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Theorem prdshom 13681
Description: Structure product hom-sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbas.p  |-  P  =  ( S X_s R )
prdsbas.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
prdsbas.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
prdsbas.i  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
prdshom.h  |-  H  =  (  Hom  `  P
)
Assertion
Ref Expression
prdshom  |-  ( ph  ->  H  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, B    ph, f, g, x    f, I, g, x    P, f, g, x    R, f, g, x    S, f, g, x
Allowed substitution hints:    H( x, f, g)    V( x, f, g)    W( x, f, g)

Proof of Theorem prdshom
Dummy variables  a 
c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbas.p . . 3  |-  P  =  ( S X_s R )
2 eqid 2435 . . 3  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
3 prdsbas.i . . 3  |-  ( ph  ->  dom  R  =  I )
4 prdsbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 prdsbas.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
6 prdsbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
71, 4, 5, 6, 3prdsbas 13672 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  X_ x  e.  I  ( Base `  ( R `  x
) ) )
8 eqid 2435 . . . 4  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
91, 4, 5, 6, 3, 8prdsplusg 13673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  P
)  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( +g  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
10 eqid 2435 . . . 4  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
111, 4, 5, 6, 3, 10prdsmulr 13674 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .r `  P
)  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( .r `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) ) ) )
12 eqid 2435 . . . 4  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
131, 4, 5, 6, 3, 2, 12prdsvsca 13675 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .s `  P
)  =  ( f  e.  ( Base `  S
) ,  g  e.  B  |->  ( x  e.  I  |->  ( f ( .s `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) ) )
14 eqid 2435 . . . 4  |-  (TopSet `  P )  =  (TopSet `  P )
151, 4, 5, 6, 3, 14prdstset 13680 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  P )  =  ( Xt_ `  ( TopOpen  o.  R ) ) )
16 eqid 2435 . . . 4  |-  ( le
`  P )  =  ( le `  P
)
171, 4, 5, 6, 3, 16prdsle 13676 . . 3  |-  ( ph  ->  ( le `  P
)  =  { <. f ,  g >.  |  ( { f ,  g }  C_  B  /\  A. x  e.  I  ( f `  x ) ( le `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) } )
18 eqid 2435 . . . 4  |-  ( dist `  P )  =  (
dist `  P )
191, 4, 5, 6, 3, 18prdsds 13678 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  P
)  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  sup (
( ran  ( x  e.  I  |->  ( ( f `  x ) ( dist `  ( R `  x )
) ( g `  x ) ) )  u.  { 0 } ) ,  RR* ,  <  ) ) )
20 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) )
21 eqidd 2436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) )  =  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) )
221, 2, 3, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 4, 5prdsval 13670 . 2  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( .r `  P ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  P
) >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (TopSet `  P ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( dist `  P
) >. }  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) ) )
23 prdshom.h . 2  |-  H  =  (  Hom  `  P
)
24 homid 13635 . 2  |-  Hom  = Slot  (  Hom  `  ndx )
25 ovssunirn 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  (  Hom  `  ( R `  x )
)
2624strfvss 13479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  Hom  `  ( R `  x
) )  C_  U. ran  ( R `  x )
27 fvssunirn 5746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R `
 x )  C_  U.
ran  R
28 rnss 5090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R `  x ) 
C_  U. ran  R  ->  ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R )
29 uniss 4028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  ( R `  x
)  C_  ran  U. ran  R  ->  U. ran  ( R `
 x )  C_  U.
ran  U. ran  R )
3027, 28, 29mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ran  ( R `  x ) 
C_  U. ran  U. ran  R
3126, 30sstri 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  Hom  `  ( R `  x
) )  C_  U. ran  U.
ran  R
32 rnss 5090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  Hom  `  ( R `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  R  ->  ran  (  Hom  `  ( R `  x )
)  C_  ran  U. ran  U.
ran  R )
33 uniss 4028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  (  Hom  `  ( R `  x )
)  C_  ran  U. ran  U.
ran  R  ->  U. ran  (  Hom  `  ( R `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  U. ran  R )
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ran  (  Hom  `  ( R `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  U. ran  R
3525, 34sstri 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  U. ran  R
3635rgenw 2765 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) )  C_  U. ran  U.
ran  U. ran  R
37 ss2ixp 7067 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  (
( f `  x
) (  Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  C_  U.
ran  U. ran  U. ran  R  ->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) 
C_  X_ x  e.  I  U. ran  U. ran  U. ran  R )
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) )  C_  X_ x  e.  I  U. ran  U. ran  U. ran  R
39 dmexg 5122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  W  ->  dom  R  e.  _V )
405, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  R  e.  _V )
413, 40eqeltrrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
42 rnexg 5123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  W  ->  ran  R  e.  _V )
43 uniexg 4698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran 
R  e.  _V  ->  U.
ran  R  e.  _V )
445, 42, 433syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  R  e. 
