809  df-cmn 15107
  Copyright terms: Public domain W3C validator