MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvgd Structured version   Unicode version

Theorem prdsinvgd 14920
Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsgrpd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsgrpd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsgrpd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
prdsinvgd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsinvgd.n  |-  N  =  ( inv g `  Y )
prdsinvgd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
prdsinvgd  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    ph, x    x, R    x, S    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    N( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem prdsinvgd
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgrpd.y . . . . 5  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsinvgd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
4 prdsgrpd.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 elex 2956 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
7 prdsgrpd.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
8 elex 2956 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
10 prdsgrpd.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
11 prdsinvgd.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
12 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( 0g  o.  R )  =  ( 0g  o.  R
)
13 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) )
141, 2, 3, 6, 9, 10, 11, 12, 13prdsinvlem 14918 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) )  e.  B  /\  (
( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x
) ) `  ( X `  x )
) ) ( +g  `  Y ) X )  =  ( 0g  o.  R ) ) )
1514simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) ) ( +g  `  Y
) X )  =  ( 0g  o.  R
) )
16 grpmnd 14809 . . . . . 6  |-  ( a  e.  Grp  ->  a  e.  Mnd )
1716ssriv 3344 . . . . 5  |-  Grp  C_  Mnd
18 fss 5591 . . . . 5  |-  ( ( R : I --> Grp  /\  Grp  C_  Mnd )  ->  R : I --> Mnd )
1910, 17, 18sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
201, 7, 4, 19prds0g 14721 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( 0g
`  Y ) )
2115, 20eqtrd 2467 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) ) ( +g  `  Y
) X )  =  ( 0g `  Y
) )
221, 7, 4, 10prdsgrpd 14919 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
2314simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x
) ) `  ( X `  x )
) )  e.  B
)
24 eqid 2435 . . . 4  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
25 prdsinvgd.n . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  Y )
262, 3, 24, 25grpinvid2 14846 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x
) ) `  ( X `  x )
) )  e.  B
)  ->  ( ( N `  X )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) )  <-> 
( ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) ) ( +g  `  Y
) X )  =  ( 0g `  Y
) ) )
2722, 11, 23, 26syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x ) ) `  ( X `
 x ) ) )  <->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) ) ( +g  `  Y
) X )  =  ( 0g `  Y
) ) )
2821, 27mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312    e. cmpt 4258    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   X_scprds 13661   0gc0g 13715   Mndcmnd 14676   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678
This theorem is referenced by:  pwsinvg  14922  prdstgpd  18146  prdsinvgd2  27176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805
  Copyright terms: Public domain W3C validator