_V )
45 rnexg 5123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  R  e.  _V  ->  ran  U. ran  R  e.  _V )
46 uniexg 4698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
4744, 45, 463syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
48 rnexg 5123 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  U. ran  R  e. 
_V  ->  ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )
49 uniexg 4698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V  ->  U. ran  U. ran  U. ran  R  e. 
_V )
5047, 48, 493syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U. ran  U. ran  U.
ran  R  e.  _V )
51 ixpconstg 7063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  _V  /\  U.
ran  U. ran  U. ran  R  e.  _V )  ->  X_ x  e.  I  U. ran  U. ran  U. ran  R  =  ( U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5241, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  U. ran  U. ran  U. ran  R  =  ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5338, 52syl5sseq 3388 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) 
C_  ( U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I ) )
54 ovex 6098 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e. 
_V
5554elpw2 4356 . . . . . . 7  |-  ( X_ x  e.  I  (
( f `  x
) (  Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P ( U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I )  <->  X_ x  e.  I  ( ( f `
 x ) (  Hom  `  ( R `  x ) ) ( g `  x ) )  C_  ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5653, 55sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) )  e.  ~P ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5756ralrimivw 2782 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. g  e.  B  X_ x  e.  I  ( ( f `  x
) (  Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P ( U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I ) )
5857ralrimivw 2782 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  A. g  e.  B  X_ x  e.  I  ( ( f `  x
) (  Hom  `  ( R `  x )
) ( g `  x ) )  e. 
~P ( U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I ) )
59 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )
6059fmpt2 6410 . . . 4  |-  ( A. f  e.  B  A. g  e.  B  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) )  e.  ~P ( U. ran  U. ran  U.
ran  R  ^m  I )  <-> 
( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ~P ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
6158, 60sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ~P ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I ) )
62 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  e.  _V
636, 62eqeltri 2505 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
6463, 63xpex 4982 . . . 4  |-  ( B  X.  B )  e. 
_V
6564a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  X.  B
)  e.  _V )
6654pwex 4374 . . . 4  |-  ~P ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V
6766a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ~P ( U. ran  U.
ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V )
68 fex2 5595 . . 3  |-  ( ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) : ( B  X.  B ) --> ~P ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  /\  ( B  X.  B )  e. 
_V  /\  ~P ( U. ran  U. ran  U. ran  R  ^m  I )  e.  _V )  -> 
( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  _V )
6961, 65, 67, 68syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) )  e.  _V )
70 snsspr1 3939 . . . 4  |-  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. }  C_  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. }
71 ssun2 3503 . . . 4  |-  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. }  C_  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  (TopSet `  P
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( dist `  P
) >. }  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
 x ) ) ( g `  x
) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } )
7270, 71sstri 3349 . . 3  |-  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. }  C_  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  (TopSet `  P
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( dist `  P
) >. }  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  ( a  e.  ( B  X.  B ) ,  c  e.  B  |->  ( d  e.  ( c ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
) ) ( g `
 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
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) ) ) `  a )  |->  ( x  e.  I  |->  ( ( d `  x ) ( <. ( ( 1st `  a ) `  x
) ,  ( ( 2nd `  a ) `
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(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } )
73 ssun2 3503 . . 3  |-  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  (TopSet `  P ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le
`  P ) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( dist `  P ) >. }  u.  {
<. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
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 x ) ) ) >. ,  <. (comp ` 
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X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
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 x ) ) ) ( 2nd `  a
) ) ,  e  e.  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
f `  x )
(  Hom  `  ( R `
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 x ) >.
(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) 
C_  ( ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P ) >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  ( .r `  P ) >. }  u.  {
<. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  ( .s `  P
) >. } )  u.  ( { <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (TopSet `  P ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  P ) >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( dist `  P
) >. }  u.  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I 
( ( f `  x ) (  Hom  `  ( R `  x
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f `  x )
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(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) )
7472, 73sstri 3349 . 2  |-  { <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |-> 
X_ x  e.  I 
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( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( +g  `  P
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f `  x )
(  Hom  `  ( R `
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(comp `  ( R `  x ) ) ( c `  x ) ) ( e `  x ) ) ) ) ) >. } ) )
7522, 23, 24, 69, 74prdsvallem 13669 1  |-  ( ph  ->  H  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  X_ x  e.  I  ( (
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    u. cun 3310    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   {csn 3806   {cpr 3807   {ctp 3808   <.cop 3809   U.cuni 4007    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   dom cdm 4870   ran crn 4871   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   1stc1st 6339   2ndc2nd 6340    ^m cmap 7010   X_cixp 7055   ndxcnx 13458   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525  TopSetcts 13527   lecple 13528   distcds 13530    Hom chom 13532  compcco 13533   X_scprds 13661
This theorem is referenced by:  prdsco  13682
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663
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