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Theorem prdsidlem 14404
Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsplusgcl.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsplusgcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
prdsplusgcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsplusgcl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsplusgcl.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
prdsidlem.z  |-  .0.  =  ( 0g  o.  R
)
Assertion
Ref Expression
prdsidlem  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( (  .0.  .+  x )  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x
) ) )
Distinct variable groups:    x,  .+    x, B    x, I    x, R    ph, x    x, S    x, V    x, W    x, Y
Allowed substitution hint:    .0. ( x)

Proof of Theorem prdsidlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsidlem.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g  o.  R
)
2 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( R `
 y )  e. 
_V
32a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  _V )
4 prdsplusgcl.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
54feqmptd 5575 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  =  ( y  e.  I  |->  ( R `
 y ) ) )
6 fn0g 14385 . . . . . . 7  |-  0g  Fn  _V
76a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0g  Fn  _V )
8 dffn5 5568 . . . . . 6  |-  ( 0g  Fn  _V  <->  0g  =  ( x  e.  _V  |->  ( 0g `  x ) ) )
97, 8sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0g  =  ( x  e.  _V  |->  ( 0g
`  x ) ) )
10 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  ( R `  y )  ->  ( 0g `  x )  =  ( 0g `  ( R `  y )
) )
113, 5, 9, 10fmptco 5691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( y  e.  I  |->  ( 0g
`  ( R `  y ) ) ) )
121, 11syl5eq 2327 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( y  e.  I  |->  ( 0g
`  ( R `  y ) ) ) )
13 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( R : I --> Mnd  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y
)  e.  Mnd )
144, 13sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
15 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
16 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  ( R `  y ) )  =  ( 0g `  ( R `  y )
)
1715, 16mndidcl 14391 . . . . . 6  |-  ( ( R `  y )  e.  Mnd  ->  ( 0g `  ( R `  y ) )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
1814, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( 0g `  ( R `  y ) )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
1918ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  I 
( 0g `  ( R `  y )
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) )
20 prdsplusgcl.y . . . . 5  |-  Y  =  ( S X_s R )
21 prdsplusgcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
22 prdsplusgcl.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
23 prdsplusgcl.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
24 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
254, 24syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
2620, 21, 22, 23, 25prdsbasmpt 13369 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  I  |->  ( 0g `  ( R `  y ) ) )  e.  B  <->  A. y  e.  I  ( 0g `  ( R `
 y ) )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) ) )
2719, 26mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  I  |->  ( 0g `  ( R `  y )
) )  e.  B
)
2812, 27eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
291fveq1i 5526 . . . . . . . . . 10  |-  (  .0.  `  y )  =  ( ( 0g  o.  R
) `  y )
30 fvco2 5594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Fn  I  /\  y  e.  I )  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  y
)  =  ( 0g
`  ( R `  y ) ) )
3125, 30sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( 0g  o.  R
) `  y )  =  ( 0g `  ( R `  y ) ) )
3229, 31syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (  .0.  `  y )  =  ( 0g `  ( R `  y )
) )
3332adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (  .0.  `  y )  =  ( 0g `  ( R `  y )
) )
3433oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
(  .0.  `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( ( 0g `  ( R `  y ) ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) ) )
354adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  R : I --> Mnd )
3635, 13sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
3722ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  V )
3823ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  W )
3925ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
40 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  x  e.  B )
41 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
4220, 21, 37, 38, 39, 40, 41prdsbasprj 13371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
x `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
43 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  ( R `  y
) )  =  ( +g  `  ( R `
 y ) )
4415, 43, 16mndlid 14393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  Mnd  /\  ( x `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) )  -> 
( ( 0g `  ( R `  y ) ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( x `  y
) )
4536, 42, 44syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( 0g `  ( R `  y )
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( x `  y
) )
4634, 45eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
(  .0.  `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( x `  y
) )
4746mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  I  |->  ( (  .0.  `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y ) ) )
4822adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  V )
4923adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  I  e.  W )
5025adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  R  Fn  I )
5128adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .0.  e.  B )
52 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
53 prdsplusgcl.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
5420, 21, 48, 49, 50, 51, 52, 53prdsplusgval 13372 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  ( y  e.  I  |->  ( (  .0.  `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( x `
 y ) ) ) )
5520, 21, 48, 49, 50, 52prdsbasfn 13370 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  Fn  I )
56 dffn5 5568 . . . . . 6  |-  ( x  Fn  I  <->  x  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y
) ) )
5755, 56sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y ) ) )
5847, 54, 573eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
5933oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) (  .0.  `  y ) )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( 0g
`  ( R `  y ) ) ) )
6015, 43, 16mndrid 14394 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  Mnd  /\  ( x `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) )  -> 
( ( x `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( 0g
`  ( R `  y ) ) )  =  ( x `  y ) )
6136, 42, 60syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( 0g `  ( R `  y ) ) )  =  ( x `  y ) )
6259, 61eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) (  .0.  `  y ) )  =  ( x `  y
) )
6362mpteq2dva 4106 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  I  |->  ( ( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) (  .0.  `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y ) ) )
6420, 21, 48, 49, 50, 52, 51, 53prdsplusgval 13372 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( x `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) (  .0.  `  y
) ) ) )
6563, 64, 573eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  x )
6658, 65jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
(  .0.  .+  x
)  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x ) )
6766ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( (  .0.  .+  x )  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x
) )
6828, 67jca 518 1  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( (  .0.  .+  x )  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   X_scprds 13346   0gc0g 13400   Mndcmnd 14361
This theorem is referenced by:  prdsmndd  14405  prds0g  14406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-0g 13404  df-mnd 14367
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