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Theorem prdsidlem 14420
Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsplusgcl.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsplusgcl.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
prdsplusgcl.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsplusgcl.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsplusgcl.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
prdsidlem.z  |-  .0.  =  ( 0g  o.  R
)
Assertion
Ref Expression
prdsidlem  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( (  .0.  .+  x )  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x
) ) )
Distinct variable groups:    x,  .+    x, B    x, I    x, R    ph, x    x, S    x, V    x, W    x, Y
Allowed substitution hint:    .0. ( x)

Proof of Theorem prdsidlem
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsidlem.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g  o.  R
)
2 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( R `
 y )  e. 
_V
32a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  _V )
4 prdsplusgcl.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
54feqmptd 5591 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  =  ( y  e.  I  |->  ( R `
 y ) ) )
6 fn0g 14401 . . . . . . 7  |-  0g  Fn  _V
76a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0g  Fn  _V )
8 dffn5 5584 . . . . . 6  |-  ( 0g  Fn  _V  <->  0g  =  ( x  e.  _V  |->  ( 0g `  x ) ) )
97, 8sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0g  =  ( x  e.  _V  |->  ( 0g
`  x ) ) )
10 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( x  =  ( R `  y )  ->  ( 0g `  x )  =  ( 0g `  ( R `  y )
) )
113, 5, 9, 10fmptco 5707 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( y  e.  I  |->  ( 0g
`  ( R `  y ) ) ) )
121, 11syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( y  e.  I  |->  ( 0g
`  ( R `  y ) ) ) )
13 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( R : I --> Mnd  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y
)  e.  Mnd )
144, 13sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
15 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  ( R `  y
) )  =  (
Base `  ( R `  y ) )
16 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  ( R `  y ) )  =  ( 0g `  ( R `  y )
)
1715, 16mndidcl 14407 . . . . . 6  |-  ( ( R `  y )  e.  Mnd  ->  ( 0g `  ( R `  y ) )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
1814, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( 0g `  ( R `  y ) )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
1918ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  I 
( 0g `  ( R `  y )
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) )
20 prdsplusgcl.y . . . . 5  |-  Y  =  ( S X_s R )
21 prdsplusgcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
22 prdsplusgcl.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
23 prdsplusgcl.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
24 ffn 5405 . . . . . 6  |-  ( R : I --> Mnd  ->  R  Fn  I )
254, 24syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  Fn  I )
2620, 21, 22, 23, 25prdsbasmpt 13385 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  I  |->  ( 0g `  ( R `  y ) ) )  e.  B  <->  A. y  e.  I  ( 0g `  ( R `
 y ) )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) ) )
2719, 26mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  I  |->  ( 0g `  ( R `  y )
) )  e.  B
)
2812, 27eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
291fveq1i 5542 . . . . . . . . . 10  |-  (  .0.  `  y )  =  ( ( 0g  o.  R
) `  y )
30 fvco2 5610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Fn  I  /\  y  e.  I )  ->  ( ( 0g  o.  R ) `  y
)  =  ( 0g
`  ( R `  y ) ) )
3125, 30sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
( 0g  o.  R
) `  y )  =  ( 0g `  ( R `  y ) ) )
3229, 31syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (  .0.  `  y )  =  ( 0g `  ( R `  y )
) )
3332adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (  .0.  `  y )  =  ( 0g `  ( R `  y )
) )
3433oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
(  .0.  `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( ( 0g `  ( R `  y ) ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) ) )
354adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  R : I --> Mnd )
3635, 13sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  ( R `  y )  e.  Mnd )
3722ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  S  e.  V )
3823ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  W )
3925ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  R  Fn  I )
40 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  x  e.  B )
41 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  I )
4220, 21, 37, 38, 39, 40, 41prdsbasprj 13387 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
x `  y )  e.  ( Base `  ( R `  y )
) )
43 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  ( R `  y
) )  =  ( +g  `  ( R `
 y ) )
4415, 43, 16mndlid 14409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  Mnd  /\  ( x `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) )  -> 
( ( 0g `  ( R `  y ) ) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( x `  y
) )
4536, 42, 44syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( 0g `  ( R `  y )
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( x `  y
) )
4634, 45eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
(  .0.  `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) )  =  ( x `  y
) )
4746mpteq2dva 4122 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  I  |->  ( (  .0.  `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( x `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y ) ) )
4822adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  S  e.  V )
4923adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  I  e.  W )
5025adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  R  Fn  I )
5128adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .0.  e.  B )
52 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
53 prdsplusgcl.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
5420, 21, 48, 49, 50, 51, 52, 53prdsplusgval 13388 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  ( y  e.  I  |->  ( (  .0.  `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( x `
 y ) ) ) )
5520, 21, 48, 49, 50, 52prdsbasfn 13386 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  Fn  I )
56 dffn5 5584 . . . . . 6  |-  ( x  Fn  I  <->  x  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y
) ) )
5755, 56sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y ) ) )
5847, 54, 573eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
5933oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) (  .0.  `  y ) )  =  ( ( x `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( 0g
`  ( R `  y ) ) ) )
6015, 43, 16mndrid 14410 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  y
)  e.  Mnd  /\  ( x `  y
)  e.  ( Base `  ( R `  y
) ) )  -> 
( ( x `  y ) ( +g  `  ( R `  y
) ) ( 0g
`  ( R `  y ) ) )  =  ( x `  y ) )
6136, 42, 60syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) ( 0g `  ( R `  y ) ) )  =  ( x `  y ) )
6259, 61eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  y  e.  I )  ->  (
( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) (  .0.  `  y ) )  =  ( x `  y
) )
6362mpteq2dva 4122 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
y  e.  I  |->  ( ( x `  y
) ( +g  `  ( R `  y )
) (  .0.  `  y ) ) )  =  ( y  e.  I  |->  ( x `  y ) ) )
6420, 21, 48, 49, 50, 52, 51, 53prdsplusgval 13388 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  ( y  e.  I  |->  ( ( x `
 y ) ( +g  `  ( R `
 y ) ) (  .0.  `  y
) ) ) )
6563, 64, 573eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  x )
6658, 65jca 518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
(  .0.  .+  x
)  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x ) )
6766ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  ( (  .0.  .+  x )  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x
) )
6828, 67jca 518 1  |-  ( ph  ->  (  .0.  e.  B  /\  A. x  e.  B  ( (  .0.  .+  x )  =  x  /\  ( x  .+  .0.  )  =  x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   X_scprds 13362   0gc0g 13416   Mndcmnd 14377
This theorem is referenced by:  prdsmndd  14421  prds0g  14422
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-0g 13420  df-mnd 14383
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