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Theorem prdsidlem 14729
Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsplusgcl.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsplusgcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
prdsplusgcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsplusgcl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsplusgcl.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
prdsidlem.z  |-  .0.  =  ( 0g  o.  R
)
Assertion
Ref Expression
prdsidlem  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( (  .0.  .+  x )  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x
) ) )
Distinct variable groups:    x,  .+    x, B    x, I    x, R    ph, x    x, S    x, V    x, W    x, Y
Allowed substitution hint:    .0. ( x)

Proof of Theorem prdsidlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsidlem.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g  o.  R
)
2 fvex 5744 . . . . . 6  |-  ( R `
 y )  e. 
_V
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  _V )
4 prdsplusgcl.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
54feqmptd 5781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  =  ( y  e.  I  |->  ( R `
 y ) ) )
6 fn0g 14710 . . . . . . 7  |-  0g  Fn  _V
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0g  Fn  _V )
8 dffn5 5774 . . . . . 6  |-  ( 0g  Fn  _V  <->  0g  =  ( x  e.  _V  |->  ( 0g `  x ) ) )
97, 8sylib 190 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0g  =  ( x  e.  _V  |->  ( 0g
`  x ) ) )
10 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( x  =  ( R `  y )  ->  ( 0g `  x )  =  ( 0g `  ( R `  y )
) )
113, 5, 9, 10fmptco 5903 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( y  e.  I  |->  ( 0g
`  ( R `  y ) ) ) )
121, 11syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( y  e.  I  |->  ( 0g
`  ( R `  y ) ) ) )
134ffvelrnda 5872 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
14 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
15 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  ( R `  y ) )  =  ( 0g `  ( R `  y )
)
1614, 15mndidcl 14716 . . . . . 6  |-  ( ( R `  y )  e.  Mnd  ->  ( 0g `  ( R `  y ) )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
1713, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( 0g `  ( R `  y ) )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
1817ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  I 
( 0g `  ( R `  y )
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) )
19 prdsplusgcl.y . . . . 5  |-  Y  =  ( S X_s R )
20 prdsplusgcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
21 prdsplusgcl.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
22 prdsplusgcl.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
23 ffn 5593 . . . . . 6  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
244, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
2519, 20, 21, 22, 24prdsbasmpt 13694 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  I  |->  ( 0g `  ( R `  y ) ) )  e.  B  <->  A. y  e.  I  ( 0g `  ( R `
 y ) )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) ) )
2618, 25mpbird 225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  I  |->  ( 0g `  ( R `  y )
) )  e.  B
)
2712, 26eqeltrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
281fveq1i 5731 . . . . . . . . . 10  |-  (  .0.  `  y )  =  ( ( 0g  o.  R
) `  y )
29 fvco2 5800 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Fn  I  /\  y  e.  I )  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  y
)  =  ( 0g
`  ( R `  y ) ) )
3024, 29sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( 0g  o.  R
) `  y )  =  ( 0g `  ( R `  y ) ) )
3128, 30syl5eq 2482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (  .0.  `  y )  =  ( 0g `  ( R `  y )
) )
3231adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (  .0.  `  y )  =  ( 0g `  ( R `  y )
) )
3332oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
(  .0.  `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( ( 0g `  ( R `  y ) ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) ) )
344adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  R : I --> Mnd )
3534ffvelrnda 5872 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
3621ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  V )
3722ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  W )
3824ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
39 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  x  e.  B )
40 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
4119, 20, 36, 37, 38, 39, 40prdsbasprj 13696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
x `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
42 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  ( R `  y
) )  =  ( +g  `  ( R `
 y ) )
4314, 42, 15mndlid 14718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  Mnd  /\  ( x `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) )  -> 
( ( 0g `  ( R `  y ) ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( x `  y
) )
4435, 41, 43syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( 0g `  ( R `  y )
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( x `  y
) )
4533, 44eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
(  .0.  `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( x `  y
) )
4645mpteq2dva 4297 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  I  |->  ( (  .0.  `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y ) ) )
4721adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  V )
4822adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  I  e.  W )
4924adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  R  Fn  I )
5027adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .0.  e.  B )
51 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
52 prdsplusgcl.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
5319, 20, 47, 48, 49, 50, 51, 52prdsplusgval 13697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  ( y  e.  I  |->  ( (  .0.  `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( x `
 y ) ) ) )
5419, 20, 47, 48, 49, 51prdsbasfn 13695 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  Fn  I )
55 dffn5 5774 . . . . . 6  |-  ( x  Fn  I  <->  x  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y
) ) )
5654, 55sylib 190 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y ) ) )
5746, 53, 563eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
5832oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) (  .0.  `  y ) )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( 0g
`  ( R `  y ) ) ) )
5914, 42, 15mndrid 14719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  Mnd  /\  ( x `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) )  -> 
( ( x `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( 0g
`  ( R `  y ) ) )  =  ( x `  y ) )
6035, 41, 59syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( 0g `  ( R `  y ) ) )  =  ( x `  y ) )
6158, 60eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) (  .0.  `  y ) )  =  ( x `  y
) )
6261mpteq2dva 4297 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  I  |->  ( ( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) (  .0.  `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y ) ) )
6319, 20, 47, 48, 49, 51, 50, 52prdsplusgval 13697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( x `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) (  .0.  `  y
) ) ) )
6462, 63, 563eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  x )
6557, 64jca 520 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
(  .0.  .+  x
)  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x ) )
6665ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( (  .0.  .+  x )  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x
) )
6727, 66jca 520 1  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( (  .0.  .+  x )  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    e. cmpt 4268    o. ccom 4884    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   X_scprds 13671   0gc0g 13725   Mndcmnd 14686
This theorem is referenced by:  prdsmndd  14730  prds0g  14731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-hom 13555  df-cco 13556  df-prds 13673  df-0g 13729  df-mnd 14692
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