MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvgd Unicode version

Theorem prdsinvgd 14855
Description: Negation in a product of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsgrpd.y  |-  Y  =  ( S X_s R )
prdsgrpd.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
prdsgrpd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
prdsgrpd.r  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
prdsinvgd.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
prdsinvgd.n  |-  N  =  ( inv g `  Y )
prdsinvgd.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
prdsinvgd  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    ph, x    x, R    x, S    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    N( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem prdsinvgd
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsgrpd.y . . . . 5  |-  Y  =  ( S X_s R )
2 prdsinvgd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
4 prdsgrpd.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 elex 2907 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
7 prdsgrpd.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
8 elex 2907 . . . . . 6  |-  ( I  e.  W  ->  I  e.  _V )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
10 prdsgrpd.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R : I --> Grp )
11 prdsinvgd.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
12 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( 0g  o.  R )  =  ( 0g  o.  R
)
13 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) )
141, 2, 3, 6, 9, 10, 11, 12, 13prdsinvlem 14853 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) )  e.  B  /\  (
( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x
) ) `  ( X `  x )
) ) ( +g  `  Y ) X )  =  ( 0g  o.  R ) ) )
1514simprd 450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) ) ( +g  `  Y
) X )  =  ( 0g  o.  R
) )
16 grpmnd 14744 . . . . . 6  |-  ( a  e.  Grp  ->  a  e.  Mnd )
1716ssriv 3295 . . . . 5  |-  Grp  C_  Mnd
18 fss 5539 . . . . 5  |-  ( ( R : I --> Grp  /\  Grp  C_  Mnd )  ->  R : I --> Mnd )
1910, 17, 18sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  R : I --> Mnd )
201, 7, 4, 19prds0g 14656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g  o.  R
)  =  ( 0g
`  Y ) )
2115, 20eqtrd 2419 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) ) ( +g  `  Y
) X )  =  ( 0g `  Y
) )
221, 7, 4, 10prdsgrpd 14854 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
2314simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x
) ) `  ( X `  x )
) )  e.  B
)
24 eqid 2387 . . . 4  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
25 prdsinvgd.n . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  Y )
262, 3, 24, 25grpinvid2 14781 . . 3  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x
) ) `  ( X `  x )
) )  e.  B
)  ->  ( ( N `  X )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) )  <-> 
( ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `
 x ) ) `
 ( X `  x ) ) ) ( +g  `  Y
) X )  =  ( 0g `  Y
) ) )
2722, 11, 23, 26syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x ) ) `  ( X `
 x ) ) )  <->  ( ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) ) ( +g  `  Y
) X )  =  ( 0g `  Y
) ) )
2821, 27mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  =  ( x  e.  I  |->  ( ( inv g `  ( R `  x )
) `  ( X `  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899    C_ wss 3263    e. cmpt 4207    o. ccom 4822   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   X_scprds 13596   0gc0g 13650   Mndcmnd 14611   Grpcgrp 14612   inv gcminusg 14613
This theorem is referenced by:  pwsinvg  14857  prdstgpd  18075  prdsinvgd2  26877
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-hom 13480  df-cco 13481  df-prds 13598  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-minusg 14740
  Copyright terms: Public domain W3C validator